人教A版 (2019)选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.4 空间向量的应用第2课时一课一练

1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系

第2课时 空间向量与垂直关系

 基 础 练                                                                                 

巩固新知    夯实基础

1.已知平面α的法向量n＝(1，2，－2)，平面β的法向量m＝(－2，3，k)，若α⊥β，则k的值为(　　)

A．2            B．4         C．1         D．

2.若a＝(2，－1,0)，b＝(3，－4,7)，且(λa＋b)⊥a，则λ的值是(　　)

A．0            B．1          C．－2       D．2

3.(多选)在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD­A1B1C1D1是棱长为1的正方体，给出下列结论中，正确的是(　　)

A．平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)

B．平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)

C．平面B1CD1的一个法向量为(1,1,1)

D．平面ABC1D1的一个法向量为(0,1,1)

4.（多选）在菱形ABCD中，若是平面ABCD的法向量，则以下等式中一定成立的是(　　)

A．⊥    B．⊥     C．⊥     D．⊥

5.已知直线的一个方向向量，平面的一个法向量，若，则_____,___．

6.下列命题中：

①若u，v分别是平面α，β的法向量且α⊥β⇔u·v＝0；

②若u是平面α的法向量且向量a与α共面，则u·a＝0；

③若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．

正确命题的序号是________．

7.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2，E，F分别是AD，PC的中点．证明：PC⊥平面BEF.

8.在四面体A－BCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E、F分别是AC、AD的中点．判断平面BEF与平面ABC是否垂直．

能 力 练                                                                                

综合应用   核心素养

9.在菱形ABCD中，若是平面ABCD的法向量，则下列等式中可能不成立的是(　　)

A.⊥        B.⊥       C.⊥        D.⊥

10.已知直线l1的方向向量a＝(2,4，x)，直线l2的方向向量b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值是(　　)

A．－3或1      B．3或－1      C．－3       D．1

11.已知A(－1,1,2)，B(1,0，－1)，设D在直线AB上，且＝2，设C，若CD⊥AB，则λ的值为(　　)

A．        B．－        C．       D．

12.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则(　　)

A．EF至多与A1D，AC之一垂直

B．EF⊥A1D，EF⊥AC

C．EF与BD1相交

D．EF与BD1异面

13.（多选）已知点A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，点D满足条件：DB⊥AC，DC⊥AB，AD＝BC，则点D的坐标可以为(　　)

A．(1，1，1)     B．(－1，－1，－1)    C．     D．

14.(多选)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1，2，－1)．对于下列结论正确的有(　　)

A．AP⊥AB      B．AP⊥AD      C．是平面ABCD的法向量    D．∥

15.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝a，则MN与平面BB1C1C的位置关系是________．

16.如图，在四棱锥P­ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点．

(1)求证：EF⊥CD.

(2)已知点G在平面PAD内，且GF⊥平面PCB，试确定点G的位置．

【参考答案】

1.A 解析：由题意，得m·n＝0，所以－2＋6－2k＝0，得k＝2.

2.C 解析　λa＋b＝λ(2，－1,0)＋(3，－4,7)＝(3＋2λ，－4－λ，7)．∵(λa＋b)⊥a，∴2(3＋2λ)＋4＋λ＝0，即λ＝－2.

3.AC解析 ∵＝(0,1,0)，AB⊥AD，AA1⊥AD，又AB∩AA1＝A，∴AD⊥平面ABB1A1，∴A正确；∵＝(－1，0,0)，而(1,1,1)·＝－1≠0，∴(1,1,1)不是平面B1CD的法向量，∴B不正确；C中易证AC1⊥面B1CD1且＝(1,1,1)，∴C正确，D中，因＝(1,0,0)，∴·(0,1,1)＝0，又＝(0,1,1)，且(0,1,1)·(0,1,1)≠0，∴D不正确．

4.ABC 解析 由题意知⊥平面ABCD，所以与平面上的线AB，CD都垂直，A，B正确；

又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线BD⊥平面PAC，故⊥，C选项正确．

只有D选项不一定成立．

5.-6    -10   解析：，∴，且，，，解得，.

