2023年山东省青岛市局属四区中考一模数学试题（含解析）

这是一份2023年山东省青岛市局属四区中考一模数学试题（含解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年山东省青岛市局属四区中考一模数学试题
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 数据显示，电影《长津湖》在全国上映74天时，国内累计票房突破57.56亿.这一数字用科学记数法表示为(    )
A. 57.56×108 B. 57.56×109 C. 5.756×109 D. 5.756×1010
2. 剪纸是中国古老的传统民间艺术，它历史悠久，风格独特，深受国内外人士所喜爱.下列剪纸图案中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是(    )
A. B. C. D.
3. 下列运算正确的是(    )
A. a2+a3=a5 B. (a3)2=a5
C. (a+3)2=a2+9 D. −2a2⋅a=−2a3
4. 如图，是由两个大小不同的长方体组成的几何体，则该几何体的主视图为(    )

A. B. C. D.
5. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE平分∠ABC，点A是弧BE的中点，若∠D=110°，则∠ABE的度数是(    )

A. 30° B. 35° C. 50° D. 55°
6. 如图的四个三角形中，不能由△ABC经过旋转或平移得到的是(    )

A. B. C. D.
7. 如图，正方形ABCD的顶点均在坐标轴上，且点B的坐标为(1,0)，以AB为边构造菱形ABEF，将菱形ABEF与正方形ABCD组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点F的对应点F2023的坐标为(    )

A. (− 2,−1) B. (1,− 2) C. ( 2,−1) D. (−1, 2)
8. 已知二次函数y=ax2+bx+c(x≠0)的图象如图所示，则正比例函数y=(b+c)x的图象与反比例函数y=ax的图象在同一坐标系中可能是(    )


A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
9. 计算：(3−π)0−(−12)−2−cos30°=______．
10. 一个不透明的盒子里有9个黄球和若干个红球，红球和黄球除颜色外其他完全相同，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中红球的个数为______．
11. 青岛市11月份30天的最高气温变化情况如图所示，将1日——15日气温的方差记为S12，15日——30日气温的方差记为S22.观察统计图，比较S12，S22的大小：S12 ______ S22(填“>、=、<”)．

12. 小明坐滴滴打车前去火车高铁站，小明可以选择两条不同路线：路线A的全程是25千米，但交通比较拥堵，路线B的全程比路线A的全程多7千米，但平均车速比走路线A时能提高60%，若走路线B的全程能比走路线A少用15分钟，若设走路线A时的平均速度为x千米/小时，根据题意，可列分式方程______．
13. 如图，在扇形AOB中，∠AOB=120°，OB= 3，OC⊥OB于点O，交AB于点C，连接AB，则图中阴影部分的面积为        ．


14. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，分别以AC和BC为边向外作正方形ACFG和正方形BCDE，过点D作FC的延长线的垂线，垂足为点H.连接FD，交AC的延长线于点M.下列说法：①△ABC≌△HDC；②若FG=1，DE=2，则CN=43 3；③S△CFMS△CDH=12；④FM=DM；⑤若AG= 3，tan∠ABC=23，则△FCM的面积为4，正确的有______ .(填序号)


三、解答题（本大题共11小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题4.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是斜边AC上一点，在射线BD上用尺规作一点E，使∠BEC=∠A(不写作法，保留作图痕迹)．

