2022-2023学年福建省福州市福清市西山学校九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省福州市福清市西山学校九年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列四个数中，最小的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，这是一个由个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图(    )

A.
B.
C.
D.

3.  在中国共产党第二十次全国代表大会开幕会上，给出了这样的一组数据：基本养老保险覆盖人数已达亿，推动实现全体老年人享有基本养老服务，将数据亿用科学记数法表示，其结果是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列四个图形中，是轴对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  下列计算中，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  如表是我国个省份年人均地区生产总值人均的统计表．

从中随机抽取一个省份，其人均不足万元的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，数轴上的范围是某个不等式组的解集，则该不等式组可以是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，，分别与相切于点，，是上一点，若，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  在数学综合实践课上，某学习小组计划制作一个款式如图所示的风筝在骨架设计中，两条侧翼的长度设计为，风筝顶角的度数为，在，上取，两处，使得，并作一条骨架在制作风筝面时，需覆盖整个骨架，根据以上数据，，两点间的距离大约是参考数据：，，(    )

A.  B.  C.  D.

10.  已知平面直角坐标系中有一点，以点为圆心的上有一点平移得到，若点与其对应点关于原点对称，则点的坐标是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  的倒数是______．

12.  若反比例函数的图象在其每个象限内，随的增大而增大，则的值可以是______ 写出一个符合条件的值即可

13.  如图，在中，，是的平分线，，，则的面积是______ ．

14.  在某次训练中，甲、乙两名射击运动员各射击次的成绩统计图如图所示，对于本次训练，射击成绩更稳定的是______ 填“甲”或“乙”．

15.  在实数的原有运算法则中，补充定义新运算“”，其运算法则为对于实数原有的运算律：交换律；结合律；分配律运算“”仍然成立的运算律是______ 写出所有正确结论的序号．

16.  已知二次函数的图象与轴交于，两点，若，则的取值范围是______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
如图，点，，，顺次在一条直线上，点，在异侧若，，，求证：．

19.  本小题分
先化简再计算：，其中．

20.  本小题分
为了丰富学生的生活，拓宽学生的视野，提高学生各方面的能力，某校组织八年级全体学生共人前往某社会实践基地开展研学活动，学校若租用辆型客车和辆型客车，则恰好全部坐满已知每辆型客车的乘客座位数比型客车多个．
求每辆型客车和每辆型客车的乘客座位数．
为确保研学活动能够更好地展开与记录，每辆车上需有名教师同行，学校决定调整租车方案已知租用一辆型客车的费用为元，租用一辆型客车的费用为元在保持租用车辆总数不变的情况下，为接载所有参加活动的师生，如何租用车辆可使得租车总费用最少，并求租车总费用的最小值．

21.  本小题分
如图，四边形内接于，且的半径为，．
若，求的长．
若，，求证：．

22.  本小题分
为了解某校九年级男生“双手头上前掷实心球”的成绩，校团委随机抽取了名男生进行测试，记录了他们的投掷距离单位：，并分组整理，制成如下不完整的统计表其中组为，组为，组为，组为，组为，组为，组为．

填空：的值是______ ；的值是______ ．
已知组的“双手头上前掷实心球”的评分标准如下：

其中，末达到下一距离的按前一距离的得分记，如当时，得分为．
对于组的名同学中，有名同学的得分分别是，，，，，，，请估计这名男生投掷距离的中位数的取值范围．

23.  本小题分
如图，在等腰直角三角形中，，是边上一点，连接．
在线段上确定一点，连接，使得尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；
在的条件下，连接，若是的中点，求的值．

24.  本小题分
如图，已知矩形，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，其中点，分别是点，的对应点．
如图，当点在对角线上时，
若旋转角为，求的大小；
若，，求的长．
若直线，交于点，求证：是的中点．
 

25.  本小题分
已知二次函数交轴于，两点点在点左侧，交轴于点，点与点关于抛物线的对称轴对称，过点的直线交抛物线于点．
若，求的值．
若平分，
求的值；
求证：不论取何值，总有．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意知，，
故选：．
根据实数的大小得出结论即可．
本题主要考查实数的大小比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：从正面看，底层有三个小正方形，上层右边是一个小正方形，
故选：．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图．解题的关键是理解简单组合体的三视图的定义，明确从正面看得到的图形是主视图．
 

