高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆课时练习

3.1.1 椭圆及其标准方程

 基 础 练                                                                                 

巩固新知    夯实基础

1．(多选)若椭圆＝1的焦距是2，则m＝（    ）

A．1               B．3                C．5           D．7

2.“方程表示椭圆”的一个充分条件是（    ）

A． B． C． D．

3.已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4,0)，则m的值为(　　)

A．9                B．4               C．3               D．2

4.已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F (3,0)，点(0，－3)在椭圆上，则椭圆的方程为(　　)

A.＋＝1   B.＋＝1

C.＋＝1   D.＋＝1

5.若椭圆上一点到焦点的距离为，则点到另一焦点的距离为______．

6.椭圆的焦点坐标为______．

7.求满足下列条件的椭圆的标准方程：

(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3,2)；

(2)c∶a＝5∶13，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.

8.已知椭圆C∶经过点，O为坐标原点，若直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，直线l与直线OM的斜率乘积为.求椭圆C的标准方程；

 能 力 练                                                                                

综合应用   核心素养

9.(多选)已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝2，若|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，则椭圆C的标准方程为（    ）

A．＝1                 B．＝1

C．＝1                 D．＝1

10.已知椭圆＋＝1(a>b>0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是(    )

A．圆       B．椭圆      C．线段      D．直线

11.设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△F1PF2的面积等于  (     )

A．5        B．4         C．3 D．1

12．“1<m<3”是“方程＋＝1表示椭圆”的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

13已知经过椭圆＋＝1右焦点F2的直线交椭圆于A，B两点，F1为左焦点，则△ABF1的周长为________．

14.与椭圆有相同的焦点，且过点的椭圆方程为______．

15.已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则∠F1PF2＝________.若∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积是________．

16.一动圆与已知圆O1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆O2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．

【参考答案】

1.BC解析：当焦点在x轴上时，a2＝m，b2＝4，c2＝m－4．又2c＝2，所以c＝1，所以m－4＝1，所以m＝5．当焦点在y轴上时，a2＝4，b2＝m，所以c2＝4－m＝1，所以m＝3．故选：BC

2.A 解析：若方程表示椭圆，则解得或．

对比选项，A符合题意.故选：A．

3.C 解析：由题意可知25－m2＝16，解得m＝3(舍去负值)．

4.D 解析：由题意可得解得故椭圆的方程为＋＝1.

5. 解析： 椭圆方程为：

椭圆的焦点在轴上，且,可得，,即

又,由椭圆的定义： ,

,解得：, 点到另一个焦点的距离为.故答案为：.

6.或 解析：椭圆方程为，焦点在轴，，，所以，所以椭圆的焦点坐标为.故答案为：或

7.解：　(1)由焦距是4可得c＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2)．

由椭圆的定义知，2a＝＋＝8，

所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.又焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为＋＝1.

(2)由题意知，2a＝26，即a＝13，又c∶a＝5∶13，所以c＝5，所以b2＝a2－c2＝132－52＝144，

因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.

8.解：因为椭圆经过点，所以（1），

设，因为直线l与椭圆C交于A，B两点，

所以，两式相减得，

因为线段AB的中点为M，且直线l与直线OM的斜率乘积为-，

所以 （2），由（1）（2）解得，

所以椭圆方程为：.

9.AC解析：由已知2c＝|F1F2|＝2，所以c＝．

因为2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝，所以a＝2．所以b2＝a2－c2＝9．

故椭圆C的标准方程是＝1或＝1．故选：AC

10.B 解析：设椭圆的右焦点为F2，由题意，知|PO|＝|MF2|，|PF1|＝|MF1|，

又|MF1|＋|MF2|＝2a，所以|PO|＋|PF1|＝a>|F1O|＝c，故由椭圆的定义，知P点的轨迹是椭圆．

11.B 解析：由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，又|PF1|∶|PF2|＝2∶1，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，由22＋42＝(2)2，可知△F1PF2是直角三角形，故△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|＝×4×2＝4，故选B.

12.B 解析：当方程＋＝1表示椭圆时，必有所以1<m<3且m≠2；

但当1<m<3时，该方程不一定表示椭圆，例如当m＝2时，方程变为x2＋y2＝1，它表示一个圆．

13.20 解析：△ABF1的周长＝|AB|＋|AF1|＋|BF1|＝|AF2|＋|BF2|＋|AF1|＋|BF1|＝4a＝20.

14. 解析：不妨设所求椭圆方程为：，，且焦距为，

由已知条件可知，   ①，

将代入可得，   ②，

联立①②可得，，，故所求椭圆方程为：.

15. 120°　2 解析：由题得a2＝9，b2＝2，∴a＝3，c2＝a2－b2＝9－2＝7，∴c＝，∴|F1F2|＝2.

∵|PF1|＝4，∴|PF2|＝2a－|PF1|＝2.

∴cos∠F1PF2＝＝＝－，又0＜∠F1PF2＜180°，

∴∠F1PF2＝120°.又|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2)2＝28，配方得(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝28，

∴36－2|PF1||PF2|＝28，即|PF1||PF2|＝4，∴S＝|PF1||PF2|＝2.

16. 解：两定圆的圆心和半径分别为O1(－3,0)，r1＝1；O2(3,0)，r2＝9.

设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，则由题设条件可得|MO1|＝1＋R，|MO2|＝9－R，

∴|MO1|＋|MO2|＝10.

而|O1O2|＝6<10，故由椭圆的定义知：M在以O1，O2为焦点的椭圆上，且a＝5，c＝3，

∴b2＝a2－c2＝25－9＝16，

故动圆圆心的轨迹方程为＋＝1.