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2023年北京二中教育集团中考数学一模试卷（含解析）
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这是一份2023年北京二中教育集团中考数学一模试卷（含解析），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年北京二中教育集团中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 根据北京市统计局发布的统计数据，2022年首都的各项事业都取得了新进展，其中GDP总量达到41600亿元，数字41600用科学记数法可表示为( )
A. 4.16×104 B. 41.6×104 C. 4.16×105 D. 0.416×105
2. 有理数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若有理数b满足b<−a，则b的值可能是( )
A. 2 B. −2 C. 0 D. −3
3. 下列图形中，是轴对称图形不是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
4. 若正多边形的内角和是540°，则该正多边形的一个外角为( )
A. 45° B. 60° C. 72° D. 90°
5. 关于x的一元二次方程x2−(k+3)x+2k+1=0根的情况是( )
A. 无实根 B. 有实根 C. 有两个不相等实根 D. 有两个相等实根
6. 为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某区举办了团课知识竞赛，甲、乙两所中学各派5名学生参加，两队学生的竞赛成绩如图所示，下列关系完全正确的是( )
A. S甲2x乙−
C. S甲2>S乙2，x甲−=x乙− D. S甲2=S乙2，x甲−
A.
B.
C.
D.
8. 已知在正方形ABCD中，P是对角线BD上一个动点，过P作CD、AD的平行线分别交正方形ABCD的边于E、F和M、N，若BP=x，图中阴影部分的面积为y，则y与x之间的函数关系图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
9. 方程3−x4+2x=0的解是______ ．
10. 分解因式：4x2−8x+4= ．
11. 已知点A(m−1,y1)，B(m,y2)都在一次函数y=−2x+1的图象上，那么y1与y2的大小关系是y1 ______ y2(填“>”，“=”“<”)．
12. 如图(示意图)所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE的高为2.4m，测得AB=1.8m，BC=13.2m，则建筑物CD的高为______ m.
13. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于12DE长为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若BG=1，AC=4，则△ACG的面积为______ ．
14. 如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cos∠ACB的值为______ ．
15. 一个不透明的布袋中有完全相同的三个小球，标号分别为1，2，3.小林和小华做一个游戏，按照以下方式抽取小球：先从布袋中随机抽取一个小球，记下标号后放回布袋中搅匀，再从布袋中随机抽取一个小球，记下标号.若两次抽取的小球标号之和为奇数，则小林赢；若标号之和为偶数，则小华赢.小林赢的概率是______ ．
16. 一次数学考试共有8道判断题，每道题5分，满分40分.规定正确的画√，错误的画×.甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如表所示，则m的值为______ ．
题号
学生
1
2
3
4
5
6
7
8
得分
甲
╳
√
╳
√
╳
╳
√
╳
30
乙
╳
╳
√
√
√
╳
╳
√
25
丙
√
╳
╳
╳
√
√
√
╳
25
丁
╳
√
╳
√
√
╳
√
√
m
三、解答题（本大题共12小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题5.0分)
计算：3tan30°−(14)−1− 12+|− 3|．
18. (本小题5.0分)
解不等式组：2x−6<3xx−2+x−13≤1．
19. (本小题5.0分)
已知3x2−x−1=0，求代数式(2x+3)(2x−3)−2x(1−x)的值．
20. (本小题5.0分)
同学们在做题时，经常用到“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”这个定理，下面是两种添加辅助线的证明方法，请你选择一种进行证明．
已知在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，求证：BC=12AB．
法一：如图1，在AB上取一点D，使得BC=BD，连接CD．
法二：如图2，延长BC到D，使得BC=CD，连接AD．
你选择方法______
证明：
21. (本小题6.0分)
如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BC，EO为矩形BECO对角线，BC//AD，AD=EO．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)连接DE，若AC=4，∠BCD=120°，求DE的值．
22. (本小题5.0分)
在平面直角坐标系xOy中，直线y1=−2x+1与反比例函数y2=kx(k≠0)图象的一个交点为点M．
(1)当点M的坐标为(2,m)时，求k的值；
(2)当x<−1时，对于x的每一个值，都有y1>y2，求k的取值范围．
23. (本小题6.0分)
第二十四届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至2月20日在北京举行，北京成为历史上第一座既举办夏奥会又举办冬奥会的城市.北京冬奥会的成功兴办掀起了全民“冬奥热”，某校九年级举行了两次“冬奥知识”竞赛.该校九年级共有学生480人参加了竞赛，从中随机抽取30名学生的两次竞赛成绩，小明对两次数据(成绩)进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息：
a.小明在统计第二次竞赛成绩各分数段人数时，不小心污染了统计表：
成绩(分)
x≤45
45.5
46
46.5
47
47.5
48
48.5
49
49.5
50
人数(人)
2
1
0
2
1
1
1
4
14
注：成绩只能为0.5的整数倍．
b.将竞赛成绩按四舍五入取整后，得出的频数分布折线图如下(数据分组：x≤45，45
c.两次竞赛成绩的平均数、中位数如下：
平均数
中位数
第一次
46.75
46.75
第二次
48.50
m
根据以上信息，回答下列问题：
(1)请补全折线统计图，并标明数据；
(2)请完善c中的统计表，m的值是______ ；
(3)若成绩为46.5分及以上为优秀，根据以上信息估计，第二次竞赛九年级约有______ 名学生成绩达到优秀；
(4)通过观察、分析，小明得出这样的结论“在抽取30名学生的第一次竞赛成绩中，众数一定出现在45
如图，杂技团进行杂技表演，一名演员从跷跷板右端A处恰好弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看成一点)的路线是抛物线的一部分，演员在弹跳过程中，当身体离地面最大高度为5米时，与点A所在y轴的水平距离为3米，已知点A距离地面高度为1米．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)已知人梯BC=3.15米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是5米，问这次表演能否成功(接触到人梯则代表表演成功)？请说明理由．
25. (本小题6.0分)
如图，AB是⊙O的直径，C为AB延长线上一点.CD为⊙O切线，D为切点，OE⊥BD于点H，交CD于点E．
(1)求证：∠BDC=∠BOE；
(2)若sinC=13，AD=4，求EH和半径的长．
26. (本小题6.0分)
在平面直角坐标系xOy中，A(−3,y1)，B(a2,y2)，C(m,y3)在抛物线y=−x2+2ax+c(a>0)上．
(1)抛物线的对称轴为直线x= ______ ，直接写出y1和y2的大小关系y1 ______ y2；
(2)若m=4，且y1=y3，则a的值是______ ；
(3)若对于任意1≤m≤4，都有y1
在△ABC中，AB=AC，D是△ABC外一点，且∠BAC=∠BDC=α，将射线AD绕点A顺时针旋转α，与BD相交于点E．
