2023年广东省深圳市福田区九校联考中考数学质检试卷（5月份）（含解析）

2023年广东省深圳市福田区九校联考中考数学质检试卷（5月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  “春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连”，我国民间流传有许多“节气歌”，下面四幅手绘作品，它们依次分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”四个节气，其中是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  节肢动物门是动物界最大的一门，门下蛛形纲约有余种，用科学记数法可以表示成(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列计算，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  学校组织部分学生外出开展社会实践活动，安排给九年级三辆车，小敏与小慧都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，则小敏与小慧同车的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  网上一些推广“成功学”的主播，常引用下面这个被称为竹子定律的段子：“竹子前年都用在扎根，竹芽只能长，而且这还是深埋于土下，到了第五年，竹子终于能破土而出，会以每天的速度疯狂生长，此后，仅需要周的时间，就能长到米，惊艳所有人”，这段话的确很励志，殊不知，要符合算理的话，需将上文“周”中的整数“”改为整数(    )

A.  B.  C.  D.

7.  生活中，我们常用到长方形样、不同型号的打印纸，基于满足影印放大或缩小后，需保持形状不变及制作各型号纸张时，既方便又省料等方面的需要，对于纸张规格，存有一些通用的国际标准，其中，把纸定义为面积为平方米，长与宽的比为：的纸张；沿纸两条长边中点的连线裁切，就得到两张纸；再沿纸两条长边中点的连线裁切得纸依此类推，得，，等等的纸张如图所示，若设纸张的宽为米，则应为(    )

A.  B. 的算术平方根 C.  D. 的算术平方根

8.  如图，在两建筑物之间有一旗杆，高米，从点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角点，且俯角为，又从点测得点的俯角为，若旗杆底点为的中点，则矮建筑物的高为(    )

A. 米
B. 米
C. 米
D. 米

9.  如图，的半径为，交轴正半轴于点，直线垂直平分交于点，轴于点，今假设在点，处，分别有一质量为，的天体；天体物理中，把与，处于同一平面，坐标为的点称为【，】系统的拉格朗日号点，记为若把卫星发射到的位置，则卫星会处于相对静止的稳状态，以下说法中错误的是(    )

A. 是等边三角形
B. 在线段上
C.
D. 若恒定，则越小，离点越近

10.  如图，菱形中，交于点，，垂足为点，连接，若，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  因式分解：______．

12.  若方程的两根为，，则 ______ ．

13.  如图，以矩形的顶点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交及的延长线于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交的延长线于点，若，，则 ______ ．

14.  如图，正方形的顶点，分别在轴，轴两轴的正半轴上，反比例函数的图象经过该正方形的中心，若，，则的值为______ ．

15.  如图，在中，，点是上一点，交延长线于点，连接，若图中两阴影三角形的面积之差为即，，则 ______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：．

17.  本小题分
先化简，后求值：，其中，是的小数部分即．

18.  本小题分
为迎接义务教育均衡化检查，了解音乐课科目学生的学习情况，某校从八年级学生中抽取了部分学生进行了一次音乐素养测试，把测试结果分为四个等级：级优秀，级良好，级及格，级不及格，其中相应等级的得分依次为分，分，分，分，并将测试结果绘成了如图的两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：
本次抽样测试的学生人数是______ ；
级在扇形统计图中对应的圆心角度数是______ ，并把条形统计图补充完整；
该校八年级有学生名，若全部参加这次音乐素养测试，则估计不及格的人数为______ ；
这次抽测成绩的中位数是______ ；众数是______ ．
 

19.  本小题分
程大位是明代商人、珠算发明家，在其杰作算法统宗如图中记载有如下问题：
“以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺，绳长、井深各几何？”
译文：
“用绳子测量水井的深度，如果将绳子折成三等份，一份绳子比井深多尺；如果将绳子折成四等份，一份绳子比井深多尺绳长、井深各是多少尺？”
请你求出上述问题的解；
若在中的井底有一只青蛙，青蛙在井底想要爬出井外，第一天向上爬尺；第二天休息，下滑尺；第三天向上再爬尺；第四天休息，下滑尺这只青蛙按照这样的规律向上爬与休息，若它想要在天内包括第天爬出井外，求至少要为多少尺？

20.  本小题分
如图，是的直径，点是射线上的一动点不与点，重合，过点作的割线交于点，，于，连接，．
在图的情形下，证明：；
当点处于图中的位置时，中的结论______ 填“仍成立”或“不再成立”；
若的半径为，当且时，求的长．
 

