数学第一章 空间向量与立体几何1.4 空间向量的应用随堂练习题

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题

 基 础 练                                                                                 

巩固新知    夯实基础

1.已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为（       ）

A. B.2              C. D.

2.已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为(　　)

A.   B.   C.   D.

3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为 (　　)

A.           B.         C.          D.

4.已知正方体的棱长为2，，分别为上底面和侧面的中心，则点到平面的距离为（       ）

A． B． C． D．

5.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为__________.

6.在空间直角坐标系O-xyz中，向量分别为异面直线方向向量，则异面直线所成角的余弦值为___________.

7.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是__________．

8.如图所示，在多面体A1B1D1－DCBA，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F.

(1)证明：EF∥B1C.

(2)求二面角E－A1D－B1的余弦值.

能 力 练                                                                                

综合应用   核心素养

9.正△ABC与正△BCD所在平面垂直，则二面角A－BD－C的正弦值为(　　)

A.     B.            C.        D.

10.在四面体P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，设PA＝PB＝PC＝a，则点P到平面ABC的距离为(　　)

A.     B.a     C.     D.a

11.在正四棱锥S－ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且 SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角是(　　)

A．  30°     B．45°        C．60°    D．90°

12.已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，平面，线段的中点分别为，，若异面直线与所成角的余弦值为，则（       ）

A．1 B． C．2 D．3

13.如图，已知正方体的棱长为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为（       ）

A．1 B． C． D．

14.（多选）如图，在边长为的正方体中，点，分别是棱，的中点，是棱上的动点，则下列说法正确的是（       ）

A．当为中点时，直线平面

B．当为中点时，直线与所成的角为

C．若是棱上的动点，且，则平面平面

D．当在上运动时，直线与平面所成的角的最大值为

15.如图所示，二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则该二面角的大小为__________.

16.如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，点E为PC的中点，AB∥CD，CD⊥AD，CD＝2AB＝2，PA＝AD＝1，PA⊥AD．

(1)证明：BE⊥平面PCD；

(2)求二面角P−BD−E的余弦值．

【参考答案】

1.D 解析：依题意，，所以点P到平面的距离为.

故选：D

2. C 解析：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA1＝2AB＝2，则D(0，0，0)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，E(1，0，1)，D1(0，0，2).所以＝(0，－1，1)，＝(0，－1，2)，

所以cos〈，〉＝＝＝.

3. B解析：以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，设棱长为1，则A1(0，0，1)，E，D(0，1，0)，∴＝(0，1，－1)，＝，设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)，所以有即解得∴n1＝(1，2，2)．

∵平面ABCD的一个法向量为n2＝(0，0，1)，∴ cos〈n1，n2〉＝＝.

即所成的锐二面角的余弦值为.

4.A 解析：

如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，易知，设平面的法向量，则，令，解得，故点到平面的距离为.故选：A.

5. 解析：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设n＝(x，y，z)为平面A1BC1的法向量.则n·＝0，n·＝0，即令z＝2，则y＝1，x＝2，

于是n＝(2，1，2)，＝(0，2，0)设所求线面角为α，则sin  α＝|  cos〈n，〉|＝.

6. 解析：因为，所以.

因为异面直线所成角的范围为，所以异面直线所成角的余弦值为.

故答案为：

7.60° 解析　以BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系．

设AB＝BC＝AA1＝2，则C1(2，0，2)，E(0，1，0)，F(0，0，1)，则＝(0，－1，1)，＝(2，0，2)，∴·＝2，∴cos〈，〉＝＝，

∴EF和BC1所成的角为60°.

8.(1)证明：由正方形的性质可知A1B1∥AB∥DC，且A1B1＝AB＝DC，所以四边形A1B1CD为平行四边形，从而B1C∥A1D，又A1D⊂面A1DE，B1C⊄面A1DE，于是B1C∥面A1DE.又B1C⊂面B1CD1.面A1DE∩面B1CD1＝EF，所以EF∥B1C.

