浙江省金华市2021年中考数学试卷【含答案】

浙江省金华市2021年中考数学试卷

一、一、选择题(本题有10小题,每小题3分,共30分)

1．实数 ， ，2，-3中，为负整数的是（　　）

A． B． C．2 D．-3

2． （　　）

A．3 B． C． D．

3．据科学家估计，太阳与地球的平均距离大约是 千米，现将数字 用科学记数法表示应为（　　）

A． B． C． D．

4．一个不等式的解在数轴上表示如图，则这个不等式可以是（　　）

A． B． C． D．

5．某同学的作业如下框，其中※处填的依据是（　　）

A．两直线平行，内错角相等 B．内错角相等，两直线平行

C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，同旁内角互补

6．将如图所示的直棱柱展开，下列各示意图中不可能是它的表面展开图的是（　　）

A． B．

C． D．

7．如图是一架人字梯，已知 米，AC与地面BC的夹角为 ，则两梯脚之间的距离BC为（　　）

A． 米 B． 米 C． 米 D． 米

8．已知点 在反比例函数 的图象上.若 ，则（　　）

A． B． C． D．

9．某超市出售一商品，有如下四种在原标价基础上调价的方案，其中调价后售价最低的是（　　） 

A．先打九五折，再打九五折 B．先提价 ，再打六折

C．先提价 ，再降价  D．先提价 ，再降价

10．如图，在 中， ，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点 都在同一个圆上.记该圆面积为 ， 面积为 ，则 的值是（　　）

A． B． C． D．

二、填空题 (本题有6小题,每小题4分,共24分)

11．二次根式 中，x的取值范围是　     　． 

12．已知 是方程 的一个解，则m的值是　     　.

13．某单位组织抽奖活动，共准备了150张奖券，设一等奖5个，二等奖20个，三等奖80个.已知每张奖券获奖的可能性相同，则1张奖券中一等奖的概率是　     　.

14．如图，菱形 的边长为 ， ，将该菱形沿AC方向平移 得到四边形 ， 交CD于点E，则点E到AC的距离为　     　 .

15．如图，在平面直角坐标系中，有一只用七巧板拼成的“猫”，三角形①的边BC及四边形②的边CD都在x轴上，“猫”耳尖E在y轴上.若“猫”尾巴尖A的横坐标是1，则“猫”爪尖F的坐标是　             　.

16．如图1是一种利用镜面反射，放大微小变化的装置.木条BC上的点P处安装一平面镜，BC与刻度尺边MN的交点为D，从A点发出的光束经平面镜P反射后，在MN上形成一个光点E.已知 ， .

（1）ED的长为　     　.

（2）将木条BC绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到 （如图2），点P的对应点为 ， 与MN的交点为D′，从A点发出的光束经平面镜 反射后，在MN上的光点为 .若 ，则 的长为　     　.

三、解答题 (本题有8小题,共66分,各小题都必须写出解答过程)

17．计算： .

18．已知 ，求 的值.

19．已知：如图，矩形 的对角线 相交于点O， .

（1）求矩形对角线的长.

（2）过O作 于点E，连结BE.记 ，求 的值.

20．小聪、小明准备代表班级参加学校“党史知识”竞赛，班主任对这两名同学测试了6次，获得如下测试成绩折线统计图.根据图中信息，解答下列问题：

（1）要评价每位同学成绩的平均水平，你选择什么统计量？求这个统计量.

（2）求小聪成绩的方差.

（3）现求得小明成绩的方差为 （单位：平方分）.根据折线统计图及上面两小题的计算，你认为哪位同学的成绩较好？请简述理由.

21．某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同.如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为 .

（1）求雕塑高OA.

（2）求落水点C，D之间的距离.

（3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF， ， .问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明.

22．在扇形 中，半径 ，点P在OA上，连结PB，将 沿PB折叠得到 .

（1）如图1，若 ，且 与 所在的圆相切于点B.

①求 的度数.

②求AP的长.

（2）如图2， 与 相交于点D，若点D为 的中点，且 ，求 的长.

23．背景：点A在反比例函数 的图象上， 轴于点B， 轴于点C，分别在射线 上取点 ，使得四边形 为正方形.如图1，点A在第一象限内，当 时，小李测得 .

