数学人教A版 (2019)3.2 双曲线第2课时学案及答案

3.2.2　第2课时 直线与双曲线的位置关系

【学习目标】

【经典例题】

题型一  直线与双曲线的位置关系

点拨：直线与双曲线位置关系的判定方法

通常把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，

1.在a≠0的情况下考查方程的判别式．

①Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点．

②Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点．

③Δ<0时，直线与双曲线没有公共点．

2.当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点．

注意：与双曲线只有一个公共点的直线有两种：一种是与渐近线平行且与双曲线交于一点的直线；另一种是与双曲线相切的直线．　　　　

例1 已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，在下列条件下，求实数k的取值范围．

(1)直线l与双曲线有两个公共点；

(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；

(3)直线l与双曲线没有公共点．

【跟踪训练】1若双曲线－＝1(a>0，b>0)与直线y＝2x无交点，则离心率e的取值范围是(　　)

A．(1，2)　　　　B．(1，2]     C．(1，)       D．(1，]

题型二 弦长问题

点拨：求弦长的两种方法

1.距离公式法：当弦的两端点坐标易求时，可直接求出交点坐标，再利用两点间距离公式求弦长．

2.弦长公式法：当弦的两端点坐标不易求时，可利用弦长公式求解，即若直线l：y＝kx＋b(k≠0)与双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，

则|AB|＝·＝·|x1－x2|或

|AB|＝·＝·|y1－y2|.

注意：当直线经过双曲线的焦点且斜率不存在时，不能利用弦长公式求解，此时的弦是双曲线的通径，可以直接利用通径公式求解．　　　

例2 已知双曲线焦距为4，焦点在x轴上，且过点P(2,3)．

(1)求该双曲线的标准方程；

(2)若直线m经过该双曲线的右焦点且斜率为1，求直线m被双曲线截得的弦长．

【跟踪训练】2 斜率为2的直线l与双曲线－＝1相交于A，B两点，且|AB|＝4，则直线l的方程为________．

题型三 中点弦问题

点拨：中点弦问题解决方法

方法1：可以将联立方程组消元后，用判别式和中点坐标公式求解；

方法2：可以用点差法和中点坐标公式求解．

设A(x1，y1)，B(x2，y2)是双曲线－＝1(a>0，b>0)上不同的两点，且x1≠x2，x1＋x2≠0，M(x0，y0)为线段AB的中点，则两式相减可得·＝，

即kAB·＝.

例3 过点P(8,1)的直线与双曲线x2－4y2＝4相交于A、B两点，且P是线段AB的中点，则直线AB的方程为             ．

【跟踪训练】3 已知直线l：x－y＋m＝0与双曲线x2－＝1交于不同的两点A，B，若线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，则实数m的值是________．

【当堂达标】

1.过双曲线x2－＝1的右焦点F作直线l交双曲线于A、B两点，若|AB|＝4，则这样的直线l有(　 　)

A．1条            B．2条        C．3条     D．4条

2.过双曲线x2－＝1的左焦点F1，作倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则|AB|＝________.

3.若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，求实数k的取值范围．

4.过点P(，5)且与双曲线－＝1有且只有一个公共点的直线有几条？分别求出它们的方程.

5.已知双曲线－y2＝1，求过点A (3，－1)且被点A平分的弦MN所在直线的方程．

6.已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1.

(1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；

(2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值．

【参考答案】

【经典例题】

例1 联立消去y得，(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0(*)

(1)当1－k2＝0，即k＝±1时，直线l与双曲线渐近线平行，方程化为2x＝5，故此方程(*)只有一个实数解，即直线与双曲线相交，且只有一个公共点．

(2)当1－k2≠0，即k≠±1时，Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2)．

①即－＜k＜，且k≠±1时，方程(*)有两个不同的实数解，即直线与双曲线有两个公共点．

②即k＝±时，方程(*)有两个相同的实数解，即直线与双曲线有且仅有一个公共点．

③即k＜－，或k＞时，方程(*)无实数解，即直线与双曲线无公共点．

综上所述，当－＜k＜－1，或－1＜k＜1，或1＜k＜时，直线与双曲线有两个公共点；当k＝±1，或k＝±时，直线与双曲线有且只有一个公共点；当k＜－，或k＞时，直线与双曲线没有公共点．

【跟踪训练】1  D 解析：由题意可得，≤2，所以e＝≤.又e>1，所以离心率e的取值范围是(1，].

