高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.1 空间向量及其运算学案

1.1.1  空间向量及其线性运算

【学习目标】

【自主学习】

一．空间向量的概念及几类特殊向量

解读：(1)单位向量方向不确定；

(2)零向量方向任意，与任何向量都平行；

(3)向量不能比较大小，但是向量的模可以比较大小；关于两个向量的比较，我们仅研究是否相等。

二．空间向量的表示

空间向量可以用a,b,c…表示，也用有向线段表示，有向线段的     表示向量的模，向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可记作，其模记为       .

三．空间向量的线性运算

思考：空间两个向量的加减法与平面内两个向量的加减法有没有区别？

四．共线向量

(1)定义：表示空间向量的有向线段所在的直线____________，则这些向量叫做________或平行向量.

(2)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使________.

五．方向向量

在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的        成为直线l的方向向量。也就是说直线可以由其一点和它的方向向量确定。

六．共面向量

定义：平行于________________的向量叫做共面向量.

1.证明空间三个向量共面，常用如下方法：

(1)设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若a＝xb＋yc，则向量a，b，c共面；

(2)寻找平面α，证明这些向量与平面α平行.

2.对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面：

(1)＝x＋y；

(2)对空间任一点O，＝＋x＋y；

(3)对空间任一点O，＝x＋y＋z (x＋y＋z＝1)；

(4)∥(或∥，或∥).

【小试牛刀】

1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)

(1)零向量没有方向．(   )

(2)平面内所有的单位向量是相等的．(  )

(3)两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同．(　　)

(4)若表示两向量的有向线段所在的直线为异面直线，则这两个向量不是共面向量．(　　)

(5)若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD是平行四边形的充要条件．(　　)

2.已知空间四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，则等于(　　)

A.a＋b－c   B.－a－b＋c

C.－a＋b＋c D.－a＋b－c

【经典例题】

题型一 空间向量概念

点拨：在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致．

例1 下列命题中正确的个数是(　　)

①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线；

②向量a，b，c共面即它们所在的直线共面；

③若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb.

A．0    B．1    C．2    D．3

【跟踪训练】1 如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，下列四对向量：

①与；②与；③与；④与．其中互为相反向量的有n对，则n等于(　　)

A．4    B．3    C．2    D．1

题型二   空间向量的线性运算

点拨：运用法则进行向量的线性运算时注意的关键要素

(1)向量加法的三角形法则：“首尾相接，指向终点”；

(2)向量减法的三角形法则：“起点重合，指向被减向量”；

(3)平行四边形法则：“起点重合”；

 (4)多边形法则：“首尾相接，指向终点”．

例2 在如图所示的平行六面体中，求证：＋＋＝2.

【跟踪训练】2 如图，已知正方体ABCD­A′B′C′D′，点E是上底面A′B′C′D′的中心，求下列各式中x，y，z的值.

(1)＝x＋y＋z；

(2)＝x＋y＋z.

题型三 向量的共线及判定

例3 如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在对角线A1C上，且＝，求证：E，F，B三点共线.

点拨：要证E，F，B三点共线，只需证明下面结论中的一个成立即可：

(1)＝m；(2)＝＋λ；(3)＝n＋(1－n).

【跟踪训练】3在空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，请判断与＋是否共线．

题型四  向量共面

例4如图,四边形ABCD,四边形ADEF均是平行四边形,点M,N分别在对角线BD,AE上,且BM=AE.求证:向量,,共面.

点拨：不共线，要证明,,共面，只要证明存在唯一的有序实数对(x,y),使=即可。

【跟踪训练】4已知向量a，b，c不共面，且p＝3a＋2b＋c，m＝a－b＋c，n＝a＋b－c，试判断p，m，n是否共面．

【当堂达标】

1.(多选)下列说法：其中错误的是(　　)

A.若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同；

B.若向量，满足||＞||，且与同向，则＞；

C.若两个非零向量与满足＋＝0，则，为相反向量；

D.＝的充要条件是A与C重合，B与D重合.

