江苏省南通市如皋市2022-2023学年高一下学期教学质量调研(二)数学试题

2022—2023学年度高一年级第二学期教学质量调研（二）

数学试题

一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知i为虚数单位，复数z满足，则z的实部是（    ）

A．     B．1     C．    D．

2．函数的零点为，且，，则（    ）

A．0     B．1     C．2     D．3

3．在梯形ABCD中，，，且，将梯形绕着边BC所在的直线旋转一周，形成空间几何体的体积为（    ）

A．     B．    C．    D．

4．已知a、b表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ）．

A．若，，，则   B．若，，则

C．若，，，则    D．若，，则

5．已知平面向量，满足，，，则，的夹角为（    ）

A．     B．     C．     D．

6．已知P为平行四边形ABCD内一点，且，若，，则（    ）

A．     B．1     C．     D．2

7．已知正四面体的棱长为，点M为平面ABC内的动点，设直线SM与平面ABC所成的角为，若，则点M的轨迹所形成平面图形的面积为（    ）

A．     B．     C．     D．

8．已知角，满足，，则的最大值为（    ）

A．     B．     C．     D．1

二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列命题正确的有（    ）

A．若，则      B．若，则

C．若，则   D．若为锐角三角形，则

10．已知复数，复数，x，，，所对应的向量分别为，，其中O为坐标原点，则（    ）

A．若，则      B．若，则

C．若，则      D．若，则

11．2023年3月是全国“两会”举办之月，首都北京到处悬挂着五角红旗，五角星是革命和光明的象征．正五角星是一个非常优美的几何图形，在如图所示的五角星中，以A、B、C、D、E为顶点的多边形为正五边形，设O是正五边形ABCDE的中心，则下列说法正确的是（    ）

A．     B．

C．        D．

12．在直三棱柱中，，，点M，N分别是，的中点，则下列说法正确的是（    ）

A．平面

B．异面直线与所成的角为45°

c．若点P是的中点，则平面BNP截直三棱柱所得截面的周长为

D．点Q是底面三角形ABC内一动点（含边界），若二面角的余弦值为，则动点Q的轨迹长度为

三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）

13．已知复数，则________．

14．求值：________．

15．已知函数的表达式为，用二分法计算此函数在区间上零点的近似值，第一次计算，的值，第二次计算的值，第三次计算的值，则________．

16．如图，平面四边形ABCD中，是边长为3的等边三角形，，，将沿BD进行翻折，折成三棱锥，且二面角的大小为．则点A到平面BCD的距离为________；三棱锥的外接球的表面积为________．

四、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）

已知向量，，，若角满足，且．

（1）求的值；

（2）若，且，求．

18．（本小题满分12分）

在下面二个条件中任意选一个填在下面的横线上，并完成试题（如果多选，以选①评分）．

①；

②．

在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若________．

（1）求A；

（2）若，，求c．

19．（本小题满分12分）

已知销售甲、乙两种商品所得利润分别是（单位：万元）和）（单位：万元），它们与投入资金t（单位：万元）的关系有经验公式分别为，，其中为常数．今将5万元资金经营甲、乙两种商品，设对甲种商品投入奖金x万元，其中．

（1）当时，如何进行投资甲、乙两种商品才能使得总利润y最大；

（2）存在，使得甲、乙两种商品投资总利润等于，求a的取值范围．

20．（本小题满分12分）

如图，在三棱锥中，底面，，，点D棱SC上一点，点E、G分别为棱SA、BC的中点，点F是线段AE的中点，平面BDE．

（1）求的值；

（2）求直线AD与平面SBC所成角的正弦值．

21．（本小题满分12分）

在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，的角平分线AD交BC于点D．

（1）若，，求AD的长度；

（2）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围．

22．（本小题满分12分）

在三棱台中，，，平面平面ABC．

（1）求证：平面平面；

（2）若，且，，求二面角的正弦值．

2022－2023学年度高一年级第二学期教学质量调研（二）

数 学 答 案

一、单项选择题：

1.D   2.C  3.A   4.A   5.C    6.D   7.B   8.B

二、多项选择题：

9.BC   10.ABD   11.BC   12.ACD

三、填空题：

13.     14.     15.    16.；

四、解答题

17．

解：（1）由题得，， 2分

所以，从而.

因为，所以,

所以，即.              4分

（2）由（1）可知，所以

因为，

所以，               6分

因为，所以，从而.       8分

所以

.              10分

18.

解：（1）选，在中，由正弦定理得，，

因为，

所以（✱）          2分

又因为，所以，

从而（✱）式变为，

即，             4分

因为，所以，从而，       5分

因为，所以.            6分

选，因为

所以

即          2分

在中，由正弦定理得，

所以，即         4分

由余弦定理得，         5分

因为，所以.            6分

（2）在中，由余弦定理得，  8分

由（1）可知

因为

所以由余弦定理得，,

化简得,             10分

解得或（舍）.             12分

19.

解：（1）由题可知对甲种商品投入奖金万元，则对乙种商品投入奖金万元，其中，

所以总利润.          2分

令，则，，

所以，        4分

当时，取最大值，此时，

所以对甲种商品投入奖金万元，对乙种商品投入奖金万元时，总利润最大.  6分

（2）由题可知总利润，

令，则，，

所以问题转化为存在，使得有解，  8分

化简得

因为，所以，

从而，所以.              10分

又由题知，，所以

 所以.                 2分

20.解：（1）连接，交于点，连接，

因为平面，平面，平面平面

所以.                        2分                                                  

在中，由得，,

所以为的重心，

从而得.                  4分

（2）在平面内，过点作于点，连接，

在中，设，则，

又，所以由余弦定理得，，

从而，即          6分

因为平面，平面，所以,

因为，平面，所以平面.     8分

又平面，所以，

因为，平面，，所以平面,                      

所以直线与平面所成角为.         10分 

易得，，所以，       11分

所以直线与平面所成角的正弦值为.        12分

21.

解：（1）法一：

因为为的角平分线，，

所以，

因为，   2分

所以.              4分

法二：因为为的角平分线

所以,

所以， 从而.        2分

因为，，所以，

所以.              4分

（2）在中，由正弦定理得，

所以， 6分

又，则，

即，又，则.         8分

在中，由正弦定理得，，

所以       10分

因为是锐角三角形，所以，于是，

所以，

所以，从而，       11分

所以三角形周长的取值范围为.       12分

22.

（1）证明：

因为平面平面，平面平面，，平面，

所以平面.

因为平面，

所以.               2分

又因为，，，平面，

所以平面，             3分

又平面，

所以平面平面.            4分

（2）设，连接，

由（1）可知平面，所以，

又因为，所以二面角的平面角为.     6分

又在三棱台中，,,

所以，且.

 因为，所以，

又因为，所以，

从而.

又在中，在中，

所以，解得,        8分

所以.

因为，，所以

由（1）可知平面，平面，所以

所以在中，，即，    10分

从而，

所以二面角的正弦值为．        12分