(1)如图1，探究∠AEB和∠ADC的数量关系并证明；
(2)如图2，当α=90°时，过点E作EG//AD交BC于点G，射线AD与射线BC相交于点F.请补全图形，写出FG与AB的数量关系，并证明．
28. (本小题7.0分)
在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx(k≠0)在x轴及其上方的部分记为射线l.对于定点A(2 3,0)和直线y=kx(k≠0)，给出如下定义：同时将射线AO和直线y=kx分别绕点A和原点O顺时针旋转α(0°<α<180°)得到l1和l2，l1与l2的交点为点P，我们称点P为射线l的“k−α”双旋点.如图，点P为y=2x的“2−30°”双旋点．
(1)若k=− 3
①在给定的平面直角坐标系xOy中，画出“k−90°”的双旋点P1；
②直接写出α=30°的双旋点P2的坐标______ ；
③点P1(1,1)、P2( 3,3)、P3(0,2)是y=kx的“− 3−α”双旋点的是______ ；
(2)直线y=−2x+4分别交x轴、y轴于点M、N，若存在α，使直线y=kx的“k−α”双旋点在线段MN上，求k的取值范围；
(3)当− 3≤k≤− 32时，对于任意的α，若存在某个三角形上的所有点都是射线y=kx的“k−α”双旋点，直接写出这个三角形面积的最大值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：41600=4.16×104．
故选：A．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，确定a与n的值是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：∵表示数a的点在数轴上位于2和3之间，
∴表示数−a的点在数轴上位于−2和−3之间，
又∵b<−a，
∴表示数b的点位于表示数−a的点的左侧，
所以b的值可能是3．
故选：D．
先判断出表示−a的点的位置，再根据b<−a判断出表示b的大致位置判断选项即可．
本题考查数轴，相反数的概念，以及实数大小比较等知识，熟悉利用数轴比较实数的大小的方法是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A.由图可知，A中的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，那么A不符合题意．
B.由图可知，B中的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，那么B不符合题意．
C.由图可知，C中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，那么C符合题意．
D.由图可知，D中的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，那么D不符合题意．
故选：C．
根据轴对称图形的定义以及中心对称图形的定义解决此题．
本题主要考查中心对称图形、轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义以及中心对称图形的定义是解决本题的关键．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查了多边形的内角和与外角和之间的关系，关键是记住内角和的公式与外角和的特征，难度适中．
根据多边形的内角和公式(n−2)⋅180°求出多边形的边数，再根据多边形的外角和是固定的360°，依此可以求出多边形的一个外角．
【解答】
解：∵正多边形的内角和是540°，
∴多边形的边数为540°÷180°+2=5，
∵多边形的外角和都是360°，
∴多边形的每个外角=360°÷5=72°．
故选：C．
5.【答案】C
【解析】解：∵x2−(k+3)x+2k+1=0，
∴Δ=b2−4ac=[−(k+3)]2−4×1×(2k+1)
=k2+6k+9−8k−4
=k2−2k+5
=(k−1)2+4，
∵(k−1)2≥0，
∴Δ=(k−1)2+4≥4>0，
∴方程有两个不相等的实根．
故选：C．
利用根的判别式得到Δ=(k−1)2+4，根据非负数的性质可得Δ>0，以此即可判断．
本题主要考查根的判别式、配方法的应用、非负数的性质，掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac的关系：①当Δ>0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ<0时，方程无实数根是解题关键．
6.【答案】D
【解析】解：由题意可知，x−甲=15×(60+70+70+60+80)=68，x−乙=15×(70+80+80+70+90)=78，
∴x−甲
故选：D．
根据算术平均数和方差的定义解答即可．
本题考查了平均数和方差，掌握相关定义是解答本题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：沿后面下面剪开可得C选项的平面展开图，沿后面右面剪开可得A选项的平面展开图，沿下面右面剪开可得D选项的平面展开图．
所以平面展开图不可能是B选项的平面展开图．
故选：B．
根据平面图形的折叠及正方体的展开图解题，注意分两种情况剪开．
本题考查了正方体的表面展开图．正方体共有11种表面展开图，注意分情况讨论．
8.【答案】D
【解析】解：设正方形ABCD的边长为a，
∵四边形ABCD为正方形，MP//BF，MB//BF，
∴四边形MBFP为正方形，
∵BP=x，
∴BF=BM= 22x，
∴AM=CF=a− 22x，
∴S阴影部分= 22x(a− 22x)×2=− 22x2+ 2ax，
∴y与x之间的函数图象是开口向下的抛物线(y>0)，
故选：D．
根据正方形的判定定理得到四边形MBFP为正方形，根据正方形的面积公式求出y与x的函数关系式，判断即可．
本题考查的是动点问题的函数图象，根据正方形的性质求出y与x的函数关系式是解题的关键．
9.【答案】x=3
【解析】解：3−x4+2x=0，
3−x=0，
解得：x=3，
检验：当x=3时，4+2x≠0，
∴x=3是原方程的解．
故答案为：x=3．
按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
10.【答案】4(x−1)2
【解析】
【分析】
先提取公因式4，再根据完全平方公式进行二次分解即可求得答案．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
【解答】
解：4x2−8x+4=4(x2−2x+1)=4(x−1)2．
故答案为：4(x−1)2．
11.【答案】>
【解析】解：∵一次函数y=−2x+1中，k=−2<0，
∴y随着x的增大而减小．
∵A(m−1,y1)，B(m,y2)是一次函数y=−2x+1的图象上的两个点，m−1
故答案为：>．
先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据m−1
12.【答案】20
【解析】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，
∴EB//DC，
∴△ABE∽△ACD，
∴ABAC=BECD，
∵BE=2.4m，AB=1.8m，BC=13.2m，
∴AC=AB+BC=15m，
∴1.815=2.4DC，
解得：DC=20，
即建筑物CD的高是20m，
故答案为：20．
根据题意和图形，利用三角形相似，可以计算出CD的长，从而可以解答本题．
本题考查相似三角形的应用，明确题意，利用数形结合的思想是解答本题的关键．
13.【答案】2
【解析】解：由作法得AG平分∠BAC，
过G点作GH⊥AC于H，如图，
∵GB⊥AB，GH⊥AC，
∴GH=GB=1，
∴S△ACG=12⋅AC⋅GH=12×1×4=2．
故答案为：2．
根据基本作图可判断AG平分∠BAC，过G点作GH⊥AC于H，如图，再利用角平分线的性质得到GH=GB=1，然后根据三角形面积公式计算．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质．
14.【答案】2 55
【解析】解：过B作BH⊥AC交AC的延长线于H，
∵CH= 22+22=2 2，BH= 2，BC= 12+32= 10，
∴CH2+BH2=10，BC2=10，
∴CH2+BH2=BC2，
∴△HBC是直角三角形，
∴cos∠AC=CHBC=2 2 10=2 55，
故答案为：2 55．
根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
本题考查锐角三角函数，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
15.【答案】49
【解析】解：由题意画出树状图如下：
