江苏省南京市建邺高级中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题

这是一份江苏省南京市建邺高级中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题，共18页。试卷主要包含了已知向量，且，则x＝，已知复数z满足z＝，已知复数z满足|z﹣i|＝2等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年南京市建邺高级中学高一下期中考试卷
一．选择题（共8小题，每题5分，共40分）
1．已知向量，且，则x＝（　　）
A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8
2．sin5°sin25°﹣sin95°sin65°的值是（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣
3．已知复数z满足z＝（1+2i）（2+i）（i为虚数单位），则|z|＝（　　）
A．2 B．4 C．5 D．6
4．已知tanα，tanβ是方程x2﹣5x+6＝0的两根，那么tan（α+β）＝（　　）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
5．东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”．如图1，它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．我们通过类比得到图2，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形A′B′C′拼成的一个大等边三角形ABC，若A'B'＝2，cos∠ABB'＝，则AB＝（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8
6．如图所示，矩形ABCD的边AB＝2，AD＝1，以点C为圆心，CB为半径的圆与CD交于点E，若点P是圆弧（含端点B、E）上的一点，则的取值范围是（ ）．

A．[0,-1] B．[1-,0] C．[0,2-2] D．[2-2,0]
7. 若，且（1﹣cos2α）（1+sinβ）＝sin2αcosβ，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
8.在△ABC中，已知•＝9，sinB＝cosA•sinC，S△ABC＝6，P为线段AB上的点，且＝x•+y•，则+的最小值为　 　．
A2+4 B.4 C.2 D.4+2
二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分）
9．对于任意的平面向量，，，下列说法错误的是（　　）
A．若∥且∥，则∥ B．（+）•＝•+•
C．若•＝•，且≠，则＝ D．（•）•＝•（•）
10．已知复数z满足|z﹣i|＝2（其中i是虚数单位），则下列说法中正确的有（　　）
A．|z|的最大值为3 B．|z|的最小值为1
C．（z﹣i）2＝4 D．|z﹣2|＝|z﹣2i|有且只有两解
11．已知＝（1，），＝（cosθ，sinθ），则下列命题正确的有（　　）
A．若，则 B．的最大值为2
C．存在θ，使 D．的最大值为3
12．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且3bcosC+3ccosB＝a2，则下列说法正确的是（　　）
A．若B+C＝2A，则△ABC的外接圆的面积为3π
B．若A＝，且△ABC有两解，则b的取值范围为[3，3]
C．若C＝2A，且△ABC为锐角三角形，则c的取值范围为（3，3）
D．若A＝2C，且sinB＝2sinC，O为△ABC的内心，则△AOB的面积为
三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知θ为第二象限角，且sin（）＝，则tanθ＝　 　．
14．已知点A（﹣1，0），B（1，0），点P为圆C：x2+y2﹣6x﹣8y+17＝0上的动点，则的最大值为________
15．已知常数，若函数f（x）在R上恒有，且，则函数y＝f（x）﹣cosθ﹣1在区间[﹣5，14]上零点的个数是　 　
16．已知△ABC中，AB＝1，AC＝3，cosA＝，点E在直线BC上，且满足＝+l（l∈R），则||＝　 　．
四．解答题（共6小题,共70分）
17．（10分）已知向量＝（﹣3，1），＝（1，﹣2），＝+k（k∈R）．
（1）若与向量2﹣垂直，求实数k的值；
（2）若向量＝（1，﹣1），且与向量k+平行，求实数k的值．
18．（12分）
已知，且，求cos2α，sinα的值．
19．（12分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．
（1）试用向量，表示向量，；
（2）若，求的值．

