重庆市第八中学校2023届高三下学期高考适应性月考（七）数学试卷（含答案）

重庆市第八中学校2023届高三下学期高考适应性月考（七）数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、若集合，, 则 (   )

A. B. C. D.

2、若复数 ( i是虚数单位), 则 对应的点在(   )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第风象限

3、若向量 , 满足,, 则 (   )

A. B. C. 8 D. 12

4、已知函数, 若 是函数 图象的一条对称轴, 则其图象的一个 对称中心为(   )

A. B. C. D.

5、文字的雏形是图形，远古人类常常通过创设一些简单的图形符号，借助不同的排列方式，表达不同的信息，如图.如果有两个“”，两个“”和两个“”.把它们从上到下摆成一列来传递一些信息，其中第一个位置确定为“”，同一种图形不相邻，那么可以传递的信息数量有(   )

A. 8 个 B. 10 个 C. 12 个 D. 14 个

6、若 为奇函数, 则 (   )

A.2 B.-2 C. D.

7、半径均为R 的四个球两两之间有且仅有一个公共点，在以四个球心为顶点的三棱锥的内部放一个小球，小球体积的最大值为(   )

A. B. C. D.

8、若,,, 则(   )

A.  B. C. D.

二、多项选择题

9、已知,,, 则(   )

A.  B.

C.  D.

10、如下图，点 A, B,C, P,Q是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足平面ABC的有(   )

A.  B.

C.  D.

11、已知抛物线, 过焦点F 的直线l 与 C交于 ,两点, ,E与F 关于原 点对称, 直线AB 和直线AE 的倾斜角分别是,, 则 (   )

A.  B.

C.  D.

12、函数 与 的定义域为R, 且,. 若的图像关于点 对称. 则 (   )

A.的图像关于直线 对称 B.

C.的一个周期为 4 D.的图像关于点对称

三、填空题

13、设随机变量, 若, 则 的最大值为______

14、若直线 与圆心为C 的圆 相交于A,B 两点, 则 _______.

15、已知正实数x,y 满足, 则 的最小值为_______.

16、已知点在函数的图象上, 过点 P作曲线 的两条切线,, 若 , 的倾斜角互补, 则 _______.

四、解答题

17、记数列 的前n 项和为, 且.

(1)若,, 求;

(2)若是等差数列, 证明:.

18、已知的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,,.

(1)求 A;

(2) M为内一点, AM的延长线交BC 于点D, ________, 求的面积.

请在下列两个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，并解决问题.

①的三个顶点都在以M 为圆心的圆上, 且;

②的三条边都与以 M为圆心的圆相切, 且.

19、如图, 在三棱锥中, 平面ABC,,,, 点 Q满足 平面ABC,, 且 Q在平面ABP 内的射影恰为的重心.

（1）求直线BQ 与平面ABP 所成角的正弦值；

（2）求点B 到平面APQ 的距离.

20、某辖区组织居民接种新冠疫苗，现有A，B，C，D 四种疫苗且每种都供应充足.前来接种的居民接种与

号码机产生的号码对应的疫苗，号码机有A，B，C，D 四个号码，每次可随机产生一个号码，后一次产生

的号码由前一次余下的三个号码中随机产生，张医生接种A 种疫苗后，再为居民们接种，记第n 位居民（不

包含张医生）接种A，B，C，D 四种疫苗的概率分别为,,,.

(1)第2 位居民接种哪种疫苗的概率最大；

(2)证明：

（3）张医生认为，一段时间后接种A，B，C，D 四种疫苗的概率应该相差无几，请你通过计算第10 位居民接种A，B，C，D 四种的概率，解释张医生观点的合理性.

参考数据：,,,

21、如图, 平面直角坐标系xOy 中, 直线l 与 y轴的正半轴及 x轴的负半轴分别相交于P,Q 两点, 与椭圆 相交于A,M 两点 (其中M 在第一象限), 且 ,N与M 关于 x轴对称, 延长NP 交㮋圆于点B.

(1)设直线 AM,BN的斜率分别为,, 证明: 为定值;

(2)求直线AB 的斜率的最小值.