(2)解：因为四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，所以AA1⊥AB，AA1⊥AD，AB⊥AD且AA1＝AB＝AD.以A为原点，分别以，，为x轴，y轴和z轴单位正向量建立如图所示的空间直角坐标系，可得点的坐标A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，D1(0，1，1)，而E点为B1D1的中点，所以E点的坐标为.

设面A1DE的法向量n1＝(r1，s1，t1)，而该面上向量＝，＝(0，1，－1)，由n1⊥.

n1⊥得r1，s1，t1应满足的方程组(－1，1，1)为其一组解，所以可取n1＝(－1，1，1).

设面A1B1CD的法向量n2＝(r2，s2，t2)，而该面上向量＝(1，0，0)，＝(0，1，－1)，由此同理可得n2＝(0，1，1).所以结合图形知二面角E－A1D－B1的余弦值为＝＝.

9. C 解析　取BC中点O，连接AO，DO.建立如图所示坐标系，设BC＝1，则A，B，D.∴＝，＝，＝.由于＝为平面BCD的一个法向量，可进一步求出平面ABD的一个法向量n＝(1，－，1)，∴ cos〈n，〉＝，∴ sin〈n，〉＝.

10. B 解析：根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系P－xyz，则P(0，0，，0)，A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(0，0，a)．过点P作PH⊥平面ABC，交平面ABC于点H，则PH的长即为点P到平面ABC的距离．

∵PA＝PB＝PC，∴H为△ABC的外心．又∵△ABC为正三角形，

∴H为△ABC的重心，可得H点的坐标为.

∴PH＝＝a.∴点P到平面ABC的距离为a.

11. A 解析：如图，以O为原点建立空间直角坐标系O－xyz.设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a.则A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(－a，0，0)，P.

则＝(2a，0，0)，＝，＝(a，a，0)，

设平面PAC的一个法向量为n，设n＝(x，y，z)，则解得

可取n＝(0，1，1)，则 cos〈，n〉＝＝＝，

∴〈，n〉＝60°，∴直线BC与平面PAC所成的角为90°－60°＝30°.

12.C 解析：如图示，以D为原点，分别为x、y、z轴正方向联立空间直角坐标系.

不妨设.则，，，，，，.

所以，.

因为异面直线与所成角的余弦值为，所以，解得：t=2.即2.故选：C

13.D 解析：如图建立空间直角坐标系，则，

设，则，

∴动点P到直线的距离为

，当时取等号，

即线段上的动点P到直线的距离的最小值为.故选：D.

14.ACD解析：图，以为原点建立空间直角坐标系，设，

当为中点时，，

所以,

设平面的一个法向量为，

则，即，令，则可得，

因为，所以，

因为平面，所以平面，故A正确；

因为，所以当为中点时，直线与所成的角为，故B错误；

若，则，又,

则，

设平面的一个法向量为，

则，即，令，可得，

设平面的一个法向量为，

则，即，令，可得，

因为，所以平面平面，故C正确；

因为，易得平面的一个法向量为，

设直线与平面所成的角为，

则，

则当时，取得最大值为，所以直线与平面所成的角的最大值为，故D正确.

故选：ACD.

15.60° 解析：∵＝＋＋，

∴||＝＝＝＝.

∴·＝||·||· cos〈，〉＝－24.

∴ cos〈，〉＝－.又所求二面角与〈，〉互补，∴所求的二面角为60 °.

16.(1)证明：取PD的中点F，连接AF，EF，

则，．

又，，所以，，

所以四边形ABEF为平行四边形，所以．

因为，，所以．

所以．

因为平面PAD⊥平面ABCD，，

所以PA⊥平面ABCD，所以，

所以．

又点E为PC的中点，所以．

又，所以BE⊥平面PCD．

(2)以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则A（0，0，0），P（0，0，1），B（1，0，0），D（0，1，0），C（2，1，0），E（1，，）．

于是

设平面PBD的法向量为，则

得．取．得

设平面EBD的法向量为，则，

得取．得．所以，

所以二面角P−BD−E的余弦值为。