新教材高一数学第二学期期末试卷二（原卷版+教师版）

这是一份新教材高一数学第二学期期末试卷二（原卷版+教师版），共19页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
新教材高一数学第二学期期末试卷
全卷满分150分，考试时间120分钟．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题滴分5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．
1. 已知复数z满足 （其中i为虚数单位），则z的虚部是（ ）
A. B. C. 1 D.
2. 已知向量，共线，则的值为（ ）
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
3. 小红、小明、小芳参加技能展示比赛，他们约定用“石头、剪子、布”的方式确定出场的先后顺序．问在1个回合中3个人都出“布”的概率是（　　）
A. B. C. D.
4. 已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和估计抽取的高中生近视人数分别为（ ）

A. 180，40 B. 180，20 C. 180，10 D. 100，10
5. 在中，为上一点，且，则（ ）
A. B. C. D.
6. 一个直角三角形两条直角边长分别为2和2，则以该三角形的斜边所在直线为旋转轴，两直角边旋转一周所围成的几何体的表面积为（　　）
A. B. C. 2π D. 6π
7. 已知甲、乙两个企业生产同一款产品的合格率分别为80%和90%，通过市场调查发现甲、乙两企业产品的市场占有率分别为和．现从市场上随机购买一件该产品，则买到的产品是合格品的概率为（　　）
A. B. C. D.
8. 某校为调查高一年级的某次考试的数学成绩情况，随机调查高一年级甲班10名学生，成绩的平均数为90，方差为3，乙班15名学生，成绩的平均数为85，方差为5，则这25名学生成绩的平均数和方差分别为（ ）
A. 87，10.2 B. 85，10.2 C. 87，10 D. 85，10
二、多项选择题：本题共4小题，每小题滴分5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
9. 有甲､乙两种报纸供市民订阅，记事件为“只订甲报纸”，事件为“至少订一种报纸”，事件为“至多订一种报纸”，事件为“不订甲报纸”，事件为“一种报纸也不订”.下列命题正确的是（ ）
A. 与是互斥事件 B. 与是互斥事件，且是对立事件
C. 与不是互斥事件 D. 与是互斥事件
10. 已知圆锥的底面半径为1，高为，为顶点，，为底面圆周上两个动点，则（　　）

A. 圆锥的体积为
B. 圆锥的侧面展开图的圆心角大小为
C. 圆锥截面的面积的最大值为
D. 从点出发绕圆锥侧面一周回到点无弹性细绳的最短长度为
11. 将一组数据从小到大排列为：，中位数和平均数均为a，方差为，从中去掉第6项，从小到大排列为：，方差为，则下列说法中一定正确的是（ ）
A. B. 的中位数为a
C. 的平均数为a D.
12. 如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面垂直的是（　　）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分；其中第16题的第一个空2分，第二个空3分
13. 已知复数，其中为虚数单位，则___________．
14. 高一某班举行党史知识竞赛，其中12名学生的成绩分别是：61、67、73、74、76、82、82、87、90、94、97、98，则该小组12名学生成绩的75%分位数是____________．
15. 已知向量，则向量在向量上投影向量的坐标为___________．
16. 如图是某机械零件几何结构，该几何体是由两个相同的直四棱柱组合而成的，且前后、左右、上下均对称，每个四棱柱的底面都是边长为2的正方形，高为4，且两个四棱柱的侧棱互相垂直．则这个几何体有________个面，其体积为________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤
17. 已知复数，其中为虚数单位．
（1）若复数z是纯虚数，求实数m的值：
（2）若复数z在复平面内对应的点位于第三象限，求实数m的取值范围．





18. 已知向量，，.
（1）若点，，能够成三角形，求实数应满足的条件；
（2）若为直角三角形，且为直角，求实数的值.





19. 2022年4月开始，新冠奥密克戎病毒在上海等地肆虐，感染病毒人数急剧上升．全国各地积极应对，认真做好新冠病毒防控工作，实现社会面动态清零．为保障抗疫一线医疗物资的供应，惠州市某企业加班加点生产口罩、防护服，消毒水等防疫物品．在加大生产的同时，该公可狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量．该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：[40，50），[50，60），[60，70），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图．

（1）求出直方图中m的值：
（2）利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数．（中位数精确到0.1）





20. 在①，②这两个条件中任选一个作为已知条件，然后解答问题．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，______．
（1）求角A；
（2）若，，求BC边上的中线AD的长．










