高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线当堂检测题

3.2.1 双曲线及其标准方程

 基 础 练                                                                                 

巩固新知    夯实基础

1.已知平面内两定点A(－5,0)，B(5,0)，动点M满足|MA|－|MB|＝6，则点M的轨迹方程是(　　)

A．－＝1 B．－＝1(x≥4)

C．－＝1 D．－＝1(x≥3)

2.对于常数a，b，“”是“方程对应的曲线是双曲线”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3.(多选)已知方程＋＝1表示的曲线为C.给出以下判断，正确的是(　　)

A．当1＜t＜4时，曲线C表示椭圆

B．当t＞4或t＜1时，曲线C表示双曲线

C．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜t＜

D．若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则t＞4

4.设，分别是双曲线的左、右焦点，若点在双曲线上，且，则（    ）

A．5       B．1      C．3      D．1或5

5.方程的图像是双曲线，则k的取值范围是______．

6已知曲线C：，则下列命题中正确的是______.

①若，则曲线C表示双曲线；②曲线C可能表示一个圆；③若曲线C是椭圆，则其长轴长为.

7.设双曲线的两个焦点分别为、，P为双曲线上一点，若，则______．

8.已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，求|PF1|＋|PF2|的值.

 能 力 练                                                                                

综合应用   核心素养

9.(多选)设θ是三角形的一个内角，对于方程＋＝1的说法正确的是(　　)

A．当0＜θ＜时，方程表示椭圆

B．当θ＝时，方程不表示任何图形

C．当＜θ＜时，方程表示焦点在x轴上的双曲线

D．当＜θ＜π时，方程表示焦点在y轴上的双曲线

10.设椭圆＋＝1和双曲线－y2＝1的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个公共点，则cos∠F1PF2=(　　)

A.   B. C.   D.

11.已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2分别为(，0)和(－，0)，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为(　　)

A．－＝1       B．－＝1        C．－y2＝1     D．x2－＝1

12.若k>1，则关于x，y的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲线是(　　)

A.焦点在x轴上的椭圆 B.焦点在y轴上的椭圆

C.焦点在y轴上的双曲线 D.焦点在x轴上的双曲线

13.直线和各有一点，的面积为2，则的中点M的轨迹方程为（    ）

A． B． C． D．

14.设，是双曲线：的两个焦点，为坐标原点，点P在双曲线C上且，则的面积为________.

15.如图，圆，点，动圆P过点F，且与圆E内切于点M，则动圆P的圆心P的轨迹方程为______．

16.已知双曲线过点(3，－2)，且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点.

(1)求双曲线的标准方程；

(2)若点M在双曲线上，F1，F2为左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝6，试判断△MF1F2的形状.

【参考答案】

1. D解析：由题意知，轨迹应为以A(－5,0)，B(5,0)为焦点的双曲线的右支．由c＝5，a＝3，知b2＝16，

∴M点的轨迹方程为－＝1(x≥3)．

2.C 解析：可整理成，

当，则且或且，此时方程即表示的曲线为双曲线，则充分性成立；

若方程表示的曲线为双曲线，则即，则必要性成立，

故选：C

3. BCD 解析：A错误，当t＝时，曲线C表示圆；B正确，若C为双曲线，则(4－t)(t－1)＜0，∴t＜1或t＞4；C正确，若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则4－t＞t－1＞0，

∴1＜t＜；D正确，若曲线C为焦点在y轴上的双曲线，则∴t＞4.

4.A 解析：依题意得，，，因此，由于，故知点只可以在双曲线的左支上，因此，即，所以，故选:A．

5.或 解析：因为方程的图像是双曲线，所以，

即，解得或；

故答案为：或

6.① 解析：由题意，若，而,根据双曲线的定义可知曲线C表示双曲线，故①正确；

若表示圆，则，但无实数根，所以曲线C不可能表示一个圆，故②错误；

若曲线C是椭圆，则，由②的分析可知，椭圆C：的焦点在x轴上，所以其长轴长为，故③错误.故答案为：①

7.0 解析：由题意得，，联立

，

因此，则．

8. 解：不妨设P在双曲线的右支上，|PF1|＝2＋x，|PF2|＝x(x>0)，因为PF1⊥PF2，

所以(x＋2)2＋x2＝(2c)2＝8，所以x＝－1，x＋2＝＋1，所以|PF2|＋|PF1|＝－1＋＋1＝2.

9. BC解析：当0＜θ＜时，sin θ＞0，cos θ＞0，但当θ＝时，sin θ＝cos θ＞0表示圆，故A错误；当θ＝时，cos θ＝0，方程无意义，所以不表示任何图形，故B正确；当＜θ＜π时，sin θ＞0，cos θ＜0，所以不论＜θ＜还是＜θ＜π时，方程表示焦点在x轴上的双曲线，所以C正确，D错误，故选BC.

10. B解析：设|PF1|＝d1，|PF2|＝d2，则d1＋d2＝2， ①           |d1－d2|＝2，                            ②

①2＋②2得d＋d＝18.①2－②2得2d1d2＝6.而c＝2，∴cos∠F1PF2＝＝＝.

11.C解析：由⇒(|PF1|－|PF2|)2＝16，即2a＝4，解得a＝2，又c＝，所以b＝1。

12.C 解析：原方程可化为－＝1.∵k>1，∴k2－1>0，1＋k>0.∴已知方程表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线.

13.A 解析：如图所示：设，

则，且有，，，

∴，

∵，∴，则，

，

即的中点M的轨迹方程为：.故选：A.

14.9解析：由双曲线定义可知：，，

由已知，因为，所以点在以为直径的圆上，

即是以P为直角顶点的直角三角形，故，

即，又，

所以，

解得:，所以，故答案为：9

15.  解析：圆的方程为，圆心为，半径．

设动圆圆心为，

动圆与圆内切于点，，

的轨迹是以、为焦点的双曲线的左支，其中，得，

而，，故所求轨迹方程为．

故答案为：

16. 解：(1)椭圆方程可化为＋＝1，焦点在x轴上，且c＝＝，故设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则有解得a2＝3，b2＝2，所以双曲线的标准方程为－＝1.

(2)不妨设M点在右支上，则有|MF1|－|MF2|＝2，又|MF1|＋|MF2|＝6，故解得|MF1|＝4，|MF2|＝2，又|F1F2|＝2，因此在△MF1F2中，|MF1|最长，而cos∠MF2F1＝<0，

所以∠MF2F1为钝角.故△MF1F2为钝角三角形.