所有可能情况如下：
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)．
标号之和分别为2，3，4，3，4，5，4，5，6，
标号之和为奇数的概率是：49，
即小林赢的概率是49．
故答案为：49．
根据题意画出树状图得出所有等情况数，)根据概率公式先求出标号之和为奇数的概率即可，
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
16.【答案】30
【解析】解：因为乙丙的第2，5题答案相同，且总得分都是25分，所以第2，5两题答案正确；
又因为甲得分30分，即甲错两题且第2，5题与乙，丙不同，所以其余6题答案均正确，故这8道判断题的答案分别是×××√√×√×；
对比丁的答案，可知其第2，8两题错误，故得分m=6×5=30，
故答案为：30．
由乙丙的答案和得分得出第2，5两题答案正确；由甲的得分结合乙丙的答案可得其余6题答案均正确；由正确答案求出丁的得分，可得m值．
本题考查了推理与论证，考查学生阅读能力和逻辑思维能力，以乙、丙得分一样为突破口，属于中档题．
17.【答案】解：原式=3× 33−4−2 3+ 3
= 3−4−2 3+ 3
=−4．
【解析】先代入特殊角的函数值，计算负整数指数幂化简二次根式，再算乘法，最后算加减．
本题主要考查了实数的运算，掌握实数的运算法则及特殊角的函数值是解决本题的关键．
18.【答案】解：解不等式2x−6<3x，得x>−6，
解不等式x−2+x−13≤1，得x≤2.5，
故不等式组的解集为−6
本题考查了解一元一次不等式，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解此题的关键．
19.【答案】解：原式=4x2−9+2x2−2x
=6x2−2x−9，
∵3x2−x−1=0，
∴3x2−x=1，
∴原式=2(3x2−x)−9
=2×1−9
=−7．
【解析】利用多项式乘多项式、多项式乘单项式进行计算，然后再合并同类项，化简后，再代入求值即可．
本题主要考查了整式的混合运算，掌握整式的混合运算法则是关键．
20.【答案】方法一或方法二
【解析】证明：选择方法一：如图1，在AB上取一点D，使得BC=BD，连接CD，
∴∠BCD=∠BDC，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=180°−90°−30°=60°，
∴∠BCD=∠BDC=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴BC=CD，
∴∠ACD=90°−60°=30°，
∴CD=AD，
∴BC=AD=BD，
∴BC=12AB；
选择方法二：延长BC到D，使得BC=CD，连接AD，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=180°−90°=90°=∠ACB，
在△ACB和△ACD中，
AC=AC ∠ACB=∠ACD BC=DC ，
∴△ACB≌△ACD(SAS)，
∴BC=DC，
∴BC=12AB．
故答案为：方法一或方法二．
选择方法一：如图1，在AB上取一点D，使得BC=BD，连接CD，根据等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质求解即可；
选择方法二：延长BC到D，使得BC=CD，连接AD，利用SAS证明△ACB≌△ACD，根据全等三角形的性质即可得解．
此题考查了含30°角的直角三角形的性质，熟记含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵四边形BECO是矩形，
∴BC=EO，∠BOC=90°，
∴AC⊥BD，
∵AD=EO，
∴AD=BC，
∵BC//AD，
∴四边形ABCD是菱形；
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，∠BCD=120°，
∴∠ABC=180°−120°=60°，AB=BC，AC⊥BD，AO=CO=2，BO=DO，∠ABO=∠CBO，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=4，
∴BO= AB2−AO2=2 3，
∴BD=4 3，
∵四边形BECO是矩形，
∴BE=CO=2，∠DBE=90°，
∴DE= BD2+BE2= (4 3)2+22=2 13．
【解析】(1)根据矩形的性质得到BC=EO，∠BOC=90°，推出AC⊥BD，根据菱形的判定定理得到四边形ABCD是菱形；
(2)根据菱形的性质得到∠ABC=180°−120°=60°，AB=BC，AC⊥BD，AO=CO=2，BO=DO，∠ABO=∠CBO，推出△ABC是等边三角形，得到AB=AC=4，根据勾股定理得到BO=2 3，求得BD=4 3，根据矩形的性质得到BE=CO=2，∠DBE=90°，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，菱形的性质，熟练掌握矩形和菱形的性质是解题的关键．
22.【答案】解：(1)将点M(2,m)代入y1=−2x+1，
得−4+1=m，
∴m=−3，
∴点M坐标为(2,−3)，
∴k=2×(−3)=−6；
(2)如图所示：
①当k>0时，当x<−1时，对于x的每一个值，都有y1>y2，
②当k<0时，x=−1时，−2×(−1)+1≥−k，
解得−3≤k<0，
综上所述，满足条件的k的取值范围是−3≤k<0或k>0．
【解析】(1)将点M代入y1=−2x+1，求出m的值，再将点M坐标代入反比例函数解析式求k的值即可；
(2)根据反比例函数图象上点的坐标特征，分情况讨论：①当k>0时，②当k<0时，分别求解即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
23.【答案】49.5 384 错误 虽然45
补全折线统计图如图所示：
(2)根据统计表，第15个和第16个数据均为49.5，
∴m=49.5；
故答案为：49.5；
(3)480×30−2−430=384(名)，
答：本学期九年级约有384名学生成绩达到优秀；
故答案为：384；
(4)错误，理由：虽然45
(2)根据中位数的定义即可得到结论；
(3)求出成绩为46.5分及以上的人数占调取的30名学生的百分数×九年级的总人数即可得到结论；
(4)根据众数的定义即可得到结论．
本题考查了频数(率)分布折线图，平均数，中位数，众数，正确的理解题意是解题的关键．
24.【答案】解：(1)设该抛物线的解析式为y=a(x−3)2+5(a≠0)，
将点A(0,1)代入y=a(x−3)2+5得：1=a(0−3)2+5，
解得：a=−49，
∴该抛物线的解析式为y=−49(x−3)2+5；
(2)这次表演不能成功，理由如下：
当x=5时，y=−49×(5−3)2+5=299，
∵299≈3.22>3.15，
∴这次表演不能成功．
【解析】(1)由抛物线的顶点为(3,5)，可设该抛物线的解析式为y=a(x−3)2+5(a≠0)，代入点A的坐标，可求出a值，进而可得出该抛物线的解析式；
(2)这次表演不能成功，代入x=5，求出y值，由该值>3.15，可得出这次表演不能成功．
本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：(1)根据点A的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；(2)利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当x=5时y的值．
25.【答案】(1)证明：连接OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADO+∠ODB=90°，
∵CD为⊙O切线，
∴∠ODC=90°，
∴∠ADO=∠BDC，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，
∴∠BDC=∠A，
∵OE⊥BD，
∴OC//AD，
∴∠A=∠BOE，
∴∠BDC=∠BOE；
(2)解：∵∠CDO=90°，
∴sinC=ODOC=13，
设OD=x，OC=3x，
∵OE//AD，
∴△COE∽△CAD，
∴OEAD=OCCA，
∴OE4=3x4x，
∴OE=3，
∵OE⊥BD，
∴BH=DE，
∵BO=AO，
∴OH是△ABD的中位线，
∴OH=12AD=2，
∴EH=3−2=1；
∵∠ODE=∠OHD=90°，∠DOH=∠EOD，
∴△EDO∽△DHO，
∴ODOE=OHOD，
∴OD= OE⋅OH= 3×2= 6，
∴半径的长为 6．
【解析】(1)连接OD，根据圆周角定理得到∠ADB=90°，根据切线的性质得到∠ODC=90°，求得∠ADO=∠BDC，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ADO，求得∠BDC=∠A，根据平行线的性质即可得到结论；