21.  本小题分
如图，甲、乙分别从，两点同时出发，甲朝着正北方向，以每秒个单位长度的速度运动；乙朝着正西方向，以每秒个单位长度的速度运动，设运动时间为秒．
规定：秒时，甲到达的位置记为点，乙到达的位置记为点，例如，秒时，甲到达的位置记为，乙到达的位置记为如图所示；秒时，甲到达的位置记为等等，容易知道，两条平行且相等的线段，其中包含有相同的方位信息，所以，在研究有关运动问题时，为研究方便，我们可把点或线段进行合适的平移后，再去研究物理上的相对运动观，就是源于这种数学方法，现对秒时，甲、乙到达的位置点，，按如下步骤操作：
第一步：连接；
第二步：把线段进行平移，使点与点重合，平移后，点的对应点用点标记．

解答下列问题：
理解与初步应用当时，
利用网格，在图中画出，经过上述第二步操作后的图形；
此时，甲在乙的什么方位？请填空
答：此时，甲在乙的北偏西其中 ______ ，两者相距______ 个单位长度．
实验与数据整理补全表格：

数据分析与结论运用
如果把点的横、纵坐标分别用变量，表示，则与之间的函数关系式为______ ；
点的坐标为______ ．
拓展应用我们知道，在运动过程中的任意时刻，甲相对于乙的方位即，点相对于点的方位与相对于点的方位相同，这为我们解决某些问题，提供了新思路．
请解答：运动过程中，甲、乙之间的最近距离为______ 个单位长度．

22.  本小题分
如图，四边形中，，，，点是对角线上的一动点不与点，重合，过点作，，分别交，于点，，连接．
求的度数；
设，，随着点的运动，的值是否会发生变化？若变化，请求出它的变化范围；若不变，请求出它的值；
求的取值范围可直接写出最后结果．

【参考材料】
对于“已知，求的最大值”这个问题，我们可以采取如下两种思路：
【方法一】
转化：要求的最大值，只需先求的最大值；
消元：显然，，所以，；
整体观：把两变量，的乘积，看作一个整体变量，可设，则，问题转化为求的最大值；
化归：显然，是的二次函数，这已是熟悉的问题．
【方法二】
由，可得，，
所以，，等号成立的条件是
所以，的最大值为．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
利用相反数的定义判断．
本题考查了相反数，掌握相反数的定义是关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.该图形是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：．
根据轴对称图形的概念判断即可．
本题考查的是轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
 

3.【答案】 

【解析】解：用科学记数法可以表示为．
故选：．
把一个大于的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数，是正整数，这种记数法叫做科学记数法，由此即可得到答案．
本题考查科学记数法表示较大的数，关键是掌握用科学记数法表示数的方法．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，不能合并，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C错误；
D、，故D正确；
故选：。
根据合并同类项、同底数幂的乘除法以及幂的乘方进行计算即可。
本题考查了合并同类项、同底数幂的乘除法以及幂的乘方，掌握运算法则是解题的关键。
 

5.【答案】 

【解析】解：用，，分别表示给九年级的三辆车，
画树状图得：

共有种等可能的结果，小敏与小慧同车的有种情况，
小敏与小慧同车的概率是：．
故选：．
首先用，，分别表示给九年级的三辆车，然后根据题意画树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与小敏与小慧同车的情况，然后利用概率公式求解即可．
此题考查了列表法或树状图法．解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．
 

6.【答案】 

【解析】解：设竹子周可长到米，
米，
根据题意得：，
解得：，
取整数，
，
故选：．
设竹子周可长到米，可得：，即可解得答案．
本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．
 

7.【答案】 

【解析】解：由图得，当纸张的宽为米时，纸的宽为米，
纸张长与宽的比为：，
纸的长为米，
纸面积为平方米，
，
，
的值为的算术平方根．
故选：．
由纸张的宽为米，表示出纸的宽和长，根据纸面积为平方米求出的值即可．
本题考查了平方根的计算，根据图形表示出的长宽是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度．
根据点是中点，可判断是的中位线，求出，在中求出，在中求出，继而可求出的长度．
【解答】
解：点是中点，，
是的中位线，
米，
在中，，
则米．
如图，过点作于点．
在中，米，
则米，
综上可得：米．
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：连接，，，
直线垂直平分，
，
，
是等边三角形，
故A正确；
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
的纵坐标是，
在线段上
故B符合题意；
，
，
，
，
故C错误；
恒定，则越小，
的值接近，
离点越近，
故D正确．
故选C．
由线段垂直平分线的性质，得到是等边三角形，求出的长，即可判断的位置，由，，得到，由恒定，越小即可判断离点越近．
本题考查等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，坐标与图形的性质，关键是理解题意，熟练应用以上知识点．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，交于点，
，，
于点，
，
，
，
，，
，
解得或不符合题意，舍去，
，，
，
，
，
故选：．
由菱形的性质得，，而于点，则，，所以，由，，得，求得，则，，由，得，于是得到问题的答案．
此题重点考查菱形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形、由面积等式求线段的长度等知识与方法，根据求出线段的长是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
直接提取公因式，进而分解因式得出即可．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，是方程的两根，
．
故答案为：．
根据一元二次方程根与系数的关系可得出即可．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记两根之和等于、两根之积等于是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，，
，，
由作图知，平分，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据矩形的性质得到，，，根据勾股定理得到，根据角平分线的定义得到，得到，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了作图基本作图，矩形的性质，勾股定理，角平分线的定义，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：作轴于，