2.向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是(　　)

A．a＝b    B．a＋b为实数0   C．a与b方向相同    D．|a|＝3

3.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，＝，若＝x＋y(＋)，则(　　)

A．x＝1，y＝     B．x＝，y＝1     C．x＝1，y＝  D．x＝1，y＝

4.如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝3，AD＝2，AA′＝1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：

①单位向量共有多少个？②试写出模为的所有向量．

③试写出与向量相等的所有向量．④试写出向量的所有相反向量．

5.如图，已知空间四边形OABC，M，N分别是边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG＝2GN，设＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量.

6.已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝＋＋.

(1)判断，，三个向量是否共面；

(2)判断点M是否在平面ABC内.

【课堂小结】

一．概念：

1.空间向量的概念及特殊空间向量；2.空间向量的表示；

3.空间向量的加、减法运算、数乘运算；4.共线向量；

5.方向向量；6.共面向量。

二．证明：

1.三点共线；

2.四点共面。

【参考答案】

【自主学习】

一．大小　方向　长度或模　1　长度为0　相同　相等　方向　模

二．长度   |a|或||

三．    b＋a   (λμ)a  λa＋λb

思考：没有区别．

四．(1)互相平行或重合　共线向量　(2)  a＝λb

五．非零向量

六．同一个平面

【小试牛刀】

1、×  ×   √  ×  √

2、C 解析：＝＋＋＝－＋＝－a＋b＋c.

【经典例题】

例1  A 解析：①中b＝0时，则a与c不一定共线；②中，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面；③中，当b＝0，a≠0时λ不存在，故①②③均错．

【跟踪训练】1 C 解析：对于①与，③与中的两向量，长度相等，方向相反，均为互为相反向量；对于②与长度相等，方向不相反；对于④与长度相等，方向相同．故互为相反向量的有2对．

例2 证明　∵平行六面体的六个面均为平行四边形，

∴＝＋，＝＋，＝＋，

∴＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝2(＋＋)．

又∵＝，＝，

∴＋＋＝＋＋＝＋＝.

∴＋＋＝2.

【跟踪训练】2解：(1)因为＝＋＝＋＋＝－＋＋，

又＝x＋y＋z，

所以x＝1，y＝－1，z＝1.

(2)因为＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋＋，又＝x＋y＋z，

所以x＝，y＝，z＝1.

例3 【证明】　设＝a，＝b，＝c.

∵＝2，＝，

∴＝，＝.

∴＝＝b，＝(－)＝(＋－)＝a＋b－c.

∴＝－＝a－b－c＝(a－b－c)．

又＝＋＋＝－b－c＋a＝a－b－c，

∴＝，所以E，F，B三点共线．

【跟踪训练】3 解：连接AC，取AC的中点G，连接EG、FG，

∵E、F分别为AB、CD的中点．

∴＝，＝.

又∵E、F、G三点共面，

∴＝＋＝(＋)，即与＋共线．

例4 证明：由题图知,=-(+,所以向量,,共面.

【跟踪训练】4 解：设p＝xm＋yn，

即3a＋2b＋c＝x(a－b＋c)＋y(a＋b－c)＝(x＋y)a＋(－x＋y)b＋(x－y)c.

因为a，b，c不共面，所以

而此方程组无解，所以p不能用m，n表示，

即p，m，n不共面．

【当堂达标】

1.ABD 解析：A错误.两个空间向量相等，其模相等且方向相同，但与起点和终点的位置无关.

B错误.向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小.

C正确.＋＝0，得＝－，且，为非零向量，所以，为相反向量.

D错误.由＝，知||＝||，且与同向，但A与C，B与D不一定重合.

2.D 解析：向量a，b互为相反向量，则a，b模相等、方向相反，故选D.

3.D 解析：＝＋＝＋＝＋(＋)．所以x＝1，y＝．

4.解　①由于长方体的高为1，所以长方体的四条高所对应的向量，，，，，，，，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个．

②由于长方体的左右两侧面的对角线长均为，故模为的向量有，，，，，，，.

③与向量相等的所有向量(除它自身之外)有，及.

④向量的相反向量有，，，.

5.解：＝＋＝＋＝＋(＋＋)＝＋＝＋＝＋＋＝a＋b＋c.

6.解：如图：

(1)由已知，得＋＋＝3，∴－＝(－)＋(－)，∴＝＋＝－－.∴向量，，共面.

(2)由(1)知，向量，，共面，表明三个向量的有向线段又过同一点M，

∴M，A，B，C四点共面，∴点M在平面ABC内.