(2)设OD=x，OC=3x，根据相似三角形的性质得到OE=3，根据三角形的中位线定理得到OH=12AD=2，求得EH=3−2=1；根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，垂径定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
26.【答案】a < 12
【解析】解：(1)∵抛物线的解析式为：y=−x2+2ax+c(a>0)，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线：x=−2a2×(−1)=a，
∴当x
(2)当m=4时，y1=y3，
∴抛物线的对称轴为直线：x=−3+42=12，
∴a=12，
故答案为：12；
②由题意可知，抛物线y=−x2+2ax+c开口向下，对称轴为直线x=a，
∴点A(−3,y1)关于对称轴的对称点A′(2a+3,y1)，C(m,y3)关于对称轴的对称点C′(2a−m,y3)，
∵对于任意1≤m≤4，都有y1
解得128．
∴a的取值范围为：128．
(1)将a=1代入抛物线中，利用抛物线的对称轴公式和抛物线的性质可得出结论；
(2)根据抛物线的对称性先求出A关于对称轴的对称点A′，再根据二次函数的性质可得出结论．
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合法解答是解题的关键．
27.【答案】解：(1)结论：∠AEB=∠ADC．
理由：由题意得：∠DAE=a，∠BDC=∠BAC=α，
∴∠AEB=∠EAD+∠ADE=∠ADE+a=∠ADE+CDB=∠ADC；
(2)图形如图所示．结论：GF= 2AB．
理由：设AC交BD于点O.过点C作CT//BD交AF于点T．
∵∠BAC=∠EAD=90°，
∴∠BAE=∠CAD，
∵∠BAO=∠ODC=90°，∠AOB=∠DOC，
∴∠ABE=∠ACD，
在△BAE和△CAD中，
∠BAE=∠CADAB=AC∠ABE=∠ACD，
∴△BAE≌△CAD(ASA)，
∴BE=CD，AE=AD，
∴∠ADE=∠AED=45°，
∵CT//BD，
∴∠ADB=∠DTC=45°，∠EBG=∠TCF，
∵∠BDC=90°，
∴∠CDT=∠CTD=45°，
∴CD=CT，
∵EG//AF，
∴∠BGE=∠CFT，
在△BEG和△CTF中，
∠EGB=∠TFC∠EBG=∠TCFBE=CT，
∴△BEG≌△CTF(AAS)，
∴BG=CF，
∴BC=GF，
∵BC= 2AB，
∴GF= 2AB．
【解析】(1)结论：∠AEB=∠ADC；利用三角形的外角的性质证明即可；
(2)结论：GF= 2AB.证明△BAE≌△CAD(ASA)，推出BE=CD，AE=AD，再证明△BEG≌△CTF(AAS)，推出BC=GF，可得结论．
本题考查作图−复杂作图，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
28.【答案】(0,2) P2，P3
【解析】(1)解：①如图所示，
②如图所示，
∵k=− 3，
设y=− 3x上在x轴上方的部分任意一点坐标为z(m,− 3m)，则tan∠ZOy= 33，
∴y=− 3x与y轴的夹角为30°，
∴A(2 3,0)，∠OAP2=α=30°，
∴“− 3−30°“双旋点在y轴上，
∴tan∠P2OA=tan30°= 33=OP2OA，
∴OP2=2，
∴P2(0,2)，
故答案为：(0,2)．
③如图所示，
由②可知P3是− 3−30°的双旋点，
∴P2( 3,3)，
∴OP2= 3+9=2 3，P2A=2 3=OA，
∴△OP2A是等边三角形，
∴∠OAP2=60°，
当k=− 3时，取y=− 3x上在x轴上方的部分任意一点B，
则∠BOP2=60°，
∴P2是− 3−60°的双旋点，
由图可知，∠BOP1>∠OAP1，
∴P1不是y=kx的“−3−a”双旋点．
故答案为：P2，P3．
(2)解：如图所示，
由y=−2x+4，当x=0时，y=4，当y=0时，x=2，
∴M(2,0)，N(0,4)，
当k<0时，设点D是直线y=kx(k<0)上一点，过点D作DT⊥x轴于点T，
当y=kx旋转后与y轴重合，符合题意，
则∠DON=∠OAN，
∴∠ONA=∠TOD，
∴tan∠ONA=tan∠TOD=2 34= 32，
设D(−n,−kn)，则T(−n,0)，
∴k=− 32，
∴OD的解析式为y=− 32x，
∴当k≤− 32时，直线y=kx的“k−a“双旋点在线段MN上．
(3)解：当− 3≤k≤− 32时，
由(1)③可知，当k= 3时，“k−30°”双旋点为(0,2)，且∠APO=60°，
由(2)可知∠COE=60°，则∠AFO=60°，
取点F(0,2)，连接AF，取AF的中点G( 3,1)，
设射线OC旋转α后的射线为OC′且与AO旋转α后交于点C′，则∠COC′=∠OAC′═α，
设∠COE=β，则∠C′OA=180°−β−α，
∴∠AC′O=180°−α−∠C′OA=β=∠AFO，
∴− 3−α的双旋点在⊙G上运动，
设射线OD旋转α后的射线为OD′且与AO旋转α后交于点D′，则∠DOD′=∠OAD′=α，
设∠COT=θ，则∠D′OA=180°−θ−α，
∴∠AD′O=180°−α−∠D′OA=θ=∠ANO，
取MN的中点H( 3,2)，则− 3−α的双旋点在⊙H上运动，
∴当− 3≤k≤− 32时，直线y=kx的“k−α”双旋点，在两圆构成的图形中，不重合的月牙形部分(包括边界)，
如图所示，
根据题意，过点P作⊙G的切线，交⊙H于点S，Q，当△SQR的顶点R在直线GH上时，PR取得最大值，则△SQR即为所求，
∵OG=PG= 3+1=2，HR=OH= 3+4= 7，GH=2−1=1，PH=GP−GH=1，
∴PR=HR−HP= 7−1，
在Rt△PSH中，PS= SH2−PH2= 6，则SQ=2 6，
∴S△SRQ=12SR×PR═12×2 6×( 7−1)= 42− 6．
(1)①根据“k−α”双旋点的定义，画出图形即可求解；
②设y=− 3x上在x轴上方的部分任意一点坐标为z(m,− 3m)，则tan∠ZOy= 33，则y=− 3x与y轴的夹角为30°，继而得出tan∠P2OA=tan30°= 33=OP2OA得出点得出P2(0,2)；
③由②可知P3是− 3−30°的双旋点，得出∠OAP2∠OAP1，则P1不是y=kx的“− 3−a”双旋点；
(2)分当k>0时，当k<0时，设点D是直线y=kx(k<0)上一点，过点D作DT⊥x轴于点T，得出OD的解析式为y=− 32x，即可求解；
(3)由(1)③可知，当k= 3时，“k−30°”双旋点为(0,2)，且∠APO=60°，由(2)可知△COE=60°，则∠AFO=60°，取点F(0,2)，连接AF，取AF的中点G( 3,1)，则− 3−a的双旋点在⊙G上运动，同理，取MN的中点H( 3,2)，则− 32−a的双旋点在⊙H上运动，当− 3≤k≤− 32时，直线y=kx的“k−a“双旋点，在两圆不重合的月牙形部分(包括边界)，根据题意，过点P作⊙G的切线，交OH于点S，Q，当△SQR的顶点R在直线GH上时，PR取得最大值，则△SQR即为所求，根据坐标与图形，垂径定理，勾股定理求得SP，PR，进而根据勾股定理即可求解．
本题考查了新定义，一次函数与坐标轴交点问题，解直角三角形，直径所对的圆周角是直角，垂径定理，切线的性质，旋转的性质，理解题意是解题的关键．
2023年北京二中教育集团中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 根据北京市统计局发布的统计数据，2022年首都的各项事业都取得了新进展，其中GDP总量达到41600亿元，数字41600用科学记数法可表示为( )
A. 4.16×104 B. 41.6×104 C. 4.16×105 D. 0.416×105
2. 有理数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若有理数b满足b<−a，则b的值可能是( )
A. 2 B. −2 C. 0 D. −3
3. 下列图形中，是轴对称图形不是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
4. 若正多边形的内角和是540°，则该正多边形的一个外角为( )
A. 45° B. 60° C. 72° D. 90°
5. 关于x的一元二次方程x2−(k+3)x+2k+1=0根的情况是( )
A. 无实根 B. 有实根 C. 有两个不相等实根 D. 有两个相等实根
6. 为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某区举办了团课知识竞赛，甲、乙两所中学各派5名学生参加，两队学生的竞赛成绩如图所示，下列关系完全正确的是( )
A. S甲2
C. S甲2>S乙2，x甲−=x乙− D. S甲2=S乙2，x甲−
A.