20．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝4，（a﹣c）sinA＝（b﹣c）（sinB+sinC）．
（1）求角B；
（2）求△ABC周长的最大值．
21．（12分）已知向量，且．
（1）求及；
（2）若的最小值为，求正实数λ的值．
22．（12分）如图，某小区有一块空地△ABC，其中AB＝50，AC＝50，∠BAC＝90°，小区物业拟在中间挖一个小池塘△AEF，E，F在边BC上（E，F不与B，C重合，且E在B，F之间），且．
（1）若，求EF的值；
（2）为节省投入资金，小池塘△AEF的面积需要尽可能的小．设∠EAB＝θ，试确定θ的值，使得△AEF的面积取得最小值，并求出△AEF面积的最小值．


2022-2023学年南京市建邺高级中学高一下期中考试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．已知向量，且，则x＝（　　）
A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8
【解答】解：∵，
∴2x﹣4＝0，解得x＝2．
故选：A．
2．sin5°sin25°﹣sin95°sin65°的值是（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣
【解答】解：原式＝sin5°sin25°﹣cos5°cos25°＝﹣cos（25°+5°）＝﹣，
故选：D．
3．已知复数z满足z＝（1+2i）（2+i）（i为虚数单位），则|z|＝（　　）
A．2 B．4 C．5 D．6
【解答】解：z＝（1+2i）（2+i）
＝5i，
则|z|＝5．
故选：C．
4．已知tanα，tanβ是方程x2﹣5x+6＝0的两根，那么tan（α+β）＝（　　）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
【解答】解：因为tanα，tanβ是方程x2﹣5x+6＝0的两根，
所以tanα+tanβ＝5，tanα•tanβ＝6，
所以，
故选：C．
5．东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”．如图1，它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．我们通过类比得到图2，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形A′B′C′拼成的一个大等边三角形ABC，若A'B'＝2，cos∠ABB'＝，则AB＝（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解：△ABB′中，设BB′＝t，根据题意知，AB′＝t+2，cos∠ABB′＝，
所以sin∠ABB′＝＝，
而∠AB′B＝，sin∠BAB′＝sin（﹣∠ABB′）＝sincos∠ABB′﹣cossin∠ABB′＝，
由正弦定理得，＝，即＝，解得t＝3，
由余弦定理得，AB2＝BB'2+AB'2﹣2BB′•AB′cos∠AB′B＝49，
所以AB＝7．
故选：C．
6如图所示，矩形ABCD的边AB＝2，AD＝1，以点C为圆心，CB为半径的圆与CD交于点E，若点P是圆弧（含端点B、E）上的一点，则的取值范围是（ ）．

A．[0,-1] B．[1-,0] C．[0,2-2] D．[2-2,0]
【解答】解：以点C为原点，以直线EC为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则：
A（﹣2，﹣1），B（0，﹣1），设P（cosθ，sinθ），（），
∴，，
∴＝，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的取值范围是．
故答案为：．


7．若，且（1﹣cos2α）（1+sinβ）＝sin2αcosβ，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵，∴sinα≠0，
∵（1﹣cos2α）（1+sinβ）＝sin2αcosβ，∴2sin2α（1+sinβ）＝2sinαcosαcosβ，即sinα（1+sinβ）＝cosαcosβ．
∴sinα＝cosαcosβ﹣sinαsinβ＝cos（α+β），
∴，
∵，∴π＜α+β＜2π，且，
∴，解得，
故选：A．
8.在△ABC中，已知•＝9，sinB＝cosA•sinC，S△ABC＝6，P为线段AB上的点，且＝x•+y•，则+的最小值为　 　．
A2+4 B.4 C.2 D.4+2
【解答】解：∵•＝9，∴bccosA＝9，
∵6＝S△ABC＝sinA，
∴tanA＝，
∴sinA＝，cosA＝．
∴bc＝15．
∵sinB＝cosA•sinC，
∴b＝c，
，解得．
∴a2＝b2+c2﹣2bccosA＝32+52﹣18＝16．
∴a＝4．
∵＝x•+y•，
∴＝+，
∴x+y＝1．
∴3y＝12﹣4x＞0．解得0＜x＜3．
则+＝＝＝f（x），
f′（x）＝﹣+＝，
当时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．
∴当x＝时，f（x）取得最小值，＝3．
故答案为：3．