22、已知函数, 其中.

(1) 若, 讨论 的单调性;

(2) 若 不为 的极值点, 求a.

参考答案

1、答案： A

解析：由已知得，. 所以.

故选: A.

2、答案： C

解析：因为, 则, 因此, 对应的点, 在第三象限. 故选: C.

3、答案： A

解析：, 得,

所以.

故选: A.

4、答案： A

解析：因为 是函数 图象的对称轴,

所以, 则 又因为, 所以.

令, 得,

所以函数 图象的一个对称中心为.

故选: A.

5、答案： B

解析：列举得：,，，，，

，，，,

共 10 种,

故选: B.

6、答案： C

解析：因为函数 为奇函数,

所以 的定义域关于原点对称.

若, 则 的定义域

不关于原点对称，

所以 ，的定义域为 且,

从而, 解得.

所以, 定义域为.

令,

得，.

经检验, 为奇函数,

故选: C.

7、答案： D

解析：所得三棱雉是边长为 的正四面体, 不妨记为, 令体积最大的小球半径为r, 球心为O, 连接 AO并延长交平面 BCD于点, 则 平面 BCD,为正三角形 BCD的中心, 且, 连 接OC,,

则由正弦定理得, 所以,

在 中, ,

在中, 由 得,

则 所以小球的最大体积为.

故选: D.

8、答案： B

解析：令，,

所以 在 上单调递减, 又, 所以, 即.

令, 则, 则, 即,

所以.

由, 得,

所以,

综上.

故选: B.

9、答案： AC

解析：由条件, , 所以，，, 故 A 正确, B 错误; 因为, 所以，, 故 C 正确, D 错误, 故选: AC.

10、答案： BD

解析：对于 A，如下图，连接BD，则

又平面, 则 平面ABC, 所以 PQ不平行平面ABC, 故 A 不正确;

对于 B, 因为 ，平面 ABC,平面ABC, 所以 平面ABC, 故 B 正确; 对于 C, 如下图, 取FN 中点D, 连接EF,MN,CD,BD,

由正方体得,,，又,，

所以 A, B,C,D, P,Q六点共面，故 C 不正确；

对于D，如下图，连接PD 交AB 于O ，连接OC ，

在正方体中，由于四边形APBD 为正方形，所以O为PD中点，又C为DQ中点，所以，平面ABC ， 平面ABC ，所以平面ABC ，故D 正确.

故选：BD.

11、答案： BD

解析：作 轴于D, 作 轴于C, 则 ，

由，, 则，,

抛物线 的焦点, 因为, 所以, 即,

所以直线l 的斜率存在设为k, 可得直线l 的方程为,

与抛物线方程联立, 整理得, 所以,

则，,

对于 A:，,

所以, 故 A 错误;

对于 B: 因为，,

所以

所以直线AE 与 BE的倾斜角互补, 即, 故 B 正确;

对于 C: 因为, 所以, 即,

因为, 所以, 故C 错误;

对于D : 因为，,

所以，

,

所以,

所以, 即, 故 D 正确,

故选：BD

12、答案： AC

解析： A 选项: 由, 得, 又, 所以 ，的图像关于 对称, A选项正确;

B 选项: 由 的图像关于点 对称, 得, 由A 选项结论知, 所以, 从而, 故, 即 的一个周期为 4 ,

因为，，,

所以 ，B 选项错误；

C 选项: 由, 及,

则, 得, 函数 的周期为4,C 选项正确;

D 选项: 取，, 又,

与 的图像关于点 对称矛盾, D 选项错误,

故选: AC.

13、答案：3

解析：随机变量, 由 可得, 所以 又 ，当且仅当 时, “”成立, 故 的最大值为 3 . 故答案为: 3 .

14、答案：

解析：过点C 作, 垂足为M, 圆心C 到直线l 的距离为, 所以, 即, 所以. 故答案为:

15、答案：

解析：由, 得,

令, 则 在R 上单调递增, 所以, 即,

又因为 x,y是正实数,

所以,

当且仅当, 即 时等号成立, 故答案为:

16、答案：

解析：对于函数, 则,

则可设 ， 分别与函数 相切于 ，两点,

所以, 即, 解得.