16. (本小题6.0分)
(1)化简：(2−aa−1)÷a2−4a2−2a+1；
(2)解不等式组：3(x−2)−x≥−82x−15 17. (本小题6.0分)
已知关于x的一元二次方程14x2+bx+c=0
(1)c=2b−1时，求证：方程一定有两个实数根．
(2)有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个除数字外完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，乙袋中装有4个除数字外完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为
b，从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为c，利用列表法或者树状图，求b、c的值使方程14x2+bx+c=0两个相等的实数根的概率．
18. (本小题6.0分)
为认真做好新冠疫情防控，增强学生新冠疫情防控与传染病预防意识，培养学生的健康意识与公共卫生意识，青岛市某校数学兴趣小组的同学设计了“新冠疫情防控知识”问卷，并在本校随机抽取着千名同学进行了问卷测试，根据测试成绩分布情况，他们将全部测试成绩分成A，B，C，D四组，绘制了如下统计图表：
“新冠疫情防控知识”问卷测试成绩统计表
组别
分数/分
频数
A
60 36
B
70 74
C
80 60
D
90 30
其中被抽取的学生的问卷测试成绩中，将B组分数按小到大整理后，B组后15个分数为：75，76，76，76，78，78，78，78，78，78，78，79，79，79，80，80．
依据以上统计信息解答下列问题：
(1)被抽取学生的问卷测验成绩的中位数是：______ ．
(2)若将“新冠疫情防控知识”问卷测试成绩统计表设计成扇形统计图，则“D”组频数所占扇形圆心角为______ °.
(3)若全青岛市改年级共有50000名初中生，请你估计成绩超过80分的人数．
(4)为了增强大家对新冠疫情防控知识的了解，学校组织每个班级学习相关知识，经过一段时间的学习后，再次对原来抽取的这些同学进行问卷测试，发现A组的同学平均成绩提高15分，B组的同学平均成绩提高10分，C组的同学平均成绩提高5分，D组的同学平均成绩没有变化，请估计学习后这些同学的平均成绩提高的分数．
19. (本小题6.0分)
如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，点D是⊙O外一点，AC平分∠BCD，过点A作直线CD的垂线，垂足为点D，连接AD，点E是AB的中点，连接OE．
(1)求证：AD是⊙O的切线；
(2)若⊙O的直径为10，OE=3，求CD的长．

20. (本小题6.0分)
如图是小明洗漱时的侧面示意图，洗漱台(矩形ABCD)靠墙摆放，高AD=80cm，宽AB=48cm，小明身高166cm，下半身FG=100cm，洗漱时下半身与地面的夹角为∠FGK=80°，上半身前倾与水平面的夹角为∠EFM=45°，脚与洗漱台距离GC=15cm(点D，C，G，K在同一直线上).小明希望他的头部E恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方，他应向前或后退多少cm？(sin80°≈0.98,cos80°≈0.18, 2≈1.41，结果精确到0.1)

21. (本小题6.0分)
问题1：如图①，在△ABC中，AB=4，D是AB上一点(不与A，B重合)，DE//BC，交AC于点E，连接CD.设△ABC的面积为S，△DEC的面积为S′．
(1)当AD=3时，S′S=______；
(2)设AD=m，请你用含字母m的代数式表示S′S．
问题2：如图②，在四边形ABCD中，AB=4，AD//BC，AD=12BC，E是AB上一点(不与A，B重合)，EF//BC，交CD于点F，连接CE.设AE=n，四边形ABCD的面积为S，△EFC的面积为S′.请你利用问题1的解法或结论，用含字母n的代数式表示S′S．

22. (本小题6.0分)
如图，直线y1=k1x+b与双曲线y2=k2x在第一象限内交于A、B两点，已知A(1,m)，B(2,1)．
(1)求k2的值及直线AB的解析式；
(2)根据函数图象，直接写出不等式y2>y1的解集；
(3)设点P是线段AB上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，E是y轴上一点，当△PED的面积最大时，请求出此时P点的坐标．

23. (本小题8.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，AE=CG，AH=CF，且EG平分∠HEF．
(1)求证：△AEH≌△CGF．
(2)若∠EFG=90°.求证：四边形EFGH是正方形．

24. (本小题10.0分)
某工厂计划投资生产A、B两种产品，根据市场调查与预测，产品A的利润y1(万元)与投资量x(万元)成正比例关系，如图①所示：产品B的利润y2(万元)与投资量x(万元)成顶点在原点的二次函数关系，如图②所示．
(1)请直接写出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式y1= ______ ，y2= ______ ；
(2)如果工厂以9万元资金投入生产A、B两种产品，要求A产品的投资金额不超过B的2倍，且不少于3万元，则如何投资该工厂能获得最大利润？最大利润是多少？
(3)在(2)问的情况下，工厂要获得不低于18万的利润，工厂要如何投资？