二．多选题（共4小题）
9．对于任意的平面向量，，，下列说法错误的是（　　）
A．若∥且∥，则∥ B．（+）•＝•+•
C．若•＝•，且≠，则＝ D．（•）•＝•（•）
【解答】解：∥且∥，当为零向量时，则与不一定共线，即A错误，
由向量乘法的分配律可得：（+）•＝•+•，即B正确，
因为•＝•，则，又≠，则＝或，即C错误，
取为非零向量，且与垂直，与不垂直，则，，即D错误，
故选：ACD．
10．已知复数z满足|z﹣i|＝2（其中i是虚数单位），则下列说法中正确的有（　　）
A．|z|的最大值为3 B．|z|的最小值为1
C．（z﹣i）2＝4 D．|z﹣2|＝|z﹣2i|有且只有两解
【解答】解：设z＝x+yi，（x，y∈R），
因为|z﹣i|＝2，
所以x2+（y﹣1）2＝4，点的轨迹是以（0，1）为圆心，以2为半径的圆，
|z|的最大值为+2＝3，最小值2﹣＝1，A，B正确；
（z﹣i）2＝|z﹣i|2＝4，C错误；
由|z﹣2|≠|z﹣2i|得，＝，
整理得，x＝y①，
因为x2+（y﹣1）2＝2②，
①②联立只有2解，D正确．
故选：ABD．
11．已知＝（1，），＝（cosθ，sinθ），则下列命题正确的有（　　）
A．若，则 B．的最大值为2
C．存在θ，使 D．的最大值为3
【解答】解：A，若⊥，则cosθ+sinθ＝0，∴tanθ＝﹣，∴θ＝﹣+kπ，k∈Z，∴A错误，
B，∵＝（1，），＝（cosθ，sinθ），
∴•＝cosθ+sinθ＝2sin（θ+）∈[﹣2，2]，∴B正确，
C，若|+|＝||+||成立，则与同向，
设＝λ（λ＞0），则（cosθ，sinθ）＝λ（1，），
∴cosθ＝λ，sinθ＝λ，∴λ2+3λ2＝1，∴λ＝，
∴cosθ＝，sinθ＝，
∴存在θ＝，等式成立，∴C正确，
D，∵＝+﹣2•＝4+1﹣2cosθ﹣2sinθ＝5﹣4sin（θ+），
∴当sin（θ+）＝﹣1时，的最大值为9，
∴|﹣|的最大值为3，∴D正确．
故选：BCD．
12．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且3bcosC+3ccosB＝a2，则下列说法正确的是（　　）
A．若B+C＝2A，则△ABC的外接圆的面积为3π
B．若A＝，且△ABC有两解，则b的取值范围为[3，3]
C．若C＝2A，且△ABC为锐角三角形，则c的取值范围为（3，3）
D．若A＝2C，且sinB＝2sinC，O为△ABC的内心，则△AOB的面积为
【解答】解：因为3bcosC+3ccosB＝a2，所以由正弦定理，得3sinBcosC+3sinCcosB＝asinA，
即3sin（B+C）＝asinA，
因为A+B+C＝π，所以sin（B+C）＝sinA，且sinA≠0，所以a＝3．
选项A：若B+C＝2A，则A＝，所以△ABC的外接圆的直径2R＝＝2，所以R＝，
所以△ABC的外接圆的面积为π×（）2＝3π，选项A正确，
选项B：∵△ABC有两解，则bsinA＜a＜b，则bsin＜3＜b，解得3＜b＜3，∴B错误，
选项C：由正弦定理＝，得＝，即c＝2acosA＝6cosA，
因为△ABC为锐角三角形，所以，所以＜A＜，
所以c＝6cosA∈（3，3），故选项C正确，
选项D：∵a＝3，sinB＝2sinC，A＝2C，可得B＝π﹣3C，由正弦定理可得b＝2c，
由sin（π﹣3C）＝2sinC，可得：sinCcos2C+cosCsin2C＝2sinC，
由sinC≠0，可得：4cos2C﹣1＝2，解得：cos2C＝，故cosC＝，sinC＝，
可得sinA＝2sinCcosC＝2××＝，
由正弦定理＝，a＝3可得：c＝，b＝2，则a+b+c＝3+3，
S△ABC＝bcsinA＝×2××＝，
设△ABC的内切圆半径为r，则r＝＝＝，
S△ABO＝cr＝××＝，故D正确．
故选：ACD．
三．填空题（共5小题）
13．已知θ为第二象限角，且sin（）＝，则tanθ＝　　．
【解答】解：因为θ为第二象限角，即，k∈Z，
所以，，
因为sin（）＝，
所以cos（）＝﹣，
所以sin＝sin[）]＝（）＝，cos＝﹣，tan＝2，
tanθ＝＝﹣．
故答案为：﹣．
14．已知点A（﹣1，0），B（1，0），点P为圆C：x2+y2﹣6x﹣8y+17＝0上的动点，则的最大值为________
【解答】解：∵，
当点P动到S点时，取得最大值，即为在上的投影，
又，