故答案为：①；②.

6.①②③ 解析　两平面垂直则它们的法向量垂直，反之亦然．

7.证明　如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．

∵AP＝AB＝2，BC＝AD＝2，四边形ABCD是矩形，

∴A，B，C，D，P的坐标分别为A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)．又E，F分别是AD，PC的中点，

∴E(0，，0)，F(1，，1)．∴＝(2，2，－2)，＝(－1，，1)，＝(1，0，1)．

∴·＝－2＋4－2＝0，·＝2＋0－2＝0.∴⊥，⊥.

∴PC⊥BF，PC⊥EF.又BF∩EF＝F，∴PC⊥平面BEF.

8.解：

建立如图所示坐标系Bxyz，取A(0,0，a)，则易得

B(0,0,0)，C，D(0，a,0)，E，F，

则有＝，

＝(0,0，a)、＝．

∵·＝0，·＝0，

∴EF⊥AB，EF⊥BC．

又∵AB∩BC＝B，∴EF⊥平面ABC．

又∵EF⊂平面BEF，∴平面ABC⊥平面BEF．

9. D 解析 由题意知PA⊥平面ABCD，所以PA与平面上的线AB、CD都垂直，A，B正确；

又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线BD⊥平面PAC，故PC⊥BD，C正确．

10.A 解析　∵|a|＝＝6，∴x＝±4，又∵a⊥b，∴a·b＝2×2＋4y＋2x＝0，

∴y＝－1－x，∴当x＝4时，y＝－3，当x＝－4时，y＝1，∴x＋y＝1或－3.

11.B 解析 设D(x，y，z)，则＝(x＋1，y－1，z－2)，＝(2，－1，－3)，＝(1－x，－y，－1－z)，

∵＝2，∴∴∴D，＝，

∵⊥，∴·＝2＋λ－3(－1－λ)＝0，∴λ＝－.]

12.B解析　建立以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴的空间直角坐标系(图略)，不妨设正方体的棱长为1，则＝(1,0,1)，＝(0,1,0)－(1,0,0)＝(－1,1,0)，E，F，＝，∴·＝0，·＝0，∴EF⊥A1D，EF⊥AC.

13.AD 解析 设D(x，y，z)，则＝(x，y－1，z)，＝(x，y，z－1)，＝(x－1，y，z)，＝(－1，0，1)，＝(－1，1，0)，＝(0，－1，1).又DB⊥AC⇔－x＋z＝0　①，DC⊥AB⇔－x＋y＝0　②，

AD＝BC⇔(x－1)2＋y2＋z2＝2　③，联立①②③得x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－，

所以点D的坐标为(1，1，1)或.

14.ABC解析　由于·＝－1×2＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，·＝4×(－1)＋2×2＋0×(－1)＝0，所以A、B、C正确，又＝－＝(2,3,4)．∵＝(－1,2，－1)，不满足＝λ，∴D不正确，故选ABC.

15.平行 解析　＝＋＋＝＋＋＝(＋)＋＋(＋)＝＋

＝＋.∴与，共面．又∵MN⊄平面BB1C1C，∴MN∥平面BB1C1C.

16.解：(1)证明：以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(如图)，

设AD＝a，则D(0，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，E，P(0，0，a)，F，∴＝，＝(0，a，0)，

∴·＝·(0，a，0)＝0，

∴EF⊥CD.

(2)∵G∈平面PAD，设G(x，0，z)，

∴＝.

由(1)，知＝(a，0，0)，＝(0，－a，a)．

∵GF⊥平面PCB，

∴·＝·(a，0，0)＝a＝0，

·＝·(0，－a，a)＝＋a＝0，

∴x＝，z＝0.

∴点G的坐标为，即点G为AD的中点．