25. (本小题8.0分)
如图，已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)经过A(−1,0)，C(3,0)两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，动点D从点O开始沿OB向终点B以每秒1个单位长度的速度运动，动点E从点O开始沿OC向终点C以每秒2个单位长度的速度运动，过点E作GE⊥OC，交CB于点F，交抛物线y=ax2+bx+3于点G，连接BG，DF，点D，E从点O同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动.设运动时间为t秒(t≥0)，在运动过程中，若四边形BDFG为正方形，求t的值；
(3)将(2)中的正方形BDFG沿y轴翻折180°，得到正方形BDF′G′，然后将正方形BDF′G′沿直线BC方向向下平移，设在平移过程中正方形BDF′G′与△BOC重合部分的面积为S，平移的距离为m(0≤m≤3 2)，请直接写出S与m之间的函数关系式．


答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：57.56亿=5756000000=5.756×109．
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

2.【答案】B 
【解析】解：A.既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；
B.既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；
C.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故选：B．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．

3.【答案】D 
【解析】解：A、a2，a3不是同类项，无法计算，故该选项不符合题意；
B、(a3)2=a6，故此选项错误，故该选项不符合题意；
C、(a+3)2=a2+9+6a，故此选项错误，故该选项不符合题意；
D、−2a2⋅a=−2a3，正确，故该选项符合题意．
故选：D．
直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则和完全平方公式、单项式乘以单项式分别计算得出答案．
此题主要考查了合并同类项以及幂的乘方运算和完全平方公式、单项式乘以单项式等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．

4.【答案】A 
【解析】解：该几何体的主视图为：
．
故选：A．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．

5.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
根据圆内接四边形的性质得到∠ABC=180°−∠D=70°，根据角平分线的定义计算即可．
【解答】
解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC=180°−∠D=70°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=12∠ABC=35°，
故选B．  
6.【答案】B 
【解析】解：由题意，选项A，C，D可以通过平移，旋转得到，选项B可以通过翻折，平移，旋转得到．
故选：B．
本题考查旋转，平移的相关概念，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

7.【答案】B 
【解析】解：∵360°÷90°=4，
∴每旋转4次为一个循环，
∴2023÷4=505⋯⋯3.即第2023次旋转结束时，点F2023的坐标与第3次旋转结束时点F3的坐标相同．F3的位置如图所示，

过点F3作F3M⊥y轴于点M，连接OF，OF3．
由旋转得，△AOF≌△MF3O.
∵点B(1,0)，
∴OB=1．
∵四边形ABCD为正方形，
∴OA=OB=1．
∴AB= 2OA= 2．
∵四边形ABEF是菱形，
∴AF=AB= 2．
∵△AOF≌△MF3O，
∴MF3=OA=1，OM=AF= 2．
∴点F3的坐标为(1,− 2).则点F2023的坐标为(1,− 2)．
故选：B．
先求出点F3的坐标，由题意可得每4次旋转为一个循环，点F2023的坐标与第3次旋转结束时点F3的坐标相同，即可得出答案．
本题考查了菱形的性质，旋转的性质，找到旋转的规律是本题的关键．

8.【答案】A 
【解析】解：由二次函数图象开口向下，得a<0，
由对称轴在y轴的右侧，得b>0，
由二次函数图象与y轴的交点，得c>0．
A、由(b+c)>0，得一次函数y=(b+c)x的图象经过一三象限；a<0，y=ax的图象位于二四象限，故A正确；
B、由(b+c)>0，得一次函数y=(b+c)x的图象经过一三象限；a<0，y=ax的图象位于二四象限，故B错误；
C、由(b+c)>0，得一次函数y=(b+c)x的图象经过一三象限；a<0，y=ax的图象位于二四象限，故C错误；
D、由(b+c)>0，得一次函数y=(b+c)x的图象经过一三象限；a<0，y=ax的图象位于二四象限，故D错误；
故选：A．
根据一次函数的图象判断a、b的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．
本题考查了二次函数图象，应该熟记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．

9.【答案】−3− 32 
【解析】解：原式=1−4− 32，
=−3− 32．
直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．