B.
C.
D.
8. 已知在正方形ABCD中，P是对角线BD上一个动点，过P作CD、AD的平行线分别交正方形ABCD的边于E、F和M、N，若BP=x，图中阴影部分的面积为y，则y与x之间的函数关系图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
9. 方程3−x4+2x=0的解是______ ．
10. 分解因式：4x2−8x+4= ．
11. 已知点A(m−1,y1)，B(m,y2)都在一次函数y=−2x+1的图象上，那么y1与y2的大小关系是y1 ______ y2(填“>”，“=”“<”)．
12. 如图(示意图)所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE的高为2.4m，测得AB=1.8m，BC=13.2m，则建筑物CD的高为______ m.
13. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于12DE长为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若BG=1，AC=4，则△ACG的面积为______ ．
14. 如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cos∠ACB的值为______ ．
15. 一个不透明的布袋中有完全相同的三个小球，标号分别为1，2，3.小林和小华做一个游戏，按照以下方式抽取小球：先从布袋中随机抽取一个小球，记下标号后放回布袋中搅匀，再从布袋中随机抽取一个小球，记下标号.若两次抽取的小球标号之和为奇数，则小林赢；若标号之和为偶数，则小华赢.小林赢的概率是______ ．
16. 一次数学考试共有8道判断题，每道题5分，满分40分.规定正确的画√，错误的画×.甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如表所示，则m的值为______ ．
题号
学生
1
2
3
4
5
6
7
8
得分
甲
╳
√
╳
√
╳
╳
√
╳
30
乙
╳
╳
√
√
√
╳
╳
√
25
丙
√
╳
╳
╳
√
√
√
╳
25
丁
╳
√
╳
√
√
╳
√
√
m
三、解答题（本大题共12小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题5.0分)
计算：3tan30°−(14)−1− 12+|− 3|．
18. (本小题5.0分)
解不等式组：2x−6<3xx−2+x−13≤1．
19. (本小题5.0分)
已知3x2−x−1=0，求代数式(2x+3)(2x−3)−2x(1−x)的值．
20. (本小题5.0分)
同学们在做题时，经常用到“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”这个定理，下面是两种添加辅助线的证明方法，请你选择一种进行证明．
已知在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，求证：BC=12AB．
法一：如图1，在AB上取一点D，使得BC=BD，连接CD．
法二：如图2，延长BC到D，使得BC=CD，连接AD．
你选择方法______
证明：
21. (本小题6.0分)
如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BC，EO为矩形BECO对角线，BC//AD，AD=EO．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)连接DE，若AC=4，∠BCD=120°，求DE的值．
22. (本小题5.0分)
在平面直角坐标系xOy中，直线y1=−2x+1与反比例函数y2=kx(k≠0)图象的一个交点为点M．
(1)当点M的坐标为(2,m)时，求k的值；
(2)当x<−1时，对于x的每一个值，都有y1>y2，求k的取值范围．
23. (本小题6.0分)
第二十四届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至2月20日在北京举行，北京成为历史上第一座既举办夏奥会又举办冬奥会的城市.北京冬奥会的成功兴办掀起了全民“冬奥热”，某校九年级举行了两次“冬奥知识”竞赛.该校九年级共有学生480人参加了竞赛，从中随机抽取30名学生的两次竞赛成绩，小明对两次数据(成绩)进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息：
a.小明在统计第二次竞赛成绩各分数段人数时，不小心污染了统计表：
成绩(分)
x≤45
45.5
46
46.5
47
47.5
48
48.5
49
49.5
50
人数(人)
2
1
0
2
1
1
1
4
14
注：成绩只能为0.5的整数倍．
b.将竞赛成绩按四舍五入取整后，得出的频数分布折线图如下(数据分组：x≤45，45
c.两次竞赛成绩的平均数、中位数如下：
平均数
中位数
第一次
46.75
46.75
第二次
48.50
m
根据以上信息，回答下列问题：
(1)请补全折线统计图，并标明数据；
(2)请完善c中的统计表，m的值是______ ；
(3)若成绩为46.5分及以上为优秀，根据以上信息估计，第二次竞赛九年级约有______ 名学生成绩达到优秀；
(4)通过观察、分析，小明得出这样的结论“在抽取30名学生的第一次竞赛成绩中，众数一定出现在45
如图，杂技团进行杂技表演，一名演员从跷跷板右端A处恰好弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看成一点)的路线是抛物线的一部分，演员在弹跳过程中，当身体离地面最大高度为5米时，与点A所在y轴的水平距离为3米，已知点A距离地面高度为1米．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)已知人梯BC=3.15米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是5米，问这次表演能否成功(接触到人梯则代表表演成功)？请说明理由．
25. (本小题6.0分)
如图，AB是⊙O的直径，C为AB延长线上一点.CD为⊙O切线，D为切点，OE⊥BD于点H，交CD于点E．
(1)求证：∠BDC=∠BOE；
(2)若sinC=13，AD=4，求EH和半径的长．
26. (本小题6.0分)
在平面直角坐标系xOy中，A(−3,y1)，B(a2,y2)，C(m,y3)在抛物线y=−x2+2ax+c(a>0)上．
(1)抛物线的对称轴为直线x= ______ ，直接写出y1和y2的大小关系y1 ______ y2；
(2)若m=4，且y1=y3，则a的值是______ ；
(3)若对于任意1≤m≤4，都有y1
在△ABC中，AB=AC，D是△ABC外一点，且∠BAC=∠BDC=α，将射线AD绕点A顺时针旋转α，与BD相交于点E．
(1)如图1，探究∠AEB和∠ADC的数量关系并证明；
(2)如图2，当α=90°时，过点E作EG//AD交BC于点G，射线AD与射线BC相交于点F.请补全图形，写出FG与AB的数量关系，并证明．
28. (本小题7.0分)
在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx(k≠0)在x轴及其上方的部分记为射线l.对于定点A(2 3,0)和直线y=kx(k≠0)，给出如下定义：同时将射线AO和直线y=kx分别绕点A和原点O顺时针旋转α(0°<α<180°)得到l1和l2，l1与l2的交点为点P，我们称点P为射线l的“k−α”双旋点.如图，点P为y=2x的“2−30°”双旋点．
(1)若k=− 3
①在给定的平面直角坐标系xOy中，画出“k−90°”的双旋点P1；
②直接写出α=30°的双旋点P2的坐标______ ；
③点P1(1,1)、P2( 3,3)、P3(0,2)是y=kx的“− 3−α”双旋点的是______ ；