15．已知常数，若函数f（x）在R上恒有，且，则函数y＝f（x）﹣cosθ﹣1在区间[﹣5，14]上零点的个数是　15　
【解答】解：∵函数f（x）在R上恒有，
∴，
∴函数f（x）的周期为4，
∵常数，
∴（cosθ+1）∈（1，2），
∴函数y＝f（x）﹣cosθ﹣1在区间[﹣5，14]的零点，即函数y＝f（x）（x∈[﹣5，14]）与直线y＝1及直线y＝2之间的直线的交点个数，
由函数，可得函数f（x）一个周期内的图象，作草图如下，

由图可知，在一个周期内，函数y＝f（x）﹣cosθ﹣1有3个零点，
∴函数y＝f（x）﹣cosθ﹣1在区间[﹣5，14]上有15个零点．
故答案为：15．
16．已知△ABC中，AB＝1，AC＝3，cosA＝，点E在直线BC上，且满足＝+l（l∈R），则||＝　　．
【解答】解：∵，
∴，且B，E，C三点共线，
∴2+l＝1，l＝﹣1，
∴，且，
∴＝＝．
故答案为：．
四．解答题（共6小题）
17．已知向量＝（﹣3，1），＝（1，﹣2），＝+k（k∈R）．
（1）若与向量2﹣垂直，求实数k的值；
（2）若向量＝（1，﹣1），且与向量k+平行，求实数k的值．
【解答】解：（1）＝+k＝（﹣3+k，1﹣2k），2﹣＝（﹣7，4）．
∵与向量2﹣垂直，∴•（2﹣）＝﹣7（﹣3+k）+4（1﹣2k）＝0，解得k＝．
（2）k+＝（k+1，﹣2k﹣1），∵与向量k+平行，
∴（﹣2k﹣1）（﹣3+k）﹣（1﹣2k）（k+1）＝0，解得k＝．
18．已知，且，求cos2α，sinα的值．
【解答】解：∵α∈（，π），β∈（﹣，0）
∴﹣β∈（0，），
∴π＜2α﹣β＜，
又sin（2α﹣β）＝，sinβ＝﹣，
∴cos（2α﹣β）＝，cosβ＝，
∴cos2α＝cos[（2α﹣β）+β]
＝cos（2α﹣β）cosβ﹣sin（2α﹣β）sinβ
＝×﹣×（﹣）
＝．
∵α∈（，π），
∴sinα＝＝＝＝．
19．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．
（1）试用向量，表示向量，；
（2）若，求的值．