10.【答案】21 
【解析】解：设盒子中红球的个数为m个．
根据题意得99+m=30%，
解得：m=21，
经检验，m=21是分式方程的解，
所以这个不透明的盒子中红球的个数为21个．
故答案为：21．
设盒子中红球的个数为m个，根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为30%，然后根据概率公式计算m的值．
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．

11.【答案】< 
【解析】解：根据折线图可以看出，1日−15日气温的比15日−30日气温的波动小，
∴S12 故答案为：<．
根据折线图的气温波动大小即可判断方差的大小．
本题考查了折线图和方差，根据折线图来判断方差的大小是关键．

12.【答案】25x−25+7(1+60%)x=14 
【解析】解：设走路线A时的平均速度为x千米/小时，则走路线B时的平均速度为(1+60%)x千米/小时，
依题意，得：25x−25+7(1+60%)x=14．
故答案为：25x−25+7(1+60%)x=14．
设走路线A时的平均速度为x千米/小时，则走路线B时的平均速度为(1+60%)x千米/小时，根据时间=路程÷速度结合走路线B的全程能比走路线A少用15分钟(即14小时)，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

13.【答案】π4+ 34 
【解析】解：如图，设AB交OC于点R，过点R作RT⊥OA于点T．

∵OC⊥OB，
∴∠BOC=90°，
∵∠AOB=120°，OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=∠AOR=30°，
∴RA=RO，
∵RT⊥OA，
∴AT=TO= 32，
∴RT=OT⋅tan30°=12，
∴OR=2RT=1，
∴S阴=S△ROB+S扇形AOC−S△AOR
=12×1× 3+30π×( 3)2360−12× 3×12
=π4+ 34．
故答案为：π4+ 34．
如图，设AB交OC于点R，过点R作RT⊥OA于点T.求出RT，OR，根据S阴=S△ROB+S扇形AOC−S△AOR，求解即可．
本题考查扇形的面积的计算，解题的关键是学会利用分割法求阴影部分的面积．

14.【答案】①②③④ 
【解析】解：∵四边形BCDE是正方形，
∴BC=CD，∠BCD=90°，
∵四边形ACFG是正方形，
∴CF=AG=AC，∠ACF=∠ACH=90°，
∴∠ACB=∠HCD，
∵DH⊥CF，
∴∠H=90°=∠BAC，
在△ABC和△HDC中，
∠CAB=∠H∠BCA=∠DCHCB=DC，
∴△ABC≌△HDC(AAS)，故①正确；
∵FG=1，DE=2，
∴AC=1，BC=2，
∴sin∠ABC=ACBC=12，
∴∠ABC=30°，
∴∠BCN=30°，
∴CN=BCcos30∘=43 3，故②正确；
∵△ABC≌△HDC，
∴AC=HC，
又∵AC=FC，
∴HC=FC，
又∵CM//DH，
∴CM为△DFH的中位线，
∴FM=DM，CM：DH=1：2，
∴S△CFMS△CDH=12；故③④正确；
∵AG= 3，
∴AC= 3，
在Rt△ABC中，tan∠ABC=ACAB= 3AB=23，
∴AB=32AC=3 32，
∴S△ABC=12AB×AC=94，
∵△ABC≌△HDC，
∴S△HDC=S△ABC=94，AC=CH，
∴CH=CF，
∴S△DHF=2S△CDH=92，
∵∠FCM=∠H=90°，
∴CM//HD，
∴△FCM∽△FHD，
∴S△FCMS△FHD=(CFHF)2=14，
∴S△FCM=14S△FHD=98，故⑤错误，
故答案为：①②③④．
由“AAS”可证△ABC≌△HDC，由锐角三角函数可求∠ABC=30°，由三角形可求CN的长，通过证明CM为△DFH的中位线，可得FM=DM，CM：DH=1：2，可求S△CFMS△CDH=12；先求出△ABC的面积，通过证明△FCM∽△FHD，可求△FCM的面积，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．

15.【答案】解：如图，点E为所作．
 
【解析】先作AC的垂直平分线得到AC的中点O，再作△ABC为外接圆⊙O，则⊙O与射线AD的交点为E，利用圆周角定理可确定E点满足条件．
本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理．

