新教材高一数学第二学期期末试卷四（原卷版+教师版）

新教材高一数学第二学期期末试卷

考试时间120分钟，满分150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，则（    ）

A.        B.        C.        D.

2. 已知实数，满足，则下列关系式一定成立的是（    ）

A.        B.        C.        D.

3. 已知，向量与的夹角为，则（    ）

A. 5       B.        C.        D.

4. 若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ）．

A.        B.        C.        D.

5. 在中，已知，则角为（    ）

A.        B.        C. 或       D. 或

6. 已知，则的值是（    ）

A.        B.        C.        D.

7. 如图，已知，则（    ）

A.        B.

C.        D.

8. 一纸片上绘有函数（）一个周期的图像，现将该纸片沿x轴折成直二面角，原图像上相邻的最高点和最低点此时的空间距离为，若方程在区间上有两个实根，则实数a的取值范围是（    ）

A.        B.        C.        D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下面是关于复数的四个命题，其中真命题为（    ）

A.        B.

C. 虚部为-1       D. 的共轭复数为

10. 已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ）

A. 若，，，则       B. 若，，，则

C. 若，，，则       D. 若，，，则

11. 正四棱台中，上底面的边长为2，下底面的边长为4，棱台高为1，则（    ）

A. 该四棱台侧棱长为       B. 与所成角的余弦值为

C. 与面所成的角大小为       D. 二面角的大小为

12. 在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，R为外接圆的半径，的面积记为，则下列命题正确的是（    ）

A. 的充要条件是

B. 若，则直角三角形

C. 若，，，则

D. 不存在，满足，，同时成立

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13. 已知向量，，若，则_______.

14. 已知函数，则_______.

15. 已知函数（），将图象上所有点向右平移个单位，得到奇函数的图象，则常数的一个取值为____.

16. 在平面四边形中，，，，，交于点O，若，则的值为______，的长为______.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 在平而直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同两个单位向量分别为和，，.

（1）求向量与夹角的余弦值；

（2）若点P是线段的中点，且向量与垂直，求实数k的值.

18. 已知函数，其中，，是函数的两个零点，且的最小值为.

（1）求使取得最大值时自变量x的集合，并求的最大值；

（2）求的单调递增区间.

19. 如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，直线平面，，分别是线段，的中点．

（1）证明：平面平面；

（2）记平面与平面的交线为，试判断直线与直线的位置关系，并说明理由．

20. 设a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，已知.

（1）求角B；

（2）若，且，求边c.

21. 在直三棱柱中，D，E分别是，的中点，，，，.

（1）求证：平面；

（2）求点到平面的距离.

22. 某大学科研团队在如下图所示的长方形区域内（包含边界）进行粒子撞击实验，科研人员在A、O两处同时释放甲、乙两颗粒子.甲粒子在A处按方向做匀速直线运动，乙粒子在O处按方向做匀速直线运动，两颗粒子碰撞之处记为点P，且粒子相互碰撞或触碰边界后爆炸消失.已知长度为6分米，O为中点.

（1）已知向量与的夹角为，且足够长.若两颗粒子成功发生碰撞，求两颗粒子运动路程之和的最大值；

（2）设向量与向量夹角为（），向量与向量的夹角为（），甲粒子的运动速度是乙粒子运动速度的2倍.请问的长度至少为多少分米，才能确保对任意的，总可以通过调整甲粒子的释放角度，使两颗粒子能成功发生碰撞？

新教材高一数学第二学期期末试卷

考试时间120分钟，满分150分

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处.

2.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效.

3.答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀.考试结束后，请将本试题及答题卡交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，则（    ）

A.        B.        C.        D.

【答案】B

【解析】【分析】求出集合，然后进行交集的运算即可．

【详解】，，．

故选：．

2. 已知实数，满足，则下列关系式一定成立的是（    ）

A.        B.        C.        D.

【答案】D

【解析】【分析】A、B、C三个选项只需要举出反例即可判定，D选项结合函数的单调性即可判断.

【详解】A：当满足，但是，所以，故A错误；

B：当满足，但是，所以，故B错误；

C：当满足，但是，所以，故C错误；

D：因为函数在上单调递增，且，所以，故D正确，

故选：D.

3. 已知，向量与的夹角为，则（    ）

A. 5       B.        C.        D.

【答案】D

【解析】分析】由已知先求出，然后根据，代值即可求解.

【详解】∵，向量与的夹角为∴

∴

故选：D.

4. 若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ）．

A.        B.        C.        D.

【答案】B

【解析】【分析】由于正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线，从而求出体对角线，可得球的直径，进而可求出球的表面积

【详解】解：设正方体外接球的半径为，则由题意可得

，得，所以球的表面积为，

故选：B

5. 在中，已知，则角为（    ）

A.        B.        C. 或       D. 或

【答案】C

【解析】【分析】直接利用正弦定理即可得出答案.

【详解】解：在中，已知，

因为，所以，所以或，所以或.

故选：C.

6. 已知，则的值是（    ）

A.        B.        C.        D.

【答案】A

【解析】【分析】使用整体处理以及两角和与差得公式解决问题.

