人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.3 空间向量及其运算的坐标表示导学案

1.3 空间向量及其运算的坐标表示

1.3.1  空间直角坐标系

【学习目标】

【自主学习】

一．空间直角坐标系

1.空间直角坐标系及相关概念

(1)单位正交基底：

三个有公共起点O的        的单位向量i，j，k称为            ．

(2)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：                  ．它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个                   ．

(3)相关概念：     叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过             的平面叫做坐标平面，分别称为      平面、      平面、      平面，它们把空间分成八个部分．

2.右手直角坐标系

在空间直角坐标系中，让右手拇指指向      的正方向，食指指向      的正方向，如果中指指向       的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．

思考1：空间直角坐标系有什么作用？

二．空间一点的坐标

1.在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标单位向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk．在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的                 叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作           ，其中     叫做点A的横坐标，     叫做点A的纵坐标．      叫做点A的竖坐标．

2.空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标的特点：

3.在空间直角坐标系中，点对称问题

对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．

(1)点（a，b，c）关于原点O对称点为          ；

(2)关于x轴对称点为          ；

(3)关于y轴对称点为          ；

(4)关于z轴对称点为          ；

(5)关于Oxy平面对称点为          ；

(6)关于Oyz平面对称点为          ；

(7)关于Ozx平面对称点为          .

思考2：在给定的空间直角坐标系下，空间任意一点是否与有序实数组(x，y，z)之间存在唯一的对应关系？为什么？

三．空间向量的坐标

在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a．由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk．有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作          ．

【小试牛刀】

1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)只要空间的三个向量的模为1，那么它们就能构成空间的一个单位正交基底．(　　)

(2)四边形ABCD是平行四边形，则向量与的坐标相同．(    )

(3)已知a＝(x1，y1，z1)，若x1＝y1＝z1＝1，则a为单位向量．(　　)

(4)点A(－1，2，1)在x轴上的射影是(－1，0，0).(　 　)

2.若向量i，j，k为空间直角坐标系上对应x轴，y轴，z轴正方向上的单位向量，且设a＝2i－j＋3k，则向量a的坐标为______．

【经典例题】

题型一  空间中点的坐标表示　　　　　　　　　　　　　　　　　　

点拨：建系确定点的坐标的原则

(1)建立空间直角坐标系时应遵循以下原则：

①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；②充分利用几何图形的对称性．

(2)求某点的坐标时，一般先找这一点在坐标轴(坐标平面)的射影，确定坐标轴(坐标平面)点的坐标，再找出它在另两个轴上的射影，确定点的坐标．

例1 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝3，AB＝5，AA1＝4，建立适当的坐标系写出此长方体各顶点的坐标．

【跟踪训练】1已知关于轴的对称点是，则的值为（          ）

A． B．

C． D．

题型二　空间向量的坐标表示

点拨：用坐标表示空间向量的步骤如下：

例2 在直三棱柱ABO－A1B1O1中，∠AOB＝，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D为A1B1的中点，建立适当的空间直角坐标系，求，的坐标．

【跟踪训练】2 如图在边长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，取D点为原点建立空间直角坐标系，O，M分别是AC，DD1的中点，写出下列向量的坐标.＝________，＝________.

【当堂达标】

1.在空间直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（       ）

A． B． C． D．

2.在空间直角坐标系中，已知点，则线般的中点坐标是（       ）

A．       B．        C．        D．

3.已知点，，C为线段AB上一点，且，则点C的坐标为______．

4.已知点，，求向量的坐标．

5.已知三棱锥中，平面ABC，，若，，，建立空间直角坐标系.

(1)求各顶点的坐标；

(2)若点Q是PC的中点，求点Q坐标；

(3)若点M在线段PC上移动，写出点M坐标.

【参考答案】

【自主学习】

一．1.(1)两两垂直   单位正交基底．

(2) x轴  y轴  z轴  空间直角坐标系Oxyz

(3) O  每两个坐标轴  Oxy  Oyz  Ozx

2. x轴  y轴  z轴 

思考1：可以通过空间直角坐标系将空间点、直线、平面数量化，将空间位置关系解析化．

二．空间一点的坐标

1. 有序实数组(x，y，z)   A(x，y，z)  x  y  z 

2.  (x,0,0)  (0,y,0)  (0,0,z)  (x,y,0)  (0,y,z)  (x,0,z)

3.(1)（－a,－b,－c）；(2)（a,－b,－c）；(3)（－a,b,－c）；(4)（－a,－b,c）；

(5)（a,b,－c）；(6)（－a,b,c）；(7)（a,－b,c）.

思考2：是．在给定的空间直角坐标系下，给定一点其坐标是唯一的有序实数组(x，y，z)；反之，给定一个有序实数组(x，y，z)，空间也有唯一的点与之对应．

三．a＝(x，y，z)

【小试牛刀】

1.（1）× （2）√  （3）×（4）√

2. (2，－1，3) 解析：由向量的单位正交基底表示已知向量a的坐标为(2，－1，3).

【经典例题】

例1 解：如图，以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系Oxyz．所以D(0,0,0)．

因为长方体的棱长AD＝3，DC＝AB＝5，DD1＝AA1＝4，

可得A(3，0,0)，C(0,5,0)，D1(0,0,4)，B (3,5,0)，A1(3,0,4)，C1(0,5,4)，B(3,5,0)，D1(0,0,4)，B1 (3,5,4)．

【跟踪训练】1  D 解析：由题意得：，解得：.

例2 解：

由已知AO⊥OB，O1O⊥OA，O1O⊥OB，从而建立以，，方向上的单位向量i，j，k为正交基底的空间直角坐标系Oxyz，如图，则＝4i，＝2j，＝4k，

＝－＝－(＋)

＝－

＝－－－＝－2i－j－4k，

故的坐标为(－2，－1，－4)．

＝－＝－(＋)＝－－＝－4i＋2j－4k，

故的坐标为(－4,2，－4)．

即＝(－2，－1，－4)，＝(－4,2，－4)．

【跟踪训练】2　(－2,0,1)　(1,1,2) 解析：∵A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(1,1,0)，B1(2,2,2)，

∴＝(0,0,1)－(2,0,0)＝(－2,0,1)，＝(1,1,2)．

【当堂达标】

1.D 解析：若关于原点对称的点的坐标为，

∴的中点为，由中点坐标公式可得：，

∴.

2.A 解析：设线般的中点坐标为，

由可得，

所以可得，所以线般的中点坐标是.

3. 解析：设，因为，，，

所以，解得，，，所以点C的坐标为．

4.解：

5.解：(1)在三棱锥中，平面ABC，，则射线两两垂直，

以点A为原点，射线分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，

所以，，，.

(2)由（1）知，点Q是PC中点，则.

(3)由（1）知，点M在线段PC上移动，则点M的横坐标为0，设其纵坐标为t，

其竖坐标z，当M与A不重合时，，当M与A重合时，z=3满足上式，因此，

所以点.