16.【答案】解：(1)(2−aa−1)÷a2−4a2−2a+1
=2a−2−aa−1⋅(a−1)2(a+2)(a−2)
=a−2a−1⋅(a−1)2(a+2)(a−2)
=a−1a+2；
(2)3(x−2)−x≥−8①2x−15 解不等式①，得：x≥−1，
解不等式②，得：x>−7，
故原不等式组的解集是x≥−1． 
【解析】(1)先算括号内的减法，然后计算括号外的除法即可；
(2)先解出每个不等式的解集，然后即可得到不等式组的解集．
本题考查分式的混合运算、解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则和解一元一次不等式的方法是解答本题的关键．

17.【答案】(1)证明：∵△=b2−4⋅14c=b2−c=0，
∴将c=2b−1代入得：△=b2−(2b−1)=b2−2b+1=(b−1)2≥0，
∴方程一定有两个实数根；
(2)解：画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，若方程有两个相等的实数根，△=b2−4⋅14c=b2−c=0，
∴b2=c，满足条件的结果有(1,1)和(2,4)，共2种，
∴P(b、c的值使方程14x2+bx+c=0两个相等的实数根的概率)=16． 
【解析】(1)直接利用根的判别式以及完全平方公式进而分析得出答案；
(2)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；可得2x+y=6的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．

18.【答案】77  54 
【解析】解：(1)∵抽取学生的总数为36+74+60+30=200，
A组频数为36，将B组分数按小到大整理后，B组后15个分数为：75，76，76，76，76，78，78，78，78，78，79，79，79，80，80．
∴被抽取学生的问卷测验成绩的中位数是76+782=77，
故答案为：77；
(2)“D”组频数所占扇形圆心角为：360°×30200=54°；
故答案为：54；
(3)50000×60+30200=22500(人)，
答：估计成绩超过80分的人数为22500人；
(4)依题意得：15×36+10×74+5×60+0×30200=7.9(分)．
答：估计学习后这些同学的平均成绩提高的分数为7.9分．
(1)根据中位数的定义即可求解；
(2)用360°乘以“D”组所占的百分比即可求解；
(3)用50000乘以成绩超过80分的百分比计算可得；
(4)根据平均数的定义计算可得．
本题主要考查中位数、加权平均数，频数(率)分布表，解题的关键是根据频数分布表得出解题所需数据，并掌握平均数的计算方法．

19.【答案】(1)证明：如图所示，连接OA，

∵AC平分∠BCD，
∴∠OCA=∠DCA，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=∠DCA，
∴OA//CD，
∵AD⊥CD，
∴OA⊥AD，
又∵OA是⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线；

(2)解：∵BC是直径，
∴∠BAC=90°，
∵点E是AB的中点，点O是BC的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴AC=2OE=6，
∵∠CDA=∠CAB=90°，∠ACD=∠BCA，
∴△CAB∽△CDA，
∴CDAC=CABC，即CD6=610，
∴CD=3.6． 
【解析】(1)如图所示，连接OA，由角平分线的定义得到∠OCA=∠DCA，再由等边对等角推出∠OAC=∠OCA=∠DCA，则OA//CD，即可证明OA⊥AD，则AD是⊙O的切线；
(2)先由直径所对的圆周角是直角得到∠BAC=90°，再证明OE是△ABC的中位线，得到AC=2OE=6，进一步证明△CAB∽△CDA，利用相似三角形的性质即可求出CD=3.6．
本题主要考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，直径所对的圆周角是直角，平行线的性质与判定，等边对等角，三角形中位线定理，灵活运用所学知识是解题的关键．

