高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理学案设计

1.2 空间向量基本定理

【学习目标】

【自主学习】

一．空间向量基本定理

如果三个向量a，b，c        ，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝                ．

我们把{a，b，c}叫做空间的一个      ，a，b，c都叫做基向量．

二．空间向量的正交分解

1.单位正交基底

如果空间的一个基底中的三个基向量          ，且长度都是    ，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示．

2.向量的正交分解

由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk．像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．

思考1：基底选定后，空间中的所有向量均可由该基底唯一表示吗？不同基底下，同一个向量的表达式都相同吗？

思考2：基底中能否有零向量？

解读：1.一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念.

2.基底的选择一般有两个条件：（1）基底必须是不共面的非零向量；（2）在进行基底选择时要尽量选择已知夹角和长度的向量，这样会让后续计算比较方便.

【小试牛刀】

1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示．(  )

(2)若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量．(  )

(3)如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线．(  )

(4)若{a，b，c}为空间一个基底，则{－a，b，2c}也可构成空间一个基底．(　　)

(5)若三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面．(　　)

2.设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的(　　)

A．充分不必要条件       B．必要不充分条件

C．充要条件         D．既不充分也不必要条件

【经典例题】

题型一　基底的判断

点拨：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底．

方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底．

②假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底．

例1 已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底．

【跟踪训练】1 若向量，，的起点M和终点A，B，C互不重合且无三点共线，则能使向量，，成为空间一个基底的关系是(O为空间中不同于M，A，B，C的一点)(　　)

A．＝＋＋     B．＝＋

C．＝＋＋           D．＝2－

题型二　用基底表示向量

点拨：用基底表示向量时，若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律；若没给定基底，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求．

例2 在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是AD1，BD的中点．

(1)用向量a，b，c表示，；

(2)若＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值．

【跟踪训练】2 如图所示，空间四边形OABC中，G，H分别是△ABC，△OBC的重心，设＝a，＝b，＝c，D为BC的中点．试用向量a，b，c表示向量和.

题型三　空间向量基本定理的应用

点拨：首先根据几何体的特点，选择一个基底，把题目中涉及的两条直线所在的向量用基向量表示．

(1)若证明线线垂直，只需证明两向量数量积为0．

(2)若证明线线平行，只需证明两向量共线．

(3)若要求异面直线所成的角，则转化为两向量的夹角(或其补角)．

例3 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点，求证：EF⊥AB1．

【跟踪训练】3如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°．

(1)求AC1的长；(2)求BD1与AC所成角的余弦值．

【当堂达标】

1. 以下四个命题中正确的是(　　)

A．基底{a，b，c}中可以有零向量

B．空间任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一个基底

C．△ABC为直角三角形的充要条件是·＝0

D．空间向量的基底只能有一组

2. (多选)已知点O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝＋＋，向量b＝＋－，则与a，b能构成空间基底的向量是(　　)

A.       B.       C.       D.或

3.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，用，，作为基向量，则＝________．

4．已知a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，若d＝αa＋βb＋λc，则α，β，λ的值分别为________．

5.在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，BD的中点，点G在棱CD上，且CG＝CD．

(1)证明：EF⊥B1C；

(2)求EF与C1G所成角的余弦值．

【参考答案】

一． 不共面   xa＋yb＋zc   基底

二． 两两垂直 1

思考1：基底选定后，空间中的所有向量均可由该基底唯一表示，不一定相同，不同基底下，同一个向量的表达式也有可能不同.

思考2：不能，因为零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面.

【小试牛刀】

1.×  √   √  √   √

2.B 解析：当三个非零向量a，b，c共面时不能作为基底，正推不成立；反过来，若{a，b，c}是一个基底，必有a，b，c都是非零向量，逆推成立，故选项B符合题意．

【经典例题】

例1解：假设，，共面．则存在实λ，μ使得＝λ＋μ，

∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3)＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3，

∵e1，e2，e3不共面，

∴此方程组无解，

∴，，不共面，∴{，，}可以作为空间的一个基底．

【跟踪训练】1 C 解析：对于选项A，由结论＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)⇒M，A，B，C四点共面，即，，共面；对于B，D选项，易知，，共面，故只有选项C中，，不共面．

例2 解　(1)如图，连接AC，

＝＋＝－＋－＝a－b－c，

＝＋＝＋＝－(＋)＋(＋)＝(a－c)．

(2)＝(＋)＝(－＋)＝(－c＋a－b－c)＝a－b－c，

∴x＝，y＝－，z＝－1.

【跟踪训练】2解　因为＝＋，而＝，＝－，

又D为BC的中点，所以＝(＋)，所以＝＋＝＋(－)

＝＋×(＋)－＝(＋＋)＝(a＋b＋c)．

又因为＝－，＝＝×(＋)＝(b＋c)，

所以＝(b＋c)－(a＋b＋c)＝－a.

所以＝(a＋b＋c)，＝－a.

例3 证明：设＝a，＝b，＝c，

则＝＋＝(＋)

＝(＋)＝(＋－)＝(－a＋b＋c)，＝＋＝＋＝a＋b．

所以·＝(－a＋b＋c)·(a＋b)＝(|b|2－|a|2)＝0．所以⊥，即EF⊥AB1．

【跟踪训练】3 解：(1)设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，

所以a·b＝b·c＝c·a＝．

||2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×＝6，

所以||＝，即AC1的长为．

(2)＝b＋c－a，＝a＋b，

所以||＝，||＝，

·＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1．

所以cos〈，〉＝＝．

所以AC与BD1所成角的余弦值为．

【当堂达标】

1. B 解析：使用排除法．因为零向量与任意两个非零向量都共面，故A不正确；△ABC为直角三角形并不一定是·＝0，可能是·＝0，也可能是·＝0，故C不正确；空间基底可以有无数多组，故D不正确．

2. ABD 解析：∵＝a－b且a，b不共线，∴a，b，共面，∴与a，b不能构成一组空间基底．

3. (＋＋) 解析：2＝2＋2＋2

＝(＋)＋(＋)＋(＋)

＝＋＋，所以＝(＋＋).

4. ，－1，－ 解析：∵d＝α(e1＋e2＋e3)＋β(e1＋e2－e3)＋λ(e1－e2＋e3)

＝(α＋β＋λ)e1＋(α＋β－λ)e2＋(α－β＋λ)e3＝e1＋2e2＋3e3，

∴∴

5.(1)证明：设＝i，＝j，＝k，则{i，j，k}构成空间的一个正交基底．

所以＝＋＝－k＋(＋)＝i＋j－k，＝＋＝－i－k，

所以·＝·(－i－k)

＝－|i|2＋|k|2＝0，所以EF⊥B1C．

(2)解：＝i＋j－k，＝＋＝－k－j，||2＝2＝|i|2＋|j|2＋|k|2＝3，

||＝，||2＝2＝|k|2＋|j|2＝4＋＝，||＝，

∴cos〈，〉＝

＝＝＝．

∴EF与C1G所成角的余弦值为．