(2)直线y=−2x+4分别交x轴、y轴于点M、N，若存在α，使直线y=kx的“k−α”双旋点在线段MN上，求k的取值范围；
(3)当− 3≤k≤− 32时，对于任意的α，若存在某个三角形上的所有点都是射线y=kx的“k−α”双旋点，直接写出这个三角形面积的最大值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：41600=4.16×104．
故选：A．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，确定a与n的值是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：∵表示数a的点在数轴上位于2和3之间，
∴表示数−a的点在数轴上位于−2和−3之间，
又∵b<−a，
∴表示数b的点位于表示数−a的点的左侧，
所以b的值可能是3．
故选：D．
先判断出表示−a的点的位置，再根据b<−a判断出表示b的大致位置判断选项即可．
本题考查数轴，相反数的概念，以及实数大小比较等知识，熟悉利用数轴比较实数的大小的方法是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A.由图可知，A中的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，那么A不符合题意．
B.由图可知，B中的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，那么B不符合题意．
C.由图可知，C中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，那么C符合题意．
D.由图可知，D中的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，那么D不符合题意．
故选：C．
根据轴对称图形的定义以及中心对称图形的定义解决此题．
本题主要考查中心对称图形、轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义以及中心对称图形的定义是解决本题的关键．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查了多边形的内角和与外角和之间的关系，关键是记住内角和的公式与外角和的特征，难度适中．
根据多边形的内角和公式(n−2)⋅180°求出多边形的边数，再根据多边形的外角和是固定的360°，依此可以求出多边形的一个外角．
【解答】
解：∵正多边形的内角和是540°，
∴多边形的边数为540°÷180°+2=5，
∵多边形的外角和都是360°，
∴多边形的每个外角=360°÷5=72°．
故选：C．
5.【答案】C
【解析】解：∵x2−(k+3)x+2k+1=0，
∴Δ=b2−4ac=[−(k+3)]2−4×1×(2k+1)
=k2+6k+9−8k−4
=k2−2k+5
=(k−1)2+4，
∵(k−1)2≥0，
∴Δ=(k−1)2+4≥4>0，
∴方程有两个不相等的实根．
故选：C．
利用根的判别式得到Δ=(k−1)2+4，根据非负数的性质可得Δ>0，以此即可判断．
本题主要考查根的判别式、配方法的应用、非负数的性质，掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac的关系：①当Δ>0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ<0时，方程无实数根是解题关键．
6.【答案】D
【解析】解：由题意可知，x−甲=15×(60+70+70+60+80)=68，x−乙=15×(70+80+80+70+90)=78，
∴x−甲
故选：D．
根据算术平均数和方差的定义解答即可．
本题考查了平均数和方差，掌握相关定义是解答本题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：沿后面下面剪开可得C选项的平面展开图，沿后面右面剪开可得A选项的平面展开图，沿下面右面剪开可得D选项的平面展开图．
所以平面展开图不可能是B选项的平面展开图．
故选：B．
根据平面图形的折叠及正方体的展开图解题，注意分两种情况剪开．
本题考查了正方体的表面展开图．正方体共有11种表面展开图，注意分情况讨论．
8.【答案】D
【解析】解：设正方形ABCD的边长为a，
∵四边形ABCD为正方形，MP//BF，MB//BF，
∴四边形MBFP为正方形，
∵BP=x，
∴BF=BM= 22x，
∴AM=CF=a− 22x，
∴S阴影部分= 22x(a− 22x)×2=− 22x2+ 2ax，
∴y与x之间的函数图象是开口向下的抛物线(y>0)，
故选：D．
根据正方形的判定定理得到四边形MBFP为正方形，根据正方形的面积公式求出y与x的函数关系式，判断即可．
本题考查的是动点问题的函数图象，根据正方形的性质求出y与x的函数关系式是解题的关键．
9.【答案】x=3
【解析】解：3−x4+2x=0，
3−x=0，
解得：x=3，
检验：当x=3时，4+2x≠0，
∴x=3是原方程的解．
故答案为：x=3．
按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
10.【答案】4(x−1)2
【解析】
【分析】
先提取公因式4，再根据完全平方公式进行二次分解即可求得答案．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
【解答】
解：4x2−8x+4=4(x2−2x+1)=4(x−1)2．
故答案为：4(x−1)2．
11.【答案】>
【解析】解：∵一次函数y=−2x+1中，k=−2<0，
∴y随着x的增大而减小．
∵A(m−1,y1)，B(m,y2)是一次函数y=−2x+1的图象上的两个点，m−1
故答案为：>．
先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据m−1
12.【答案】20
【解析】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，
∴EB//DC，
∴△ABE∽△ACD，
∴ABAC=BECD，
∵BE=2.4m，AB=1.8m，BC=13.2m，
∴AC=AB+BC=15m，
∴1.815=2.4DC，
解得：DC=20，
即建筑物CD的高是20m，
故答案为：20．
根据题意和图形，利用三角形相似，可以计算出CD的长，从而可以解答本题．
本题考查相似三角形的应用，明确题意，利用数形结合的思想是解答本题的关键．
13.【答案】2
【解析】解：由作法得AG平分∠BAC，
过G点作GH⊥AC于H，如图，
∵GB⊥AB，GH⊥AC，
∴GH=GB=1，
∴S△ACG=12⋅AC⋅GH=12×1×4=2．
故答案为：2．
根据基本作图可判断AG平分∠BAC，过G点作GH⊥AC于H，如图，再利用角平分线的性质得到GH=GB=1，然后根据三角形面积公式计算．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质．
14.【答案】2 55
【解析】解：过B作BH⊥AC交AC的延长线于H，
∵CH= 22+22=2 2，BH= 2，BC= 12+32= 10，
∴CH2+BH2=10，BC2=10，
∴CH2+BH2=BC2，
∴△HBC是直角三角形，
∴cos∠AC=CHBC=2 2 10=2 55，
故答案为：2 55．
根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
本题考查锐角三角函数，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
15.【答案】49
【解析】解：由题意画出树状图如下：
所有可能情况如下：
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)．
标号之和分别为2，3，4，3，4，5，4，5，6，
标号之和为奇数的概率是：49，
即小林赢的概率是49．
