河北省衡水中学2017届高三上学期摸底联考（全国卷）数学（文）试题

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1. 已知集合，则如图所示阴影部分表示的集合为（   ）

A．           B．            C．              D．

【答案】C

考点：集合的运算.

【名师点睛】本题考查集合的运算；容易题；有关集合运算的考题，在高考中多以选择题或填空题形式呈现，试题难度不大，多为低档题，对集合运算的考查主要有以下几个命题角度：1.离散型数集间的交、并、补运算；2.连续型数集间的交、并、补运算；3.已知集合的运算结果求集合；4.已知集合的运算结果求参数的值（或求参数的范围）.

2. 已知向量，且，则实数的值为（   ）

A．               B．               C．或             D．

【答案】B

【解析】

试题分析：因为，所以，即，故选B.

考点：向量的坐标运算.

3. 设复数满足为虚数单位），则复数对应的点位于复平面内（   ）

A．第一象限         B．第二象限         C．第三象限           D．第四象限

【答案】A

考点：1.复数相关的概念；2.复数的运算.

4. 已知张卡片上分别写着数字，甲、乙两人等可能地从这张卡片中选择张，则他们选择同一张卡片的概率为（   ）

A．                B．             C．                 D．

【答案】C

【解析】

试题分析：甲、乙两人选择卡片的所有基本事件为，

，，共16个基本事件，选择同一张卡片的有4个，所以他们选择同一张卡片的概率为,故选C.

考点：古典概型.

5. 若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（   ）

A．                B． 至多有一个       C．                 D．

【答案】D

【解析】

试题分析：因为直线和圆没有交点，所以，即，所以点在圆内，即点在椭圆内部，所以过点的直线与椭圆有两个公共点，故选D.

考点：1.直线与圆的位置关系；2.点与圆、点与椭圆的位置关系；3.直线与椭圆的位置关系.

6. 在四面体中，，则该四面体外接球的表面积是（   ）

A．             B．           C．               D．

【答案】D

考点：1.球的切接问题；2.球的表面积与体积.

7. 已知为等差数列，为其前项和，公差为，若，则的值为（   ）

A．                B．             C．                 D．

【答案】B

【解析】

试题分析：因为，所以，所以，故选B.

考点：等差数列的前项和公式与性质.

8. 若函数的部分图象如图所示，则关于的描述中正确的是（   ）

A．在上是减函数               B．在上是减函数            C．在上是增函数               D．在上是增减函数

【答案】C

考点：三角函数的图象与性质.

【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，属中档题；三角函数的图象与性质是高考的必考内容，根据函数图象确定解析式首先是由最大值与最小值确定，再根据周期确定，由最高点的值或最低点的值确定，求出解析式后再研究函数相关性质.

9. 某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则（   ）

A．                B．             C．                 D．

【答案】C

考点：程序框图.

10.  函数的图象经过四个象限的一个充分必要条件是（   ）

A．                         B．           

 C．                           D．

【答案】D

【解析】

试题分析：,由得或，所以函数的两个极值点为和，所以函数的图象经过四个象限的一个充分必要条件是,故选D.

考点：1.导数与函数的单调性、极值；2.函数的图象与性质.

11. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（   ）

A．              B．             C．                D．

【答案】C

考点：多面体的表面各与体积.

12. 已知函数，则关于的方程，当时实根个数为（   ）

A． 个             B．个           C． 个                D． 个

【答案】B

【解析】

试题分析：令，则转化为，在直角坐标系内作出函数与函数的图象，由图象可知，当时，有三个根，其中，由得共有个不同的解，故选B.

考点：函数与方程.

【名师点睛】本题考查函数与方程，属中档题；函数与方程是最近高考的热点内容之一，解决方法通常是用零点存在定理或数形结合方法求解，如本题就是将方程转化为两个函数图象交点，通过观察图象交点的个数研究方程根的个数的.

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13. 中心在原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点，则它的离心率为         ．

【答案】

考点：双曲线的几何性质；

14. 曲线在处的切线方程为         ．

【答案】

【解析】

试题分析：，，，所以切线方程为即.

考点：导数的几何意义.

15. 某大型家电商场为了使每月销售和两种产品获得的总利润达到最大，对某月即将出售的和进行了相关调査，得出下表:

如果该商场根据调查得来的数据，月总利润的最大值为         元．

【答案】

考点：线性规划.

【名师点睛】本题考查线性规划，属中题；线性规划也是高考中常考的知识点,一般以客观题形式出现,基本题型是给出约束条件求目标函数的最值,常见的结合方式有:纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离,解决此类问题常利用数形结合,准确作出图形是解决问题的关键.