3.【答案】 

【解析】解：亿．
故选：．
先将亿化为原数，再用科学记数法表示即可．
本题考查用科学记数法表示绝对值大于的数，掌握形式为，其中是关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：选项B的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
选项A、、的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

5.【答案】 

【解析】解：、原式，故A不符合题意．
B、与不是同类项，不能合并，故B不符合题意．
C、原式，故C不符合题意．
D、原式，故D符合题意．
故选：．
根据幂的乘方运算、合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则即可求出答案．
本题考查幂的乘方运算、合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则，本题属于基础题型．
 

6.【答案】 

【解析】解：从中随机抽取一个省份共有种等可能结果，其中人均不足万元的有种结果，
所以从中随机抽取一个省份，其人均不足万元的概率是，
故选：．
从中随机抽取一个省份共有种等可能结果，其中人均不足万元的有种结果，再根据概率公式求解即可．
本题主要考查概率公式，随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据数轴得：，
则这个不等式可以是．
故选：．
观察数轴上表示的解集，判断即可．
此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：连接、，作所对的圆周角，如图，
，分别与相切于点，，，
，，
，
，
，
，
．
故选：．
连接、，作所对的圆周角，如图，根据切线的性质得到，再利用四边形的内角和计算出，接着根据圆周角定理得到，然后根据圆内接四边形的性质求出的度数．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
 

9.【答案】 

【解析】解：设与交于点，连接，交于点，

，，
，
，
∽，
，
，
，
，
，，
，，
在中，，
，
，
，两点间的距离大约是，
故选：．
设与交于点，连接，交于点，根据已知易证∽，然后利用相似三角形的性质可得，从而可得，进而可得，再利用等腰三角形的三线合一性质可得，，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：平移后，点与其对应点关于原点对称，点，
的坐标为，
设点的坐标为，
由平移的性质可得，，，
，，
点的坐标为．
故选：．
由题意得的坐标为，根据平移的性质可知，点与点的横坐标之差与点与点的横坐标之差相等，点与点的纵坐标之差与点与点的纵坐标之差相等，由此可得答案．
本题考查关于原点对称的点的坐标、坐标与图形变化平移，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题比较简单，考查了倒数的定义，即若两个数的乘积是，我们就称这两个数互为倒数根据倒数的定义可直接解答．
【解答】
解：因为，
所以的倒数是．  

12.【答案】答案不唯一 

【解析】解：它在每个象限内，随增大而增大，
，
符合条件的的值可以是，
故答案为：答案不唯一．
根据它在每个象限内，随增大而增大判断出的符号，选取合适的的值即可．
本题考查的是反比例函数的性质，此题属开放性题目，答案不唯一，只要写出的反比例函数的解析式符合条件即可．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，过作于，
平分，，
，
，
的面积．
故答案为：．
过作于，由角平分线的性质，即可求得的长，继而求得三角形面积．
本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线性质得出是关键．
 

14.【答案】甲 

【解析】解：由图中知，甲的成绩的波动较乙成绩大，
所以乙更稳定．
故答案为：乙．
从折线图中得出甲乙的射击成绩，再利用方差的公式计算，即可得出答案．
本题考查折线统计图、方差，知道波动大的稳定性较差是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，那么交换律成立；
，，则与不一定成立，那么结合律不成立；
，那么分配律不成立．
综上：成立的运算律是．
故答案为：．
根据实数的运算法则解决此题．
本题主要考查实数的运算，熟练掌握实数的运算法则是解决本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：根据题意设的两个根为、，
则，．
，
．
当时，，
．
又的判别式，
．
．
当时，，
．
．
综上，．
故答案为：．
依题意，设的两个根为、，则，再结合根的判别式列出不等式即可得解．
本题考查了二次函数图象与系数的关系及根的判别式、不等关系间的推导，需要熟练掌握知识间的联系．
 

17.【答案】解：

． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

18.【答案】证明：，
，
，
，
即，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】由平行线的性质得出，由可以得出，由证明≌，即可得出结论．
本题考查了平行线的性质，全等三角形的性质和判定，证明三角形全等是解决问题的关键．
 