【解答】解：（1）＝＝﹣，
设，，
∵＝＝（），
＝＝＝＝（1﹣μ）+＝，
∴，解得，
∴＝．
（2）6＝6•（）•（﹣）
＝6•（﹣）
＝﹣，
则＝﹣，
∴，
∴||2＝3||2，∴＝．
20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝4，（a﹣c）sinA＝（b﹣c）（sinB+sinC）．
（1）求角B；
（2）求△ABC周长的最大值．
【解答】解：（1）由正弦定理知，＝＝，
∵（a﹣c）sinA＝（b﹣c）（sinB+sinC），
∴（a﹣c）a＝（b﹣c）（b+c），整理得a2+c2﹣b2＝ac，
由余弦定理知，cosB＝＝＝，
∵B∈（0，π），∴B＝．
（2）由（1）知，B＝，
∴A+C＝，
由正弦定理知，＝＝＝＝，
∴a＝sinA，c＝sinC，
∴a+c＝（sinA+sinC）＝[sinA+sin（﹣A）]＝（sinA+cosA+sinA）
＝（sinA+cosA）＝×sin（A+）＝8sin（A+），
∵A∈（0，），∴A+∈（，），
当A+＝，即A＝时，a+c取得最大值，为8，
∴a+b+c≤8+4＝12，
故△ABC周长的最大值为12．
21．已知向量，且．
（1）求及；
（2）若的最小值为，求正实数λ的值．
【解答】解：（1）
∵+＝（cosx+cos，sinx﹣sin），
∴|+|2＝（cosx+cos）2+（sinx﹣sin）2＝2+2cos2x＝4cos2x．
∵，∴cosx≥0，因此．
（2）由（1）知f（x）＝cos2x﹣4λcosx＝2cos2x﹣4λcosx﹣1，
∴f（x）＝2（cosx﹣λ）2﹣1﹣2λ2，cosx∈[0，1]，
①当0＜λ＜1时，当cosx＝λ时，f（x）有最小值，解得．
②当λ≥1时，当cosx＝1时，f（x）有最小值，（舍去），综上可得．
22．如图，某小区有一块空地△ABC，其中AB＝50，AC＝50，∠BAC＝90°，小区物业拟在中间挖一个小池塘△AEF，E，F在边BC上（E，F不与B，C重合，且E在B，F之间），且．
（1）若，求EF的值；
（2）为节省投入资金，小池塘△AEF的面积需要尽可能的小．设∠EAB＝θ，试确定θ的值，使得△AEF的面积取得最小值，并求出△AEF面积的最小值．

【解答】解：（1）由题意可得BC＝＝50，
设∠EAB＝θ∈（0，），则∠FAC＝﹣θ，∠AFC＝+θ，
在△EAB中，由余弦定理AE2＝AB2+BE2﹣2AB•BE•cos∠ABE，
则AE2＝502+（10）2﹣2×50×10×＝1700，即AE＝10，
由正弦定理可得＝，可得sin∠EAB＝＝＝，
即sinθ＝，θ∈（0，），可得cosθ＝＝，
在△ACF中，sin∠FAC＝sin（﹣θ）＝sincosθ﹣cossinθ＝×﹣×＝，
sin∠AFC＝sin（+θ）＝cosθ＝，由正弦定理＝，
可得CF＝＝＝，
故EF＝BC﹣BE﹣CF＝50﹣10﹣＝．故EF的值；
（2）设∠EAB＝θ∈（0，），则∠AEB＝﹣θ，∠AFC＝+θ，
由正弦定理＝，可得AE＝＝＝，
在△ACF中，由正弦定理＝，可得AF＝＝＝，
故△AEF的面积S△AEF＝AE•AFsin∠EAF＝×××＝＝＝＝，
∵θ∈（0，），∴2θ+∈（，），∴＜sin（2θ+）≤1，
∴S△AEF＝≥＝1250（﹣1），当且仅当sin（2θ+）＝1，即θ＝时，等号成立，
故△AEF面积的最小值1250（﹣1）．