【详解】由得：

，

所以，，所以，.

故选：A.

7. 如图，已知，则（    ）

A.        B.     C.     D.

【答案】B

【解析】【分析】利用向量的加法和数乘运算法则，取为基底，通过运算，即可得答案；

【详解】，

，

故选：B.

8. 一纸片上绘有函数（）一个周期的图像，现将该纸片沿x轴折成直二面角，原图像上相邻的最高点和最低点此时的空间距离为，若方程在区间上有两个实根，则实数a的取值范围是（    ）

A.        B.        C.        D.

【答案】B

【解析】【分析】由原图像上相邻的最高点和最低点此时的空间距离得出，再由正弦函数的性质得出实数a的取值范围.

【详解】原图像上相邻的最高点和最低点此时的空间距离为，

，故，

方程在区间上有两个实根，即有2个解，

由于，，则，

故选：B

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下面是关于复数的四个命题，其中真命题为（    ）

A.        B.      C. 的虚部为-1       D. 的共轭复数为

【答案】AC

【解析】【分析】利用复数的四则运算即可求解.

【详解】，所以，故A正确；

，故B错误；的虚部为-1，故C正确；的共轭复数为，故D错误.

故选：AC

10. 已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ）

A. 若，，，则       B. 若，，，则

C. 若，，，则       D. 若，，，则

【答案】BD

【解析】

【分析】A选项，C选项根据面面平行，面面垂直关系很容易找到反例，B选项理解成法向量容易证明，D选项利用线面平行的性质定理，面面垂直的判定定理证明.

【详解】A选项，两个平行平面内的两条直线，可能平行，或者异面，A选项错误；B选项，，，可理解直线对应的方向向量可看作的法向量，由于，又，是两个不同的平面，则，故B选项正确；两个面垂直，那么在一个面内垂直于两个面交线的直线才垂直另一个面，从选项中无法判断和交线的位置关系，因此可能相交但不垂直，平行，异面但不垂直，C选项错误；D选项，若，又，根据面面垂直的判定，即有，若，由于，，则，过任作一个面，使其和相交于直线，根据线面平行的性质定理，，又则，结合，即，故D选项正确.        .

故选：BD.

11. 正四棱台中，上底面的边长为2，下底面的边长为4，棱台高为1，则（    ）

A. 该四棱台的侧棱长为       B. 与所成角的余弦值为

C. 与面所成的角大小为       D. 二面角的大小为

【答案】BD

【解析】

【分析】连接，作平面，由线面垂直的判定定理可得平面，得到，求出可判断A；，所以与所成角即为与所成的角，即为所求，求出可判断B；即为与面所成的角，

由求出可判断C；由平面得出即为平面与平面所成的角，求出，根据正四棱台的四个侧面与底面所成的角相等，可判断D.

【详解】对于A，连接，作平面，，因为为正四棱台，

则在上，作交于点，连接，因为，，所以平面，平面，所以，

因为上底面的边长为2，下底面的边长为4，所以，由，所以，，故A错误；

对于B，因为，所以与所成角即为与所成的角，即为所求，因为正四棱台的四个侧面为全等的等腰梯形，所以，

由，得，所以与所成角的余弦值为，故B正确；

对于C，因为平面，所以即为与面所成的角，

由，得，由得，

所以，因为为正四棱台，所以与面所成的角与与面所成的角相等，故C错误；

对于D，根据A选项，平面，所以即为平面与平面所成的角，且，所以，因为正四棱台的四个侧面与底面所成的角相等，二面角的大小为，故D正确.

故选：BD.

12. 在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，R为外接圆的半径，的面积记为，则下列命题正确的是（    ）

A. 的充要条件是

B. 若，则是直角三角形

C. 若，，，则

D. 不存在，满足，，同时成立

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据正弦定理边角互化即可判断A,B,根据三角形面积公式可求，进而由余弦定理可求，最后由正弦定理可求外接圆半径，假设存在，根据正弦定理得到矛盾可求D.

【详解】在中，由正弦定理可得：，故A正确.

或者（不符合内角和，故舍去），因此,又

，故B正确.

由，由余弦定理可得：,

因此,故C错误.

若存在，满足，，同时成立，则矛盾，故不存在，满足，，同时成立，故D正确.

故选:ABD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13. 已知向量，，若，则_______.

【答案】##

【解析】【分析】根据向量平行的坐标公式求解即可

【详解】由题意，，解得故答案为：

14. 已知函数，则_______.

【答案】0.5

【解析】【分析】分段函数解析式的正确使用，可迅速解决.

【详解】由，得：.

故答案为：.

15. 已知函数（），将图象上所有点向右平移个单位，得到奇函数的图象，则常数的一个取值为____.

【答案】（满足都正确）

【解析】

【分析】利用函数图象平移规则，得出解析式，再根据奇函数的定义求出的可能取值即可.

【详解】将图象上所有点向右平移个单位，得：

，

又为奇函数，，

即，

，解得：，

常数的一个取值为.故答案为：（满足都正确）.

