2023年广东省佛山四中中考数学质检试卷（含解析）

2023年广东省佛山四中中考数学质检试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  ，，，这四个数中，最小的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图是一个正方体的展开图，则与“学”字相对的是(    )

A. 核
B. 心
C. 数
D. 养

3.  我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于将用科学记数法可以表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  不透明的袋子中装有个红球，个绿球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，恰好是红球的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，将三角板的直角顶点放在两条平行线、上，已知，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，在中，，，将绕点逆时针旋转角度得到若，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  点，是双曲线上的两点，那么，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D. 不能确定

9.  如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，经过，，，四点，，，则圆心点的坐标是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，四边形是边长为的正方形，点，点分别为边，中点，点为正方形的中心，连接，，点从点出发沿运动，同时点从点出发沿运动，两点运动速度均为，当点运动到点时，两点同时停止运动，设运动时间为，连接，，的面积为，下列图像能正确反映出与的函数关系的是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  函数的自变量的取值范围是______．

12.  计算：        ．

13.  若，为实数，且满足，则的值为______ ．

14.  如图，已知传送带与水平面所成斜坡的坡度：，如果它把物体送到离地面米高的地方，那么物体所经过的路程为______ 米

15.  如图，在矩形中，，，是矩形内部的一个动点，且，则线段的最小值为______．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
解不等式组：．

17.  本小题分
目前我市“校园手机”现象越来越受到社会的关注，针对这种现象，某校初三班数学兴趣小组的同学随机调查了若干名家长对“中学生带手机的”的态度态度分为：无所谓；基本赞成；赞成；反对并将调查结果绘制成频数折线统计图和扇形统计图不完整请根据图中提供的信息，解答下列问题：

求出图中扇形所对的圆心角的度数为______ 度，并将图补充完整；
根据抽样调查结果，请你估计该校名中学生家长中持反对态度的人数．

18.  本小题分
如图，中，，于．
尺规作图：作的角平分线，交于点，交于点保留作图痕迹，不写作法；
若，求的度数．

19.  本小题分
经开区某中学计划举行一次知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知件甲种奖品和件乙种奖品共需元，件甲种奖品和件乙种奖品共需元．
求甲、乙两种奖品的单价；
根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共件，且甲种奖品不少于乙种奖品的一半，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．

20.  本小题分
如图，为平行四边形的对角线，点，分别在，上，，连接，．
求证：四边形是菱形；
连接交于点，若为中点，，，求的长．

21.  本小题分
如图，在矩形中，，，反比例函数的图象与矩形两边、分别交于点、点，且．
反比例函数的解析式；
若点是线段上的一个动点，是否存在点，使？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．

22.  本小题分
如图，是的直径，弦，垂足为，连结，过上一点作交的延长线于点，连结交于点，且，连结．
求证：∽；
求证：是的切线；
延长交的延长线于点，若，，求的值．

23.  本小题分
如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点．
求抛物线的解析式；
在抛物线的对称轴上是否存在点使最小？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由；
点为上方抛物线上的动点，过点作，垂足为点，连接，当与相似时，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
最小的数是．
故选：．
正数大于，负数小于，正数大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
本题考查了实数的比较大小，解题时注意两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
 

2.【答案】 

【解析】解：在该正方体中，与“学”字相对的面所写的汉字是：心．
故选：．
根据正方体的平面展开图找相对面的的方法，同层隔一面判断即可．
本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握正方体的平面展开图的特征是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：用科学记数法可以表示得：；
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

4.【答案】 

【解析】解：从不透明的袋子中随机摸出一个球，恰好是红球的概率是，
故选：．
直接由概率公式求解即可．
本题主要考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解决问题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了整式的运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法法则、单项式除以单项式法则分别计算得出答案．
【解答】
解：、，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项错误；
D、，正确．
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：如图：

，，
，
，
．
故选：．
根据，求出的度数，根据平行线的性质得出，代入即可得出答案．
本题考查了平行线的性质和邻补角的定义，解此题的关键是求出的度数和得出，题目比较典型，难度适中．
 