故答案为：49．
根据题意画出树状图得出所有等情况数，)根据概率公式先求出标号之和为奇数的概率即可，
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
16.【答案】30
【解析】解：因为乙丙的第2，5题答案相同，且总得分都是25分，所以第2，5两题答案正确；
又因为甲得分30分，即甲错两题且第2，5题与乙，丙不同，所以其余6题答案均正确，故这8道判断题的答案分别是×××√√×√×；
对比丁的答案，可知其第2，8两题错误，故得分m=6×5=30，
故答案为：30．
由乙丙的答案和得分得出第2，5两题答案正确；由甲的得分结合乙丙的答案可得其余6题答案均正确；由正确答案求出丁的得分，可得m值．
本题考查了推理与论证，考查学生阅读能力和逻辑思维能力，以乙、丙得分一样为突破口，属于中档题．
17.【答案】解：原式=3× 33−4−2 3+ 3
= 3−4−2 3+ 3
=−4．
【解析】先代入特殊角的函数值，计算负整数指数幂化简二次根式，再算乘法，最后算加减．
本题主要考查了实数的运算，掌握实数的运算法则及特殊角的函数值是解决本题的关键．
18.【答案】解：解不等式2x−6<3x，得x>−6，
解不等式x−2+x−13≤1，得x≤2.5，
故不等式组的解集为−6
本题考查了解一元一次不等式，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解此题的关键．
19.【答案】解：原式=4x2−9+2x2−2x
=6x2−2x−9，
∵3x2−x−1=0，
∴3x2−x=1，
∴原式=2(3x2−x)−9
=2×1−9
=−7．
【解析】利用多项式乘多项式、多项式乘单项式进行计算，然后再合并同类项，化简后，再代入求值即可．
本题主要考查了整式的混合运算，掌握整式的混合运算法则是关键．
20.【答案】方法一或方法二
【解析】证明：选择方法一：如图1，在AB上取一点D，使得BC=BD，连接CD，
∴∠BCD=∠BDC，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=180°−90°−30°=60°，
∴∠BCD=∠BDC=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴BC=CD，
∴∠ACD=90°−60°=30°，
∴CD=AD，
∴BC=AD=BD，
∴BC=12AB；
选择方法二：延长BC到D，使得BC=CD，连接AD，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=180°−90°=90°=∠ACB，
在△ACB和△ACD中，
AC=AC ∠ACB=∠ACD BC=DC ，
∴△ACB≌△ACD(SAS)，
∴BC=DC，
∴BC=12AB．
故答案为：方法一或方法二．
选择方法一：如图1，在AB上取一点D，使得BC=BD，连接CD，根据等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质求解即可；
选择方法二：延长BC到D，使得BC=CD，连接AD，利用SAS证明△ACB≌△ACD，根据全等三角形的性质即可得解．
此题考查了含30°角的直角三角形的性质，熟记含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵四边形BECO是矩形，
∴BC=EO，∠BOC=90°，
∴AC⊥BD，
∵AD=EO，
∴AD=BC，
∵BC//AD，
∴四边形ABCD是菱形；
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，∠BCD=120°，
∴∠ABC=180°−120°=60°，AB=BC，AC⊥BD，AO=CO=2，BO=DO，∠ABO=∠CBO，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=4，
∴BO= AB2−AO2=2 3，
∴BD=4 3，
∵四边形BECO是矩形，
∴BE=CO=2，∠DBE=90°，
∴DE= BD2+BE2= (4 3)2+22=2 13．
【解析】(1)根据矩形的性质得到BC=EO，∠BOC=90°，推出AC⊥BD，根据菱形的判定定理得到四边形ABCD是菱形；
(2)根据菱形的性质得到∠ABC=180°−120°=60°，AB=BC，AC⊥BD，AO=CO=2，BO=DO，∠ABO=∠CBO，推出△ABC是等边三角形，得到AB=AC=4，根据勾股定理得到BO=2 3，求得BD=4 3，根据矩形的性质得到BE=CO=2，∠DBE=90°，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，菱形的性质，熟练掌握矩形和菱形的性质是解题的关键．
22.【答案】解：(1)将点M(2,m)代入y1=−2x+1，
得−4+1=m，
∴m=−3，
∴点M坐标为(2,−3)，
∴k=2×(−3)=−6；
(2)如图所示：
①当k>0时，当x<−1时，对于x的每一个值，都有y1>y2，
②当k<0时，x=−1时，−2×(−1)+1≥−k，
解得−3≤k<0，
综上所述，满足条件的k的取值范围是−3≤k<0或k>0．
【解析】(1)将点M代入y1=−2x+1，求出m的值，再将点M坐标代入反比例函数解析式求k的值即可；
(2)根据反比例函数图象上点的坐标特征，分情况讨论：①当k>0时，②当k<0时，分别求解即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
23.【答案】49.5 384 错误 虽然45
补全折线统计图如图所示：
(2)根据统计表，第15个和第16个数据均为49.5，
∴m=49.5；
故答案为：49.5；
(3)480×30−2−430=384(名)，
答：本学期九年级约有384名学生成绩达到优秀；
故答案为：384；
(4)错误，理由：虽然45
(2)根据中位数的定义即可得到结论；
(3)求出成绩为46.5分及以上的人数占调取的30名学生的百分数×九年级的总人数即可得到结论；
(4)根据众数的定义即可得到结论．
本题考查了频数(率)分布折线图，平均数，中位数，众数，正确的理解题意是解题的关键．
24.【答案】解：(1)设该抛物线的解析式为y=a(x−3)2+5(a≠0)，
将点A(0,1)代入y=a(x−3)2+5得：1=a(0−3)2+5，
解得：a=−49，
∴该抛物线的解析式为y=−49(x−3)2+5；
(2)这次表演不能成功，理由如下：
当x=5时，y=−49×(5−3)2+5=299，
∵299≈3.22>3.15，
∴这次表演不能成功．
【解析】(1)由抛物线的顶点为(3,5)，可设该抛物线的解析式为y=a(x−3)2+5(a≠0)，代入点A的坐标，可求出a值，进而可得出该抛物线的解析式；
(2)这次表演不能成功，代入x=5，求出y值，由该值>3.15，可得出这次表演不能成功．
本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：(1)根据点A的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；(2)利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当x=5时y的值．
25.【答案】(1)证明：连接OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADO+∠ODB=90°，
∵CD为⊙O切线，
∴∠ODC=90°，
∴∠ADO=∠BDC，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，
∴∠BDC=∠A，
∵OE⊥BD，
∴OC//AD，
∴∠A=∠BOE，
∴∠BDC=∠BOE；
(2)解：∵∠CDO=90°，
∴sinC=ODOC=13，
设OD=x，OC=3x，
∵OE//AD，
∴△COE∽△CAD，
∴OEAD=OCCA，
∴OE4=3x4x，
∴OE=3，