16. 如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字出现在第行;数字出现在第行;数字（从左至右)出现在第行;数字出现在第行，依此类推，則第行从左至右的第个数字应是         ．

【答案】

考点：1.归纳推理；2.等差数列的前项和公式.

【名师点睛】本题考查的是归纳推理、等差数列的前项和公式，属中档题；归纳推理是从特殊事例中归纳出一般性结论的推理，解题关键点在于从有限的特殊事例中寻找其中的规律，要注意从运算的过程中去寻找.注意运算的准确性.

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. （本小题满分12分）已知顶点在单位圆上的中,角、、所对的边分别为、、，且.

（1）求角的大小;

（2）若,求的面积.

【答案】(1);(2).

【解析】

试题分析：(1) 由得代入余弦定理即可求出角；(2)由正弦定理先求出边，再由余弦定理可求出，代入三角形面积公式即可.

试题解析： （1）由得，

  故     

   又∵    ∴   [来源:学&科&网Z&X&X&K]

（2）由得   

 由余弦定理得 

 即∴   

  ∴ .

考点：正弦定理与余弦定理.

【名师点睛】本题考查正、余弦定理的应用，容易题；解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．

18. （本小题满分12分）如图，三棱住中,.

（1）证明:;

（2）若,求三棱住的体积.

[来源:Z§xx§k.Com]

【答案】(1)见解析；(2).

考点：1.线面垂直的判定与性质；2.多面体的表面积与体积.

19. （本小题满分12分）某大学生在开学季准备销售一种文具套盒进行试创业，在一个开学季内，每售出盒该产品获利润元;未售出的产品，每盒亏损元.根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示，该同学为这个开学季购进了 盒该产品，以(单位：盒，)表示这个开学季内的市场需求量，(单位：元)表示这个开学季内经销该产品的利润.

（1）根据直方图估计这个开学季内市场需求量的中位数;

（2）将表示为的函数;

（3）根据直方图估计利润不少于元的概率.

【答案】(1);(2);(3).

考点：1.频率分布直方图；2.对立事件的概率.

20. （本小题满分12分）在平面直角坐标系中, 过点的直线与抛物线相交于两点,.

（1）求证: 为定值;

（2）是否存在平行于轴的定直线被以为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求该直线方程和弦长；如果不存在，说明理由.

【答案】(1)见解析；(2) 存在平行于轴的定直线被以为直径的圆截得的弦长为定值.

（解法2）设直线的方程为

由得  

因此有为定值   .                 

(Ⅱ)设存在直线：满足条件，则

的中点，[来源:学*科*网Z*X*X*K]

   因此以为直径的圆的半径

又点到直线的距离

所以所截弦长为

当即时，弦长为定值2，这时直线方程为. 

考点：1.抛物线的标准方程与几何性质；2.直线与抛物线的位置关系；3.直线与圆的位置关系.

【名师点睛】本题考查抛物线的标准方程与几何性质、直线与抛物线的位置关系、直线与圆的位置关系,属难题；解决圆锥曲线定值定点方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.

21. （本小题满分12分）已知函数.

（1）当时, 求函数在上的最大值和最小值;

（2）设,且对于任意的,试比较与的大小.

【答案】(1)的最大值为，的最小值为；(2)

[来源:学*科*网Z*X*X*K]

（Ⅱ）由题意，函数f（x）在x=1处取到最小值，

又 

设的两个根为，则

不妨设，

则在单调递减，在单调递增，故，

又，所以，即2 ，即  

令 ，则 令 ，得 ,

当 时， 在上单调递增；

当 x时， 在（）上单调递减；

因为

故 ，即 ，即 .

考点：1.导数与函数的单调性、极值、最值；2.函数与不等式.

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图, 四点在同一个圆上，与的延长线交于点,点在的延长线上.

（1）若,求的值;

（2）若,证明:.

【答案】(1);(2)见解析.

考点：1.三角形相似；2.圆的性质与应用.

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴非负半轴重合，直线的参数方程为:

为参数), 曲线的极坐标方程为:.

（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;

（2）设直线与曲线相交于两点, 求的值.

【答案】(1) 曲线的直角坐标方程为, l的普通方程为;(2).

考点：1.极坐标与直角坐标的互化；2，参数方程与普通方程的互化；3.直线参数方程参数的几何意义.

24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数.

（1）解不等式;

（2）若对任意,都有,使得成立, 求实数的取值范围.[来源:]

【答案】(1) ;(2).

考点：1.含绝对值不等式的解法；2.含绝对值函数值域的求法.