人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线练习

3.2.2  双曲线的简单几何性质

 基 础 练                                                                                 

巩固新知    夯实基础

1.(多选)关于双曲线C1：4x2－9y2＝－36与双曲线C2：4x2－9y2＝36的说法正确的是(　　)

A．有相同的焦点                     B．有相同的焦距

C．有相同的离心率                   D．有相同的渐近线

2.双曲线3x2－y2＝3的渐近线方程是(　　)

A.y＝±3x   B.y＝±x C.y＝±x   D.y＝±x

3.若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则实数k的取值范围为(　　)

A．(－2，2)       B．[－2，2)         C．(－2，2]       D．[－2，2]

4．已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝(　　)

A．              B．3             C．2            D．4

5.已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，与直线y＝x交于A，B两点，若|AB|＝2，则该双曲线的方程为(　　)

A．x2－y2＝6  B．x2－y2＝9

C．x2－y2＝16  D．x2－y2＝25

6．若双曲线x2－＝1的离心率为，则实数m＝________，渐近线方程是________．

7.已知双曲线x2－＝1，过点P(1,1)的直线l与双曲线只有一个公共点，求直线l的斜率k的值．

8.已知双曲线的一条渐近线为x＋y＝0，且与椭圆x2＋4y2＝64有相同的焦距，求双曲线的标准方程.

 能 力 练                                                                                

综合应用   核心素养

9.若实数k满足0＜k＜5，则曲线－＝1与曲线－＝1的(　　)

A．实半轴长相等       B．虚半轴相等          C．离心率相等          D．焦距相等

10．（多选）14．设，分别是双曲线的左右焦点，过作轴的垂线与C交于A，B两点，若为正三角形，则（    ）

A． B．C的焦距为

C．C的离心率为 D．的面积为

11．若a>1，则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是(　　)

A．(，＋∞)          B．(，2)              C．(1，)          D．(1,2)

12.已知F是双曲线C：－＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点.若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为(　　)

A.   B.   C.   D.

13.过双曲线－＝1的右焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，F1是左焦点，若∠PF1Q＝90°，则双曲线的离心率是(　　)

A．                  B．1＋              C．2＋              D．3－

14.已知椭圆＋＝1与双曲线－y2＝1的公共焦点为左焦点F1，右焦点F2，点P是两条曲线在第一象限内的一个公共点，则|PF1|＝________，cos∠F1PF2的值为________．

15.直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A，B两点．

(1)求线段AB的长；

(2)当a为何值时，以AB为直径的圆经过坐标原点？

16.设双曲线C：－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A，B.

(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；

(2)设直线l与y轴的交点为P，且＝，求a的值．

【参考答案】

1.BD解析：两方程均化为标准方程为－＝1和－＝1，这里均有c2＝4＋9＝13，所以有相同的焦距，而焦点一个在x轴上，另一个在y轴上，所以A错误，B正确；又两方程的渐近线均为y＝±x，故D正确．C1的离心率e＝，C2的离心率e＝，故C错误．

2. C 解析：双曲线方程可化为标准形式为－＝1，∴a＝1，b＝，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.

3.A 解析：易知k≠±2，将y＝kx代入4x2－y2＝16得关于x的一元二次方程(4－k2)x2－16＝0，由Δ>0可得－2<k<2.

4. B　解析：根据题意，可知其渐近线的斜率为±，且右焦点为F(2,0)，从而得到∠FON＝30°，所以直线MN的倾斜角为60°或120°，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60°，可以得出直线MN的方程为y＝(x－2)，分别与两条渐近线y＝x和y＝－x联立，求得M(3，) ，N，

所以|MN|＝＝3.

5.B解析：设等轴双曲线的方程为x2－y2＝a2(a>0)，与y＝x联立，得x2＝a2，∴|AB|＝×a＝2，∴a＝3，故选B.

6. 2　y＝±x　解析：a2＝1，b2＝m，e2＝＝＝1＋m＝3，m＝2.渐近线方程是y＝±x＝±x.

7.解：直线l斜率不存在时，l：x＝1与双曲线相切，符合题意；

直线l斜率存在时，设l方程为y＝k(x－1)＋1，代入双曲线方程，

得(4－k2)x2－(2k－2k2)x－k2＋2k－5＝0，

当4－k2＝0时，k＝±2，即l与双曲线的渐近线平行时，l与双曲线只有一个公共点；

当4－k2≠0时，令Δ＝0，所以k＝．

综上，k＝或k＝±2．

8.解　椭圆方程为＋＝1，可知椭圆的焦距为8.

①当双曲线的焦点在x轴上时，

设双曲线方程为－＝1 (a>0，b>0)，∴解得∴双曲线的标准方程为－＝1；

②当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线方程为－＝1 (a>0，b>0)，

∴　解得∴双曲线的标准方程为－＝1.

由①②可知双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.

9. D 解析：由于16＋(5－k)＝(16－k)＋5，所以焦距相等．

10.ACD 解析：设，则，，离心率，选项C正确.

因此，，选项A正确.，选项B错误.的面积为，选项D正确.故选：ACD.

11. C解析：由题意得双曲线的离心率e＝.即e2＝＝1＋.

∵a＞1，∴0＜＜1，∴1＜1＋＜2，∴1＜e＜.故选C.

12. B 解析：由F是双曲线－＝1的一个焦点，知|OF|＝3，所以|OP|＝|OF|＝3.

不妨设点P在第一象限，P(x0，y0)，x0>0，y0>0，则解得所以P，

所以S△OPF＝|OF|·y0＝×3×＝.

13.B解析：因为|PF2|＝|F2F1|, P点满足－＝1，∴y＝，

∴2c＝，即2ac＝b2＝c2－a2，∴2＝e－，又e＞0，故e＝1＋.

14.＋　　解析：因为F1，F2分别为左、右焦点，点P在第一象限，由椭圆与双曲线的定义可得解得又|F1F2|＝4，所以由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝.

15.解：由得(3－a2)x2－2ax－2＝0.

由题意可得3－a2≠0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.

(1)|AB|＝

＝

＝＝.

(2)记坐标原点为O，由题意知，OA⊥OB，则·＝0，即x1x2＋y1y2＝0，

∴x1x2＋(ax1＋1)(ax2＋1)＝0.

即(1＋a2)x1x2＋a(x1＋x2)＋1＝0，

∴(1＋a2)·＋a·＋1＝0，

解得a＝±1.

经检验，a＝±1时，以AB为直径的圆经过坐标原点．

16.解：　(1)将y＝－x＋1代入双曲线方程－y2＝1中得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0，①

∴解得0<a<且a≠1.

又双曲线的离心率e＝＝，

∴e>且e≠.

即e的取值范围为.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知P(0，1)．

∵＝，∴(x1，y1－1)＝(x2，y2－1)．

由此得x1＝x2，

由于x1，x2都是方程①的根，且1－a2≠0，

∴x2＝－，x＝－.

消去x2，得－＝，由a>0得a＝.