∵OE⊥BD，
∴BH=DE，
∵BO=AO，
∴OH是△ABD的中位线，
∴OH=12AD=2，
∴EH=3−2=1；
∵∠ODE=∠OHD=90°，∠DOH=∠EOD，
∴△EDO∽△DHO，
∴ODOE=OHOD，
∴OD= OE⋅OH= 3×2= 6，
∴半径的长为 6．
【解析】(1)连接OD，根据圆周角定理得到∠ADB=90°，根据切线的性质得到∠ODC=90°，求得∠ADO=∠BDC，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ADO，求得∠BDC=∠A，根据平行线的性质即可得到结论；
(2)设OD=x，OC=3x，根据相似三角形的性质得到OE=3，根据三角形的中位线定理得到OH=12AD=2，求得EH=3−2=1；根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，垂径定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
26.【答案】a < 12
【解析】解：(1)∵抛物线的解析式为：y=−x2+2ax+c(a>0)，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线：x=−2a2×(−1)=a，
∴当x
(2)当m=4时，y1=y3，
∴抛物线的对称轴为直线：x=−3+42=12，
∴a=12，
故答案为：12；
②由题意可知，抛物线y=−x2+2ax+c开口向下，对称轴为直线x=a，
∴点A(−3,y1)关于对称轴的对称点A′(2a+3,y1)，C(m,y3)关于对称轴的对称点C′(2a−m,y3)，
∵对于任意1≤m≤4，都有y1
解得12
∴a的取值范围为：12
(1)将a=1代入抛物线中，利用抛物线的对称轴公式和抛物线的性质可得出结论；
(2)根据抛物线的对称性先求出A关于对称轴的对称点A′，再根据二次函数的性质可得出结论．
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合法解答是解题的关键．
27.【答案】解：(1)结论：∠AEB=∠ADC．
理由：由题意得：∠DAE=a，∠BDC=∠BAC=α，
∴∠AEB=∠EAD+∠ADE=∠ADE+a=∠ADE+CDB=∠ADC；
(2)图形如图所示．结论：GF= 2AB．
理由：设AC交BD于点O.过点C作CT//BD交AF于点T．
∵∠BAC=∠EAD=90°，
∴∠BAE=∠CAD，
∵∠BAO=∠ODC=90°，∠AOB=∠DOC，
∴∠ABE=∠ACD，
在△BAE和△CAD中，
∠BAE=∠CADAB=AC∠ABE=∠ACD，
∴△BAE≌△CAD(ASA)，
∴BE=CD，AE=AD，
∴∠ADE=∠AED=45°，
∵CT//BD，
∴∠ADB=∠DTC=45°，∠EBG=∠TCF，
∵∠BDC=90°，
∴∠CDT=∠CTD=45°，
∴CD=CT，
∵EG//AF，
∴∠BGE=∠CFT，
在△BEG和△CTF中，
∠EGB=∠TFC∠EBG=∠TCFBE=CT，
∴△BEG≌△CTF(AAS)，
∴BG=CF，
∴BC=GF，
∵BC= 2AB，
∴GF= 2AB．
【解析】(1)结论：∠AEB=∠ADC；利用三角形的外角的性质证明即可；
(2)结论：GF= 2AB.证明△BAE≌△CAD(ASA)，推出BE=CD，AE=AD，再证明△BEG≌△CTF(AAS)，推出BC=GF，可得结论．
本题考查作图−复杂作图，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
28.【答案】(0,2) P2，P3
【解析】(1)解：①如图所示，
②如图所示，
∵k=− 3，
设y=− 3x上在x轴上方的部分任意一点坐标为z(m,− 3m)，则tan∠ZOy= 33，
∴y=− 3x与y轴的夹角为30°，
∴A(2 3,0)，∠OAP2=α=30°，
∴“− 3−30°“双旋点在y轴上，
∴tan∠P2OA=tan30°= 33=OP2OA，
∴OP2=2，
∴P2(0,2)，
故答案为：(0,2)．
③如图所示，
由②可知P3是− 3−30°的双旋点，
∴P2( 3,3)，
∴OP2= 3+9=2 3，P2A=2 3=OA，
∴△OP2A是等边三角形，
∴∠OAP2=60°，
当k=− 3时，取y=− 3x上在x轴上方的部分任意一点B，
则∠BOP2=60°，
∴P2是− 3−60°的双旋点，
由图可知，∠BOP1>∠OAP1，
∴P1不是y=kx的“−3−a”双旋点．
故答案为：P2，P3．
(2)解：如图所示，
由y=−2x+4，当x=0时，y=4，当y=0时，x=2，
∴M(2,0)，N(0,4)，
当k<0时，设点D是直线y=kx(k<0)上一点，过点D作DT⊥x轴于点T，
当y=kx旋转后与y轴重合，符合题意，
则∠DON=∠OAN，
∴∠ONA=∠TOD，
∴tan∠ONA=tan∠TOD=2 34= 32，
设D(−n,−kn)，则T(−n,0)，
∴k=− 32，
∴OD的解析式为y=− 32x，
∴当k≤− 32时，直线y=kx的“k−a“双旋点在线段MN上．
(3)解：当− 3≤k≤− 32时，
由(1)③可知，当k= 3时，“k−30°”双旋点为(0,2)，且∠APO=60°，
由(2)可知∠COE=60°，则∠AFO=60°，
取点F(0,2)，连接AF，取AF的中点G( 3,1)，
设射线OC旋转α后的射线为OC′且与AO旋转α后交于点C′，则∠COC′=∠OAC′═α，
设∠COE=β，则∠C′OA=180°−β−α，
∴∠AC′O=180°−α−∠C′OA=β=∠AFO，
∴− 3−α的双旋点在⊙G上运动，
设射线OD旋转α后的射线为OD′且与AO旋转α后交于点D′，则∠DOD′=∠OAD′=α，
设∠COT=θ，则∠D′OA=180°−θ−α，
∴∠AD′O=180°−α−∠D′OA=θ=∠ANO，
取MN的中点H( 3,2)，则− 3−α的双旋点在⊙H上运动，
∴当− 3≤k≤− 32时，直线y=kx的“k−α”双旋点，在两圆构成的图形中，不重合的月牙形部分(包括边界)，
如图所示，
根据题意，过点P作⊙G的切线，交⊙H于点S，Q，当△SQR的顶点R在直线GH上时，PR取得最大值，则△SQR即为所求，
∵OG=PG= 3+1=2，HR=OH= 3+4= 7，GH=2−1=1，PH=GP−GH=1，
∴PR=HR−HP= 7−1，
在Rt△PSH中，PS= SH2−PH2= 6，则SQ=2 6，
∴S△SRQ=12SR×PR═12×2 6×( 7−1)= 42− 6．
(1)①根据“k−α”双旋点的定义，画出图形即可求解；
②设y=− 3x上在x轴上方的部分任意一点坐标为z(m,− 3m)，则tan∠ZOy= 33，则y=− 3x与y轴的夹角为30°，继而得出tan∠P2OA=tan30°= 33=OP2OA得出点得出P2(0,2)；
③由②可知P3是− 3−30°的双旋点，得出∠OAP2
(2)分当k>0时，当k<0时，设点D是直线y=kx(k<0)上一点，过点D作DT⊥x轴于点T，得出OD的解析式为y=− 32x，即可求解；
(3)由(1)③可知，当k= 3时，“k−30°”双旋点为(0,2)，且∠APO=60°，由(2)可知△COE=60°，则∠AFO=60°，取点F(0,2)，连接AF，取AF的中点G( 3,1)，则− 3−a的双旋点在⊙G上运动，同理，取MN的中点H( 3,2)，则− 32−a的双旋点在⊙H上运动，当− 3≤k≤− 32时，直线y=kx的“k−a“双旋点，在两圆不重合的月牙形部分(包括边界)，根据题意，过点P作⊙G的切线，交OH于点S，Q，当△SQR的顶点R在直线GH上时，PR取得最大值，则△SQR即为所求，根据坐标与图形，垂径定理，勾股定理求得SP，PR，进而根据勾股定理即可求解．
本题考查了新定义，一次函数与坐标轴交点问题，解直角三角形，直径所对的圆周角是直角，垂径定理，切线的性质，旋转的性质，理解题意是解题的关键．
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