选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.3 抛物线第1课时导学案

3.3.2  第1课时  抛物线的简单几何性质

【学习目标】

【自主学习】

一．抛物线的几何性质

二．直线与抛物线的位置关系

直线与抛物线有三种位置关系：    、    和     ．

设直线y＝kx＋m与抛物线y2＝2px(p＞0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，将y＝kx＋m代入y2＝2px，消去y并化简，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0. 交点个数即二次方程解的个数．

①k＝0时，直线与抛物线的轴           ，此时直线与抛物线有    个公共点；

②k≠0时，Δ＞0⇔直线与抛物线   ⇔有   公共点．

Δ＝0⇔直线与抛物线   ⇔只有    公共点．

Δ＜0⇔直线与抛物线    ⇔    公共点．

三．弦长问题

1.抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为2p．

2.抛物线的焦点弦

过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的一条直线与它交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

(1)y1y2＝     ，x1x2＝     ；

(2)|AB|＝             ；

(3)＋＝      ．

【小试牛刀】

1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)抛物线关于顶点对称．(　 　)

(2)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心．(　 　)

(3)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同．(　 　)

(4)抛物线y2＝2px过焦点且垂直于对称轴的弦长是2p．(　 　)

(5)抛物线y＝－x2的准线方程为x＝．(　 　)

2.顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为(　　)

A．x2＝±3y　　　　　B．y2＝±6x      C．x2＝±12y      D．y2＝±12x

【经典例题】

题型一  直线与抛物线的位置关系

点拨：直线与抛物线交点问题的解题思路

1.判断直线与抛物线的交点个数时，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0.若该方程为一元二次方程，则利用判别式判断方程解的个数．

2.直线与抛物线有一个公共点时有两种情形：①直线与抛物线的对称轴重合或平行；②直线与抛物线相切．

例1　已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点．

【跟踪训练】1  直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________．

题型二 抛物线弦长问题

点拨：抛物线弦长的求解思路

当直线的斜率k存在且k≠0时，弦长公式为|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|；当直线的斜率k＝0时，只有抛物线的对称轴是y轴时弦长存在，弦长公式为|AB|＝|x1－x2|；当直线的斜率k不存在时，只有抛物线的对称轴是x轴时弦长存在，弦长公式为|AB|＝|y1－y2|.

注意：解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦的长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解．　　

例2 斜率为2的直线经过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长．

【跟踪训练】2 已知抛物线的顶点在原点，x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为的直线l被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线的标准方程．

题型三　抛物线中点弦问题

点拨：解决中点弦问题的基本方法是点差法、利用根与系数的关系，直线与抛物线的方程联立时消y有时更简捷，此类问题还要注意斜率不存在的情况，避免漏解．

一般地，已知抛物线y2＝2px(p>0)上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)及AB的中点P(x0，y0)，则kAB＝.

例3 已知A、B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为(1,0)，线段AB恰被M(2,1)所平分．

(1)求抛物线E的标准方程；

(2)求直线AB的方程．

【跟踪训练】3　过点Q(4，1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被点Q所平分，则弦AB所在直线的方程为________．

【当堂达标】

1.(多选)已知抛物线C：x2＝2py，若直线y＝2x被抛物线所截弦长为4，则抛物线C的方程为（    ）

A．x2＝4y        B．x2＝－4y   C．x2＝2y D．x2＝－2y

2.若抛物线y2＝2x上有两点A、B且AB垂直于x轴，若|AB|＝2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为(　　)

A．　　　　     B．         C．      D．

3.设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标是(　　)

A．(2，±2)     B．(1，±2)    C．(1,2)      D．(2,2)

4.过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|AB|＝________.

5.若直线l：y＝(a＋1)x－1与曲线C：y2＝ax恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合．

6.已知抛物线x＝－y2与过点(－1,0)且斜率为k的直线相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积等于时，求k的值．

7.已知y＝x＋m与抛物线y2＝8x交于A，B两点．

(1)若|AB|＝10，求实数m的值；

(2)若OA⊥OB，求实数m的值．

【参考答案】

【自主学习】

一.x＝－  x＝   y＝－   y＝   x轴  y轴  (0,0)  1  x1＋x2＋p 

二．相离 相切 相交  平行或重合 一个 相交 两个  相切 一个   相离  没有

三．－p2       x1＋x2＋p     

【小试牛刀】

1.×  √   √  √  ×

2 .C 解析：可设抛物线方程为x2＝2py(p＞0)或x2＝－2py(p＞0)，依题意知＝3，

∴p＝6.∴抛物线方程为x2＝±12y.