20.【答案】解：过点F作FN⊥DK于N，过点E作EQ⊥FN于Q.过点E作EP⊥AB于点P，延长OB交QN于点H，
∵AB=48，O为AB的中点，
∴OA=OB=24，
在Rt△EQF中，sin∠QFE=QEEF，
则QE=EF⋅sin∠QFE=(166−100)× 22=33 2≈46.53，
∵EQ⊥FN，EP⊥AB，PH⊥QF，
∴∠EQH=∠QHP=∠EPH=90°，
∴四边形EQHP为矩形，
∴PH=EQ≈46.53，
同理可证四边形BHNC为矩形，
在Rt△FGN中，cos∠EGN=GNGF，
∴NG=100×cos80°≈18，
∴HB=NC=18+15=33，
∴OH=OB+HB=24+33=57，
∴OP=OH−HP=57−46.53≈10.47≈10.5，
答：他应该向前约10.5cm． 
【解析】过点F作FN⊥DK于N，过点E作EQ⊥FN于Q.过点E作EP⊥AB于点P，延长OB交QN于点H，根据正弦的定义求出QE，根据余弦的定义求出NG，进而求出OP，判断即可．
本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．

21.【答案】(1)316
(2)解法一：∵AB=4，AD=m，
∴BD=4−m，
∵DE//BC，
∴CEEA=BDAD=4−mm，
∴S△DECS△ADE=CEAE=4−mm，
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADES△ABC=(m4)2=m216，
∴S△DECS△ABC=S△DECS△ADE⋅S△ADES△ABC=4−mm⋅m216=−m2+4m16，
即S′S=−m2+4m16；
解法二：如图1，过点B作BH⊥AC于H，过D作DF⊥AC于F，则DF//BH，
∴△ADF∽△ABH，
∴DFBH=ADAB=m4，
∴S△DECS△ABC=12CE⋅DF12CA⋅BH=4−m4×m4=−m2+4m16，
即S′S=−m2+4m16；

问题2：如图②，
解法一：如图2，分别延长BD、CE交于点O，
∵AD//BC，
∴△OAD∽△OBC，
∴OAOB=ADBC=12，
∴OA=AB=4，
∴OB=8，
∵AE=n，
∴OE=4+n，
∵EF//BC，
由问题1的解法可知：S△CEFS△OBC=S△CEFS△OEF⋅S△OEFS△OBC=4−n4+n×(4+n8)2=16−n264，
∵S△OADS△OBC=(OAOB)2=14，
∴SABCDS△OBC=34，
∴S△CEFSABCD=S△CEF34S△OBC=43×16−n264=16−n248，即S′S=16−n248；
解法二：如图3，连接AC交EF于M，
∵AD//BC，且AD=12BC，
∴S△ADCS△ABC=12，
∴S△ADC=12S△ABC，
∴S△ADC=13S，S△ABC=23S，
由问题1的结论可知：S△EMCS△ABC=−n2+4n16，
∵MF//AD，
∴△CFM∽△CDA，
∴S△CFMS△CDA=S△CFM13S=3×S△CFMS=(4−n4)2，
∴S△CFM=(4−n)248×S，
∴S△EFC=S△EMC+S△CFM=−n2+4n16⋅23S+(4−n)248×S=16−n248×S，
∴S′S=16−n248． 
【解析】
解：问题1：
(1)∵AB=4，AD=3，
∴BD=4−3=1，
∵DE//BC，
∴CEEA=BDAD=13，
∴S△DECS△ADE=ECAE=13=39，
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADES△ABC=(34)2=916，
∴S△DECS△ABC=316，即S′S=316，
故答案为：316；
(2)
问题1：见答案
问题2：见答案
【分析】
(1)先根据平行线分线段成比例定理可得：CEEA=BDAD=13，由同高三角形面积的比等于对应底边的比，则S△DECS△ADE=ECAE=13=39，根据相似三角形面积比等于相似比的平方得：S△ADES△ABC=(34)2=916，可得结论；
(2)解法一：同理根据(1)可得结论；
解法二：作高线DF、BH，根据三角形面积公式可得：S△DECS△ABC=12CE⋅DF12CA⋅BH，分别表示CECA和DFBH的值，代入可得结论；
问题2：
解法一：如图2，作辅助线，构建△OBC，证明△OAD∽△OBC，得OB=8，由问题1的解法可知：S△CEFS△OBC=S△CEFS△OEF⋅S△OEFS△OBC=4−n4+n×(4+n8)2=16−n264，根据相似三角形的性质得：SABCDS△OBC=34，可得结论；
解法二：如图3，连接AC交EF于M，根据AD=12BC，可得S△ADCS△ABC=12，得：S△ADC=13S，S△ABC=23S，由问题1的结论可知：S△EMCS△ABC=−n2+4n16，证明△CFM∽△CDA，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，根据面积和可得结论．
本题考查了相似三角形的性质和判定、平行线分线段成比例定理，熟练掌握相似三角形的性质：相似三角形面积比等于相似比的平方是关键，并运用了类比的思想解决问题，本题有难度．  
22.【答案】解：(1)∵点B(2,1)在双曲线上，
∴k2=2×1=2，
∴双曲线的解析式为y2=2x，
∵A(1,m)在双曲线y2=2x，
∴m=2，
∴A(1,2)．
∵直线AB：y1=k1x+b过A(1,2)、B(2,1)两点，则k1+b=22k1+b=1，解得k1=−1b=3，
∴直线AB的解析式为y=−x+3；