例2 解：(1)设双曲线方程为－＝1(a，b>0)，

由已知可得左、右焦点F1，F2的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，则|PF1|－|PF2|＝2＝2a，所以a＝1，

又c＝2，所以b＝，所以双曲线方程为x2－＝1.

(2)题意可知直线m的方程为y＝x－2，联立双曲线及直线方程消去y得2x2＋4x－7＝0，

设两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝－2，x1x2＝－，由弦长公式得

|AB|＝·＝·|x1－x2|＝6.

【跟踪训练】2  y＝2x± 解析：设直线l的方程为y＝2x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．

把y＝2x＋m代入双曲线的方程2x2－3y2－6＝0，

得10x2＋12mx＋3m2＋6＝0.

故x1＋x2＝－m，①

x1x2＝.②

由已知，得|AB|2＝(1＋4)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝16.③

把①②代入③，解得m＝±.

∴直线l的方程为y＝2x±.

例3  2x－y－15＝0  解：设A、B坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则

x－4y＝4，①

x－4y＝4，②

①－②得(x1＋x2)(x1－x2)－4(y1＋y2)(y1－y2)＝0，

∵P是线段AB的中点，

∴x1＋x2＝16，y1＋y2＝2，

∴＝＝2．

∴直线AB的斜率为2，

∴直线AB的方程为2x－y－15＝0．

【跟踪训练】3  ±1 解析：由消去y得x2－2mx－m2－2＝0.

则Δ＝4m2＋4m2＋8＝8m2＋8>0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1＋x2＝2m，y1＋y2＝x1＋x2＋2m＝4m，

所以线段AB的中点坐标为(m，2m)．

又点(m，2m)在x2＋y2＝5上，

所以m2＋(2m)2＝5，得m＝±1.

【当堂达标】

1.C 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝，由得y＝±2，

∴|AB|＝|y1－y2|＝4满足题意．当直线l的斜率存在时，其方程为y＝k(x－)，由得(2－k2)x2＋2k2x－3k2－2＝0．

当2－k2≠0时，x1＋x2＝，x1x2＝，

|AB|＝＝＝＝＝4，

解得k＝±，故这样的直线有3条．

2. 3 解析：双曲线的左焦点为(－2,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB方程为y＝(x＋2)，即x－y＋2＝0，由得8y2－12y＋9＝0，则y1＋y2＝，y1y2＝.

∴|AB|＝·＝＝3.

3. 解：易知k≠±2，将y＝kx代入4x2－y2＝16得关于x的一元二次方程(4－k2)x2－16＝0，由Δ>0可得－2<k<2.

4.解：若直线的斜率不存在，则直线方程为x＝，此时仅有一个交点(，0)，满足条件．

若直线的斜率存在，设直线的方程为y－5＝k(x－)，则y＝kx＋5－k，代入到双曲线方程，得

－＝1，所以25x2－7(kx＋5－k)2＝7×25，(25－7k2)x2－7×2kx(5－k)－7(5－k)2－7×25＝0.

当k＝时，方程无解，不满足条件．

当k＝－时，方程2×5x×10＝875有一解，满足条件．

当k≠±时，令Δ＝[14k(5－k)]2－4(25－7k2)·[－7(5－k)2－175]＝0，化简后知方程无解，所以不满足条件．

所以满足条件的直线有两条，直线方程分别为x＝和y＝－x＋10.

5.解：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∵M，N均在双曲线上，

∴两式相减，得＝y－y，

∴＝.

∵点A平分弦MN，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝－2.

∴kMN＝＝＝－.

经验证，该直线MN存在．

∴所求直线MN的方程为y＋1＝－(x－3)，即3x＋4y－5＝0.

6.解：(1)联立方程组消去y并整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.

∵直线与双曲线有两个不同的交点，则解得－＜k＜，且k≠±1.∴若l与C有两个不同交点，实数k的取值范围为(－，－1)∪(－1,1)∪(1，)．

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，对于(1)中的方程(1－k2)x2＋2kx－2＝0，

由根与系数的关系，得x1＋x2＝－，x1x2＝－，

∴|AB|＝|x1－x2|＝·＝.

又∵点O(0,0)到直线y＝kx－1的距离d＝，

∴S△AOB＝·|AB|·d＝＝，即2k4－3k2＝0，解得k＝0或k＝±.

∴实数k的值为±或0.