16. 在平面四边形中，，，，，交于点O，若，则的值为______，的长为______.

【答案】 ①. ；    ②. .

【解析】【分析】设，则，利用、、三点共线即可求出，进而得到的值；再在中，分别求出以及的值，再利用余弦定理求出的长.

【详解】依题意，如图所示，

设，则，

、、三点共线，，解得：，

，，又，，

，，

在中，由余弦定理得： ，

解得：或（舍），.

故答案：；.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 在平而直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为和，，.

（1）求向量与夹角的余弦值；

（2）若点P是线段的中点，且向量与垂直，求实数k的值.

【答案】（1）    （2）

【解析】【分析】（1）用坐标表示向量，然后由数量积的定义求得夹角余弦值；

（2）由向量与的数量积为0可求得．

【小问1详解】由已知得，，

所以：，，，

所以所求余弦值为．

【小问2详解】

因为，，而向量与向量有垂直，

所以，所以．所以

18. 已知函数，其中，，是函数两个零点，且的最小值为.

（1）求使取得最大值时自变量x的集合，并求的最大值；

（2）求的单调递增区间.

【答案】（1）自变量的集合为：，的最大值为1   

（2）

【解析】【分析】（1）根据二倍角公式以及辅助角公式可化简，根据题意可得周期，进而可求的解析式，进而可求最值和自变量的值.

（2）整体代入法求单调增区间.

【小问1详解】

，

由是函数的两个零点，且的最小值为可知：的周期为,故,因此，令，故自变量的集合为：,的最大值为1

【小问2详解】

令，故的单调递增区间为

19. 如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，直线平面，，分别是线段，的中点．

（1）证明：平面平面；

（2）记平面与平面的交线为，试判断直线与直线的位置关系，并说明理由．

【答案】（1）证明见解析；（2），理由见解析.

【解析】

【分析】（1）推导出，，平面，从而，进而平面，由此能证明平面平面．

（2）推导出，平面，根据线面平行的性质，即能证明．

【详解】解：（1）因为平面，平面，所以.

因为是以为直径的圆上的点，所以．

又，所以平面．

因为，分别是，的中点，所以．所以平面．

又平面，故平面平面．

（2）.证明如下：由（1），.又平面，平面，

所以平面．

又平面，平面平面，

所以．

20. 设a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，已知.

（1）求角B；

（2）若，且，求边c.

【答案】（1）；    （2）当时，；当时，.

【解析】【分析】（1）根据正弦定理，将已知条件转化为，

再利用三角恒等变换公式求出，根据角的取值范围求出角B；

（2）根据三角形内角和定理，将化简为，

对的取值情况进行讨论，再由正弦定理和余弦定理进行求解即可.

【小问1详解】

在中，由，可得.

又由，得，

，，

，又，；

【小问2详解】

在中，，

.

若，即时，；

若，即时，，由正弦定理可知，

由及可得，，

又，，

综上，当时，；当时，.

21. 在直三棱柱中，D，E分别是，的中点，，，，.

（1）求证：平面；

（2）求点到平面的距离.

【答案】（1）见解析    （2）

【解析】【分析】（1）连接交于点，连接，由中位线定理以及平行四边形的性质证明，再由线面平行的判定证明即可；

（2）由等体积法得出点到平面的距离.

【小问1详解】连接交于点，连接，

分别是的中点，，

，，

即四边形是平行四边形，，

平面，平面，

平面；

【小问2详解】设点到平面的距离为，

平面，，，，

又，平面，

，且，

，即，解得.

22. 某大学科研团队在如下图所示的长方形区域内（包含边界）进行粒子撞击实验，科研人员在A、O两处同时释放甲、乙两颗粒子.甲粒子在A处按方向做匀速直线运动，乙粒子在O处按方向做匀速直线运动，两颗粒子碰撞之处记为点P，且粒子相互碰撞或触碰边界后爆炸消失.已知长度为6分米，O为中点.

（1）已知向量与的夹角为，且足够长.若两颗粒子成功发生碰撞，求两颗粒子运动路程之和的最大值；

（2）设向量与向量的夹角为（），向量与向量的夹角为（），甲粒子的运动速度是乙粒子运动速度的2倍.请问的长度至少为多少分米，才能确保对任意的，总可以通过调整甲粒子的释放角度，使两颗粒子能成功发生碰撞？

【答案】（1）；    （2）长度至少分米.

【解析】【分析】（1）根据题意在中运用余弦定理以及基本不等式求解即可；

（2）过作，垂足为，设，则，由余弦定理求出，进而求出，得出，并求其最大值，再由恒等式得出的最小值即可.

【小问1详解】设两颗粒子在点相撞，在中，

由余弦定理得，即，

，，

即，，当且仅当时，等号成立，

所以两颗粒子运动路程和的最大值为；

【小问2详解】过作，垂足为，设，则，

由余弦定理可得，

，，，

，

当即时，即取得最大值，易知恒成立，

，

的长度至少为分米，才能确保对任意的，总可以通过调整乙粒子的释放角度，使两颗粒子成功碰撞.