故答案为:.

17、答案：(1) 当 时, ,

当 时,

(2)见解析

解析：因为, 所以,

即 ①,

若，, 则由①得：

, 解得 或,

当 时, ,

当 时,.

(2) 证明: 若 是等差数列, 设公差为d,

则由①得:,

化简得, 即,

所以 且, 得证.

18、答案：(1)

(2)

解析：在 中, 因为, 所以,

由正弦定理, 得,

因为, 所以,

化简, 得, 因为, 所以.

(2)选条件①:

设 的外接圆半径为R,

则在 中, 由正弦定理得, 即,

由题意知:，,

由余弦定理知:,

所以，.

在 中, 由正弦定理知:,

所以,

从而, 所以 为等边三角形,

的面积.

选条件②:

由条件知:,

由, 得,

因为, 所以, 即,

由（1） 可得, 即,

所以, 即,

又因为, 所以,

所以 的面积.

19、答案： (1)

(2)

解析：(1)由条件, 以C 为原点, 方向为 x轴的正方向建立空间直角坐标系, 如图.

设,

则，，，,

则 的重心.

设, 则，,

因为 平面ABC, 所以, 则, 即.

，

因为 平面ABP, 且，,

所以, 即,

又由, 得.

解得，.

，，

所以, 直线BQ 与平面ABP 所成角的正弦值为.

(2),

设平面APQ 的法向量为,

则, 即, 取,

又,

点B 到平面APQ 的距离.

20、答案： (1) 第 2 位居民接种A 疫苗的概率最大

(2)见解析

(3)张医生的话合理

解析: (1)第 1 位居民接种A,B,C,D 疫苗的概率分别为0，，，,

第 2 位居民接种A 疫苗的概率;

第 2 位居民接种B 疫苗的概率;

同理, 第 2 位居民接种C,D 疫苗的概率也等于.

故第 2 位居民接种A 疫苗的概率最大.

(2)证明: 由于第n 位居民接种A,B,C,D 疫苗概率分别为,,,,

则,

同理:,

相减得,

又,,, 同理可得,

故.

(3) 因为, 所以,

故数列 是公比为 的等比数列.

又由,

故,

即 ，

从而,

同理,

所以,

第 10 位居民接种 A,B,C,D疫苗概率应该相差无几.

第 位居民接种 A,B,C,D疫苗概率应该相差将会更小, 所以张医生的话合理.

21、答案：(1)

(2)

解析：设，,

由 可得，.

直线AM 的斜率,

直线BN 的斜率,

此时, 所以 为定值.

(2) 设,, 直线AM 的方程为, 直线NB 的方程为

联立 整理得.

由, 可得,

所以.

同理,.

所以,

所以.

因为,

所以, 等号当且仅当 时取得, 所以直线 AB的斜率的最小值为.

22、答案： (1)在 上单增, 在 上单减

(2)

解析：(1)若, 则,,

令, 得,, 得,

所以 在 上单增, 在 上单减.

(2)由 (1) 知, 只需讨论 时的情形,

, 其中,

令, 则,

其中,

令, 则,

其中

（这里有. 证明: 令, 则, 令, 解得,

所以 在 上单增, 在 上单减, 故 )

因为, 且,

所以 在 上恒成立,

所以 在 上恒成立, 即 在 上单增.

①当, 即 时, 在 上单减, 在上单增, 此时 在 上恒成立,所以 在 上单增, 不为 的极值点, 符合题意.

②当, 即 时, 取,

则当 时,

故存在, 使得, 则 在 上单减, 在 上单增, 又因为, 所以 在 上单减, 在 上单增, 此时 为 的极小值点, 不合题意.

③当, 即 时, 取,

则当 时,

故存在, 使得, 则 在 上单减, 在 上单增,

又因为, 所以 在 上单增, 在 上单减, 此时 为 的极大值点, 不合题意.

综上所述,.