7.【答案】 

【解析】解：在中，，，
，
将绕点逆时针旋转角度得到，
，
，
，
，
旋转角的度数是，
故选：．
根据三角形内角和定理求出，根据旋转得出，根据平行线的性质求出即可．
本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，旋转的性质等知识点，能根据旋转得出是解此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
双曲线在第二、四象限，
在第四象限，随的增大而增大，
点，是双曲线上的两点，且，
．
故选：．
根据反比例函数的性质即可得到答案．
此题主要考查了反比例函数的增减性，掌握反比例函数的性质是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：四边形为圆的内接四边形，
，，
，
为的直径，
，
在中，，，
点为的中点，
，

，，
点坐标为．
故选：．
先利用圆内接四边形的性质得到，再根据为的直径，点为的中点，接着利用含度角的直角三角形三边的关系得到，，所以，，然后利用线段的中点坐标公式得到点坐标．
 

10.【答案】 

【解析】解：当时，
正方形的边长为，点为正方形的中心，
直线垂直，
点到直线的距离为，，
；
当时，
正方形的边长为，点分别为边，中点，点为正方形的中心，
直线，
点到直线的距离为，，
；
故选D．
分和两种情形，确定解析式，判断即可．
本题考查了正方形的性质，二次函数的解析式，一次函数解析式，正确确定面积，从而确定解析式是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
根据分式的意义的条件：分母不等于，可知：，解得的范围．
主要考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
【解答】
解：，
解得：，
故答案为的一切实数．  

12.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
分别根据零指数幂，负整数指数幂的运算法则计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果
本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂的运算．负整数指数为正整数指数的倒数；任何非数的次幂等于．
 

13.【答案】 

【解析】解：，为实数，且满足，，，
，，
解得：，，
．
故答案为：．
根据绝对值和算术平方根的非负数的性质列出方程求出、的值，代入所求代数式计算即可．
本题考查的是非负数的性质，熟知算术平方根与绝对值具有非负性是解答此题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，

由题意得：斜坡的坡度：：，米，，
，
米，
在中，米，
故答案为：．
首先根据题意画出图形，根据坡度的定义，由勾股定理即可求得答案．
此题考查了坡度坡角问题．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用，注意理解坡度的定义．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，

，
点在以为直径的半上，
连接交于点，
当点位于点位置时，线段取得最小值，
，
，
，
，
则．
故答案为：．
由知点在以为直径的半上，连接交于点，当点位于点位置时，线段取得最小值，利用勾股定理可得答案．
本题主要考查圆周角定理、圆的基本性质及矩形的性质、勾股定理，根据知点在以为直径的半上是解题的关键．
 

16.【答案】解：解不等式得：，
解不等式得：，
则不等式组的解集为． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：名，
选择的学生有：人，
选择的学生有：人，

图中扇形所对的圆心角的度数为：，
即图中扇形所对的圆心角的度数为，补充完整的图如右图所示；
名，
即我校名中学生家长中有名家长持反对态度．
根据选择的人数和所占的百分比，可以求得此次抽样调查中，共调查了多少名中学生家长；根据扇形统计图中的数据和总人数可以得到选择和的人数，然后即可计算出图中扇形所对的圆心角的度数，并将图补充完整；
根据扇形统计图中的数据，可以计算出我校名中学生家长中有多少名家长持反对态度．
本题考查频数分布折线图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

18.【答案】解：如图，即为所求；

，，
，
平分，
，
，
，
，
，
即的度数为． 

【解析】根据要求作出图形即可；
求出，，可得结论．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了直角三角形的性质．
 

19.【答案】解：设甲种奖品的单价为元，乙种奖品的单价为元，
依题意得：，
解得：．
答：甲种奖品的单价为元，乙种奖品的单价为元．
设购买甲种奖品件，则购买乙种奖品件，
依题意得：，
解得：．
设该中学购买件奖品的总费用为元，则，
，
随的增大而减小，
当时，取得最小值，最小值，此时．
答：当购买甲种奖品件、乙种奖品件时总费用最少，最少费用为元． 