四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
≌，
，，
，
，
正方形的中心点，
反比例函数的图象经过该正方形的中心，
，
故答案为：．
作轴于，利用证明≌，得，，可得点的坐标，进一步求得正方形中心点的坐标，再将此点代入反比例函数解析式可得答案．
本题主要考查了正方形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，求得正方形顶点的坐标是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，过点作，交于，
，
，
，，
，
又，
≌，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
由“”可证≌，可得，，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 

16.【答案】解：原式

． 

【解析】利用零指数幂的意义，负整数指数幂的意义，绝对值的意义和特殊角的三角函数值化简运算即可．
本题主要考查了实数的运算，零指数幂的意义，负整数指数幂的意义，绝对值的意义和特殊角的三角函数值，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式

．
，
，
是的小数部分，
，
原式． 

【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
 

18.【答案】         

【解析】解：本次抽样测试的学生人数是：，
故答案为：；
级在扇形统计图中对应的圆心角度数是
等级的人数为：人，
补全条形统计图如下：

故答案为：；
人，
故答案为：；
这次抽测成绩的中位数是，众数是．
故答案为：；．
用的人数除以可得样本容量；
用乘可得级在扇形统计图中对应的圆心角度数，用样本容量乘可得的人数，进而补全条形统计图；
用乘样本中不及格人数所占比例即可；
根据中位数和众数的定义解答即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图、中位数、众数以及用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

19.【答案】解：设绳子长尺，井深尺，
根据题意得：，
解得：．
答：绳子长尺，井深尺；
根据题意得：，
解得：．
答：至少要为尺． 

【解析】设绳子长尺，井深尺，根据“将绳子折成三等份，一份绳子比井深多尺；将绳子折成四等份，一份绳子比井深多尺”，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
根据题意可知：天里天上爬，天下滑，结合井深尺，可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

20.【答案】仍成立 

【解析】证明：当点在的延长线上时，如图，连接，

是的直径，且，
，
四边形是的内接四边形，
，
又，
，
∽，
，
；
解：当点在线段上时，如图，连接，

是的直径，且，
，
，
，
∽，
，
，即中的结论仍成立；
故答案为：仍成立；
解：的半径为，
，
由知：，
，
，
，
在中，，
，
当点在的延长线上时，如图，，
当点在线段上时，如图，，
的长为或．
当点在的延长线上时，如图，连接，根据圆周角定理的推论及垂直定义可得，由圆内接四边形的性质可得，推出∽，再由相似三角形性质即可证得结论；
当点在线段上时，如图，连接，与同理可得，根据圆周角定理可得，推出∽，再由相似三角形性质即可证得结论；
运用的结论可得出，再利用直角三角形性质可得，分两种情况：当点在的延长线上时，当点在线段上时，分别求得即可．
本题是圆的综合题，考查了圆的性质，圆周角定理及推论，圆内接四边形性质，相似三角形的判定和性质等，熟练掌握圆周角定理及相似三角形的判定和性质是解题关键．
 

21.【答案】                   

【解析】解：图形如图所示：

时，，，
．
此时，甲在乙的北偏西其中，两者相距个单位长度．
故答案为：，；

时，，
时，，
．
故答案为：，，，，，；

由可知，，
，
．
故答案为：；
；

由题意，，
当直线时，的值最小，
此时过点的直线的解析式，
由，解得，．
，
，
甲、乙之间的最近距离为个单位．
故答案为：．
根据要求画出图形即可；
利用勾股定理，解直角三角形解决问题；
分别求出，的长，可得结论；
设，，消去，可得结论；
代入中式子，可得结论；
根据垂线段最短，构建一次函数，确定交点坐标，利用两点之间距离公式求解．
本题属于几何变换综合题，考查了平移变换，一次函数的应用，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

22.【答案】解：，，
，，
，
，
，
的度数为；
随着点的运动，的值不会发生变化，，理由如下：
，
，，
∽，
，
同理，
，
，，，，
，
；
过作交延长线于，如图：

由知，
，
，
，，
，
由知，
，
，，
，
，
，
，即，
，即，
的取值范围是． 

【解析】由，，得，，根据，即可得；
由，知∽，有，同理，而，即得，故；
过作交延长线于，由，可得，，而，即得，，可得，即得，故EF的取值范围是．
本题考查二次函数综合应用，涉及平行线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理及应用等知识，解题的关键是用含的式子表示的长度．