探究：通过改变点A的位置，小李发现点D，A的横坐标之间存在函数关系.请帮助小李解决下列问题.

（1）求k的值.

（2）设点 的横坐标分别为 ，将z关于x的函数称为“Z函数”.如图2，小李画出了 时“Z函数”的图象.

①求这个“Z函数”的表达式.

②补画 时“Z函数”的图象，并写出这个函数的性质（两条即可）.

③过点 作一直线，与这个“Z函数”图象仅有一个交点，求该交点的横坐标.

24．在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，点B在直线 上，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于点C.

（1）如图，点B，C分别在第三、二象限内，BC与AO相交于点D.

①若 ，求证： .

②若 ，求四边形 的面积.

（2）是否存在点B，使得以 为顶点的三角形与 相似？若存在，求OB的长；若不存在，请说明理由.

1．D 2．D 3．D 4．B 5．C 6．D 7．A 8．B 9．B 10．C

11．x≥3 12．2 13．  14．2 15．

16．（1）13   （2）

17．解：原式

18．解：原式

当 时，原式

19．（1）解：∵四边形 是矩形

，

是等边三角形，

，

所以

（2）解：在矩形 中， .

由（1）得， .

又

在 中，

20．（1）解：平均数：

（分）

（分）

（2）解： （平方分）

（3）解：答案不唯一，如：

①从平均数看， ，∴两人的平均水平一样.

②从方差来看， ，∴小聪的成绩比较稳定，小明的成绩波动较大.

③从平均数和方差来看， ， ，∴两人的平均水平一样，但小聪的成绩更稳定.

21．（1）解：由题意得，A点在图象上.

当 时，

（2）解：由题意得，D点在图象上.

令 ，得 .

解得： （不合题意，舍去）.

（3）解：当 时， ，

，

∴不会碰到水柱

22．（1）解：①如图1，

为圆的切线 .

由题意可得， ， .

，

②如图1，连结 ，交BP于点Q.则有 .

在 中， .

在 中， ，

（2）解：如图2.连结OD.设 .

∵点D为 的中点.

.

由题意可得， .

又

， ，解得 .

23．（1）解：由题意得， ，

点A的坐标是 ，所以

（2）解：①设点A坐标为 ，所以点D的横坐标为 ，

所以这个“Z函数”表达式为 ；

②画出的图象如图，

性质如下（答案不唯一）；

（a）函数的图象是两个分支组成的，是两条曲线

（b）函数的图象关于直角坐标系的原点成中心对称.

（c）当 时，函数值z随自变量x的增大而增大，当 时，函数值z随自变量x的增大面增大.

③第一种情况，当过点 的直线与x轴垂直时， ；

第二种情况，当过点 的直线与x轴不垂直时，设该直线的函数表达式为 ，

，即 ，

，

由题意得，

，

（a）当 时， ，解得 ；

（b）当 时， ，

解得 ，

当 时， .解得 ；

当 时， ，解

所以x的值为

24．（1）解：①证明：如图1，

∵ ，∴ .

∴ ，∴ .

而 ，

∴ .

∵ ，∴ .

∴ ，

∴ .

②如图1，过点A作 于点H.由题意可知 ，

在 中， .设 ， .

∵ ，∴ ，解得 .

∴ .

∵ ，

∴ ，

∴

∴ .

∵ ，

∴ ，

∴ ，

：

∴

（2）解：过点A作 于点H，则有 .

①如图2，当点C在第二象限内， 时，设

∵ ，∴ .

又∵ ，

∴ .

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，∴ ，

∴ ，整理得 ，解得 .

∴ .

②如图3，当点C在第二象限内， 时，延长 交于点G，

则 ，∴ .

又∵ ，

∴ ，

而 ，

∴ ，

∴

③当点C在第四象限内， 时， 与 相交于点E，则有 .

(a)如图4，点B在第三象限内.

在 中， ，∴

∴ ，

又∵ ，

∴ ，

而

∴ ，

∴

∴ ，

∴ ，

∴

(b)如图5，点B在第一象限内.

在 中

∴ ，∴ .

又∵ ，

∴

而 ，∴

∴

∴ ，

∴ ，

∴

综上所述， 的长为 ，4，9，1.