(2)根据函数图象得，不等式y2>y1的解集为02；

(3)设点P(x,−x+3)，且1≤x≤2，
△PED的面积=12PD⋅OD=12x(−x+3)=−12(x−32)2+98≥98，
当x=32时，△PED的面积取得最大值，
此时点P的坐标为(32,32). 
【解析】(1)依据反比例函数图象上点的坐标特征，即可得到m和k2的值，再根据待定系数法即可得出直线AB的解析式；
(2)依据直线与双曲线的上下位置关系，即可得到不等式y2>y1的解集；
(3)设点P(x,−x+3)，用含x的代数式表示出△PED的面积，即可求解．
本题是反比例函数综合题，主要考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，二次函数的最值以及三角形的面积公式，求出直线AB的解析式是解本题的关键．

23.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C．
在△AEH与△CGF中，
AE=CG∠A=∠CAH=CF，
∴△AEH≌△CGF(SAS)；

(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，∠B=∠D．
∵AE=CG，AH=CF，
∴EB=DG，HD=BF．
∴△BEF≌△DGH(SAS)，
∴EF=HG．
又∵△AEH≌△CGF，
∴EH=GF．
∴四边形HEFG为平行四边形．
∴EH//FG，
∴∠HEG=∠FGE．
∵EG平分∠HEF，
∴∠HEG=∠FEG，
∴∠FGE=∠FEG，
∴EF=GF，
又∵∠EFG=90°，
∴平行四边形EFGH是正方形．
∴四边形EFGH是菱形． 
【解析】(1)根据全等三角形的判定定理SAS证得结论；
(2)先证明四边形EFGH是平行四边形，再证明有一组邻边相等，然后结合∠EFG=90°，即可证得该平行四边形是正方形．
本题考查了正方形的判定，判定一个四边形是正方形的方法有：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．
也考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，难度适中．

24.【答案】2x 34x2 
【解析】解：(1)由题意设y1=kx，
∵点P(2,4)在该函数的图象上，
∴4=2k，
∴k=2，
∴y1=2x；
设y2=ax2，
∵点Q(2,3)，
∴3=4a，
∴a=34，
∴y2=34x2．
故答案为：2x；34x2；
(2)设投资A产品x万元，则投资B产品(9−x)万元，由题意得：
x≤2(9−x)x≥3，
∴3≤x≤6，
∴该工厂能获得的利润为：
y1+y2=2x+34(9−x)2
=34x2−232x+2434
=34(x−233)2+503，
∴当x=3时，y1+y2取得最大值，最大值是34(3−233)2+503=33(万元)．
∴投资A产品3万元，投资B产品6万元时，该工厂能获得最大利润，最大利润是33万元；
(3)由(2)知，3≤x≤6，
y1+y2=34(x−233)2+503≥18，
∴(x−233)2≥18−503=(43)2，
∴(x−233)2≥(43)2，
∴x−233≥43或x−233≤−43，
∴x≥9或x≤193，
∵3≤x≤6，
∴当投资A产品不少于3万元且不超过6万元时，工厂获得的利润不低于18万元．
(1)由题意设y1=kx，设y2=ax2，分别用待定系数法求得解析式即可；
(2)设投资A产品x万元，则投资B产品(9−x)万元，由题意得关于x的不等式组，解得x的取值范围，根据(!)中的两个函数关系式得出y1+y2关于x的二次函数，利用二次函数的性质可得答案；
(3)令(2)中所得的二次函数大于等于18，解不等式并结合(2)中所得的x的取值范围，可得答案．
本题考查了待定系数法求函数的解析式、不等式在实际问题中的应用及二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．