19.【答案】解：原式，
当时，原式． 

【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

20.【答案】解：设每辆型客车的乘客座位数有个，则每辆型客车的乘客座位数有个，
根据题意得：，
解得：，
则，
每辆型客车的乘客座位数由个，每辆型客车的乘客座位数有个；
设租用型客车辆，则租用型客车辆，
根据题意可得：，
解得：，
，
，
，
设租车的总费用为元，
，
，
随的增大而增大，
当时，取得最小值，最小值为元．
租用辆型客车，辆型客车可使得租车总费用最少，租车总费用的最小值为元． 

【解析】设每辆型客车的乘客座位数有个，则每辆型客车的乘客座位数有个，根据“若租用辆型客车和辆型客车，则恰好全部坐满”列出方程，求解即可；
设租用型客车辆，则租用型客车辆，以此可列出一元一次不等式，解得，由得，于是，设租车的总费用为元，因此，根据一次函数的性质，结合的取值范围即可求解．
本题主要考查一次函数的应用、一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，解题关键是读懂题意，根据等量关系列出方程和函数关系式是解题关键．
 

21.【答案】解：连接，，，

四边形内接于，，
，
，
的长为；
证明：，
，

，
，
，
，
，
为等边三角形，
． 

【解析】连接，，根据圆内接四边形的性质得到，由圆周角定理得到，根据弧长的公式即可得到结论；
根据，得，根据，得，所以，，可得为等边三角形，即可得出结论．
本题考查的是圆周角定理、弧长的计算、圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
 

22.【答案】   

【解析】解：人；
人；
人；
人；
，
，
．
故答案为：，．
由表得第个和个数据是组的前两个数据，
将组名同学得分排序：，，，，，，，
当另两名同学的得分小于且最低都是分时，，
当另两名同学的得分大于时，，
．
名男生投掷距离的中位数的取值范围．
根据频数与频率的定义计算即可．
分析出中位数应在组后，讨论出另两名同学的得分的取值范围，进而求出的取值范围．
本题考查了频数与频率的求法、中位数的求法，根据已有数据合理的估计是解题关键．
 

23.【答案】解：如图，点即为所求；

过点作交于点，过点作于点，过点作于点，如图，设，
为等腰直角三角形，
，，
，，
，
，
，
，
，
，，
为等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，，
∽，
，即，
解得，，
，
∽，
，即，
解得，，
，
在中，，
． 

【解析】作交于点，由于，所以；
过点作交于点，过点作于点，过点作于点，如图，设，则，，，利用为等腰直角三角形得到，，所以，，，再证明∽，利用相似比得到，，接着证明∽，利用相似比求出，，则，然后利用勾股定理计算出，从而可计算的值．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质．
 

24.【答案】解：将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，
，，
是等边三角形，
，
；
解：如图，过点作于，

，，
，
，
，
，
将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，
，
，
；
证明：如图，连接，，，，

将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，
，，，，
，
，
点，点，点，点四点共圆，
，，
，
点，点，点，点四点共圆，
，
，
，
，
点，点，点三点共线，
，，
，
，
，
点是的中点． 

【解析】由旋转的性质可得，，可证是等边三角形，可得，即可求解；
由勾股定理可求的长，由面积法可求的长，由勾股定理可求的长，由等腰三角形的性质可求解；
通过证明点，点，点，点四点共圆，可得，，通过证明点，点，点，点四点共圆，可得，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，圆的有关知识，旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，添加恰当辅助线是解题的关键．
 

25.【答案】解：对于，当时，，即点，
令，则或，即点、的坐标分别为：、，
则，
解得：；

解：如图，过点作于点，

设，
由抛物线的表达式知，其对称轴为，则点，
设直线的表达式为：，
将点的坐标代入上式得：，则，即，
若平分，
则直线和直线关于轴对称，则，
即，
设直线的表达式为：，
联立得：，
解得：舍去或，
即点，
由点、的坐标得，，
同理可得，，
则；
证明：由知，，则，，
在中，，同理可得：，
则，
在中，，
设，
则，
即函数和轴没有交点，而，故恒大于，
即，
，
则． 

【解析】由，即可求解；
求出点，得到直线的表达式为：，确定，即，若平分，则直线和直线关于轴对称，则，求出，即可求解；
在中，，同理可得：，进而求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、一次和二次函数的基本性质、三角形的面积计算等，有一定的综合性，难度适中．