【经典例题】

例1 解：联立消去y，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*)

当k＝0时，(*)式只有一个解x＝，∴y＝1，∴直线l与C只有一个公共点，此时直线l平行于x轴．

当k≠0时，(*)式是一个一元二次方程，Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k)．

①当Δ>0，即k<1，且k≠0时，

l与C有两个公共点，此时直线l与C相交；

②当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切；

③当Δ<0，即k>1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离．

综上所述，当k＝1或0时，l与C有一个公共点；

当k<1，且k≠0时，l与C有两个公共点；

当k>1时，l与C没有公共点．

【跟踪训练】1  0或1 解析：当k＝0时，直线与抛物线有唯一交点．

当k≠0时，联立方程消去y，得k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，由题意Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，

解得k＝1.

例2 解：如图，由抛物线的标准方程可知，焦点F(1,0)，准线方程x＝－1．

由题设，直线AB的方程为：y＝2x－2．

代入抛物线方程y2＝4x，整理得：x2－3x＋1＝0．

设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由抛物线定义可知，|AF|等于点A到准线x＝－1的距离|AA′|，

即|AF|＝|AA′|＝x1＋1，同理|BF|＝x2＋1，

∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝3＋2＝5．

【跟踪训练】2 解：当抛物线焦点在x轴正半轴上时，可设抛物线标准方程为y2＝2px(p＞0)，则焦点F，直线l的方程为y＝x－.设直线l与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，过点A，B向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点A1，点B1，则|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA1|＋|BB1|＝＋＝x1＋x2＋p＝6，

∴x1＋x2＝6－p.①

由消去y，得＝2px，即x2－3px＋＝0.

∴x1＋x2＝3p，代入①式得3p＝6－p，∴p＝.

∴所求抛物线的标准方程是y2＝3x.

当抛物线焦点在x轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是y2＝－3x.

例3 解： (1)由于抛物线的焦点为(1,0)，所以＝1，p＝2，所求抛物线方程为y2＝4x．

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则y＝4x1　①，y＝4x2　②，

且x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，

由②－①得(y1＋y2)(y2－y1)＝4(x2－x1)，所以＝2，

所以所求直线AB的方程为y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0．

【跟踪训练】3  4x－y－15＝0

解：法一：由题意知，当AB垂直于x轴时，不满足题意，故弦AB所在的直线的斜率存在，设该直线的斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦AB所在直线的方程为y＝k(x－4)＋1(k≠0)．

由消去x，得ky2－8y－32k＋8＝0，则y1＋y2＝.

又y1＋y2＝2，所以＝2，解得k＝4.

故所求弦AB所在直线的方程为4x－y－15＝0.

法二：由题意知，当AB垂直于x轴时，不满足题意，故弦AB所在的直线的斜率存在．

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y＝8x1，　①

y＝8x2，②

且x1＋x2＝8，y1＋y2＝2，③

①－②，得(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)，④

将③代入④，得y1－y2＝4(x1－x2)，即4＝，则弦AB所在直线的斜率为4.

故所求弦AB所在直线的方程为y－1＝4(x－4)，即4x－y－15＝0.

【当堂达标】

1.CD 解析：由，解得：或，则交点坐标为(0,0)，(4p,8p)，

则，解得：， 则抛物线的方程，故选：CD．

2.A 解析：线段AB所在的直线方程为x＝1，抛物线的焦点坐标为，则焦点到直线AB的距离为1－＝.

3.B 解析：由题意知F(1,0)，设A，则＝，＝，由·＝－4得y0＝±2，∴点A的坐标为(1，±2)，故选B.

4. 8 解析：因为直线AB过焦点F(1,0)，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.

5.解：因为直线l与曲线C恰好有一个公共点，所以方程组有唯一一组实数解，消去y，得[(a＋1)x－1]2＝ax，整理得(a＋1)2x2－(3a＋2)x＋1＝0，①

(1)当a＋1＝0，即a＝－1时，方程①是关于x的一元一次方程，解得x＝－1，这时，原方程组有唯一解

(2)当a＋1≠0，即a≠－1时，方程①是关于x的一元二次方程．

令Δ＝[－(3a＋2)]2－4(a＋1)2＝a(5a＋4)＝0，解得a＝0或a＝－．

当a＝0时，原方程组有唯一解

当a＝－时，原方程组有唯一解

综上实数a的取值集合是．

6.解： 过点(－1,0)且斜率为k的直线方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，

由方程组消去x整理得ky2＋y－k＝0，Δ＝1＋4k2>0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数之间的关系得y1＋y2＝－，y1·y2＝－1.

设直线与x轴交于点N，显然N点的坐标为(－1,0)．

∵S△OAB＝S△OAN＋S△OBN＝|ON||y1|＋|ON||y2|＝|ON||y1－y2|，

∴S△AOB＝×1×＝×＝，

解得k＝±.

7.解： 由得x2＋(2m－8)x＋m2＝0.

由Δ＝(2m－8)2－4m2＝64－32m>0，得m<2.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8－2m，x1x2＝m2，y1y2＝m(x1＋x2)＋x1x2＋m2＝8m.

(1)因为|AB|＝＝·＝10，所以m＝，经检验符合题意．

(2)因为OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝m2＋8m＝0，解得m＝－8或m＝0(舍去)．

所以m＝－8，经检验符合题意．