25.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)经过A(−1,0)，C(3,0)两点，
∴a−b+3=09a+3b+3=0，
解得a=−1b=2，
所以，抛物线的解析式为y=−x2+2x+3；

(2)方法一：令x=0，则y=3，
∴点B的坐标为(0,3)，
由题意得，点D的坐标为(0,t)，
BD=3−t，
∵C(3,0)，
∴直线BC的解析式为y=−x+3，
∵点E的坐标为(2t,0)，
∴GF=−(2t)2+4t+3−(−2t+3)=−4t2+6t，
当BD=GF时，由于BD//GF，四边形BDFG是平行四边形，
∴−4t2+6t=3−t，
整理得，4t2−7t+3=0，
解得t1=1，t2=34，
当t=1时，点D的坐标为(0,1)，点F的坐标为(2,1)，
点B的坐标为(0,3)，
此时BD=BF，∠FDB=90°，
∴四边形BDFG是正方形；
当t=34时，点D的坐标为(0,94)，点F的坐标为(32,32)，∠FDB≠90°，
∴四边形BDFG不是正方形，
故，当t=1时，四边形BDFG是正方形；

方法二：令x=0，则y=3，
∴点B的坐标为(0,3)，
由题意得，点D的坐标为(0,t)，
BD=3−t，
∵C(3,0)，
∴直线BC的解析式为y=−x+3，
∵点E的坐标为(2t,0)，
∴点F的坐标为(2t,−2t+3)，
若四边形BDFG是正方形，则DF⊥BD，DF=BF，
∴−2t+3=t，
解得t=1，
此时，点F的坐标为(2,1)，点G的坐标为(2,3)，
∴BD=FG=DF=BG=2，
∴四边形BDFG是正方形；

(3)∵B(0,3)，C(3,0)，
∴OB=OC，
∴△BOC是等腰直角三角形，
如图所示，①DF′在x轴上方时，0≤m< 2，重叠部分矩形的宽= 22m，
面积=2× 22m= 2m，
②DF在x轴下方，F′G′在y轴左边时， 2≤m<2 2，
重叠部分的面积=12×3×3−12× 2m2× 2m2−12× 2(3 2−m)2× 2(3 2−m)2，
=−12m2+3 22m，
③DF′在x轴下方，F′G′在y轴右边时，2 2≤m≤3 2，重叠部分矩形的宽= 22(3 2−m)，
面积= 22(3 2−m)×2=− 2m+6，
综上所述，S= 2m(0≤m< 2)−12m2+3 22m( 2≤m<2 2)− 2m+6(2 2≤m≤3 2)． 
【解析】(1)利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；
(2)方法一：令x=0求出点B的坐标，然后表示出点D的坐标，从而得到BD的长度，再求出直线BC的解析式，并求出点E的坐标，然后根据抛物线解析式与直线解析式求出GF，根据平行四边形对边平行且相等可得BD=GF，列出方程求出t的值，再进行验证即可得解；
方法二：令x=0求出点B的坐标，然后表示出点D的坐标，从而得到BD的长度，再求出直线BC的解析式，并求出点E的坐标，然后表示出点F的坐标，再根据正方形的邻边垂直且相等表示出DF，并根据BD=DF列出方程求出t值，再求出F、G的坐标，然后进行判定即可；
(3)分①DF′在x轴上方时，表示出重叠部分矩形的宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解；②DF在x轴下方，F′G′在y轴左边时，重叠部分等于△BOC的面积减去两个等腰直角三角形的面积，列式整理即可得解；③DF′在x轴下方，F′G′在y轴右边时，表示出重叠部分矩形的宽，再根据矩形的面积公式列式计算即可得解．
本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的性质，正方形的判定与性质，阴影部分面积的表示方法，难点在于(3)要根据移动的距离的变化以及阴影部分的不同表示方法分情况讨论．