【解析】设甲种奖品的单价为元，乙种奖品的单价为元，根据“件甲种奖品和件乙种奖品共需元，件甲种奖品和件乙种奖品共需元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出甲、乙两种奖品的单价；
设购买甲种奖品件，则购买乙种奖品件，根据购买甲种奖品不少于乙种奖品的一半，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，设该中学购买件奖品的总费用为元，利用总价单价数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
 

20.【答案】证明：，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
为等腰三角形，
，
四边形是菱形；
解：如图，连接，

四边形是菱形，，
，，，
，
，
，
，
若为的中点，
则． 

【解析】由平行四边形的性质得，再证，得为等腰三角形即可得出结论；
由菱形的性质得，，，再由锐角三角函数定义得，则，然后由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论．
本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数定义、勾股定理以及直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
 

21.【答案】解：，，
，
，
又，
，
点在双曲线上，
，
；
假设存在要求的点坐标为，，．
，
，
又，
，
又，
∽，
，
，
解得：或，
存在要求的点，坐标为或． 

【解析】由矩形中，，，可得，即可求得的长，然后求得点的坐标，即可求得的值；
首先假设存在要求的点坐标为，，，由，易证得∽，然后由相似三角形的对应边成比例，求得的值，继而求得此时点的坐标．
此题属于反比例函数综合题，考查了待定系数求反比例函数解析式、矩形的性质以及相似三角形的判定与性质．注意求得点的坐标与证得∽是解此题的关键．
 

22.【答案】证明：如图中，

，
，
，
，
，
，
，
∽．

证明：如图中，连接，

，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线．

解：如图中，连接设的半径为．

在中，，
，
．
在中，，，，
，

，
，
，
∽，
，
，
． 

【解析】由，推出，由推出，推出，推出，由此即可证明；
欲证明是的切线只要证明即可；
连接设的半径为在中，利用勾股定理求出，证明∽，可得，由此即可解决问题．
本题考查圆综合题、垂径定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，正确寻找相似三角形，构建方程解决问题吗，属于中考压轴题．
 

23.【答案】解：抛物线与轴交于点，，
，
解得，
抛物线的解析式为；
存在，如图：因为，关于对称轴对称，与对称轴的交点即为所求：

由可知，对称轴为：，，
，，
所在直线解析式为：，
令，，
；
点，，
，，
在抛物线中，当时，，
，
，
．
，
，
当与相似时，则∽或∽，
若∽，则，

，
，
点的纵坐标为，
点为上方抛物线上的动点，
，
解得：不合题意，舍去，，
此时点的坐标为；
若∽，则，，
，
过点作的垂线，交的延长线于点，过点作轴于点，如图：

，，
，
∽，
，
，
，轴，
，
，，
，
，
∽，
，
即，
，，
，
，
设直线的解析式为，
令，
解得：不合题意，舍去，，
把代入得：，
此时点的坐标为，
综上所述，符合条件的点的坐标为或 

【解析】由待定系数法求解即可；
作点关于对称轴对称的点，连接交对称轴于一点即为；
当与相似时，则∽或∽，故分分类讨论即可：若∽，则，可推出点的纵坐标与点的纵坐标相同，由点为上方抛物线上的动点，得关于的一元二次方程，求解并作出取舍则可得答案；若∽，则，，过点作的垂线，交的延长线于点，过点作轴于点，判定∽，∽，由相似三角形的性质得比例式，解得点的坐标，从而可得直线的解析式，求得直线与抛物线的交点横坐标，再代入直线的解析式求得其纵坐标，即为此时点的坐标．
本题考查二次函数的综合应用，掌握待定系数法求函数的解析式、“一线三直角“模型及相似三角形的判定与性质等知识点是解题的关键．