21. 如图，在中．，，，，分别是，上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图．

（1）求证：BC⊥平面；
（2）若，为的中点，作出过且与平面平行的截面，并给出证明；







22. 为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，惠州市某学校组织防疫知识挑战赛，每位选手挑战时，主持人从电脑题库中随机抽出3道题，并编号为，，，并依次展示题目，选手按规则作答．挑战规则如下：
①选手每答对一道题目得5分，每答错一道题目扣3分：
②选手若答对第题，则继续作答第题：选手若答错第题，则失去第题的答题机会，从第题开始继续答题：直到3道题目回答完，挑战结束：
③选手初始分为0分，若挑战结束后，累计得分不低于7分，则选手挑战成功，否则挑战失败．
选手甲即将参与挑战，已知选手甲答对题库中任何一题的概率均为，各次作答结果相互独立，且他不会主动放弃任何一次作答机会，求：
（1）挑战结束时，选手甲恰好作答了2道题的概率；
（2）选手甲挑战成功的概率．








新教材高一数学第二学期期末试卷
全卷满分150分，考试时间120分钟．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题滴分5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．
1. 已知复数z满足 （其中i为虚数单位），则z的虚部是（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】A
【解析】【分析】求出即得解.
【详解】解：由题得.所以z的虚部是.
故选：A
2. 已知向量，共线，则的值为（ ）
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
【答案】A
【解析】【分析】由向量共线的坐标表示可得，即可求的值.
【详解】由题意，，解得.
故选：A
3. 小红、小明、小芳参加技能展示比赛，他们约定用“石头、剪子、布”的方式确定出场的先后顺序．问在1个回合中3个人都出“布”的概率是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】先求得三个人各自出“布”的概率，再根据独立事件的概率公式求解即可.
【详解】由题，三个人各自出“布”的概率为，
所以1个回合中3个人都出“布”的概率为，
故选：D


4. 已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示，为了了解该地区中小学生近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和估计抽取的高中生近视人数分别为（ ）

A. 180，40 B. 180，20 C. 180，10 D. 100，10
【答案】B
【解析】【分析】利用总量乘以抽取比例即可得到样本容量；根据图表可知高中生近视率 从而估计抽取的高中生近视人数
【详解】所有学生数为3000+4000+2000=9000，故样本容量为 9000×2%=180，
根据图甲以及抽取百分比可知，样本中高中生人数为2000×2%=40，
根据图乙可知，抽取的高中生近视人数为40×50%=20，故选：B．
5. 在中，为上一点，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】根据向量加法、减法的三角形法则及数乘向量的运算性质即可求解.
【详解】解：因为在中，为上一点，且，
所以，
故选：D.
6. 一个直角三角形的两条直角边长分别为2和2，则以该三角形的斜边所在直线为旋转轴，两直角边旋转一周所围成的几何体的表面积为（　　）
A. B. C. 2π D. 6π
【答案】A
【解析】【分析】先判断出旋转体为两个圆锥拼接在一起的几何体，再按照圆锥侧面积计算旋转体表面积即可.
详解】如图所示旋转体为两个圆锥拼接在一起的几何体，设直角三角形为，斜边为，过B作，由题意知，三角形的斜边，斜边上的高，圆锥底面圆的半径为，两个圆锥的母线长分别为和，故旋转体表面积为 .故选：A

7. 已知甲、乙两个企业生产同一款产品的合格率分别为80%和90%，通过市场调查发现甲、乙两企业产品的市场占有率分别为和．现从市场上随机购买一件该产品，则买到的产品是合格品的概率为（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，分别计算买到的合格品是甲厂生产的和乙厂生产的概率，由互斥事件概率的加法公式计算可得答案．
【详解】解：根据题意，若买到的合格品是甲厂生产的，其概率，
若买到的合格品是乙厂生产的，其概率，
则从市场上买到一个合格品的概率，
故选：C．
8. 某校为调查高一年级的某次考试的数学成绩情况，随机调查高一年级甲班10名学生，成绩的平均数为90，方差为3，乙班15名学生，成绩的平均数为85，方差为5，则这25名学生成绩的平均数和方差分别为（ ）
A. 87，10.2 B. 85，10.2 C. 87，10 D. 85，10
【答案】A
【解析】
【分析】按照平均数和方差的性质计算即可得到答案
【详解】由题意可知这25名学生成绩的平均数为
这25名同学成绩的方差为
故选：A
二、多项选择题：本题共4小题，每小题滴分5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
9. 有甲､乙两种报纸供市民订阅，记事件为“只订甲报纸”，事件为“至少订一种报纸”，事件为“至多订一种报纸”，事件为“不订甲报纸”，事件为“一种报纸也不订”.下列命题正确的是（ ）
A. 与是互斥事件
B. 与是互斥事件，且是对立事件
C. 与不是互斥事件
D. 与是互斥事件
【答案】BC
【解析】【分析】根据互斥事件、对立事件的概念判断即可.
【详解】对于A选项，、事件有可能同时发生，不是互斥事件；
对于B选项，与不可能同时发生，且发生的概率之和为1，是互斥事件，且是对立事件；
对于C选项，与可以同时发生，不是互斥事件；
对于D选项，与也可以同时发生，不是互斥事件.
故选：BC.
【点睛】在一次实验中，不可能同时发生的两个事件成为互斥事件，不可能同时发生且发生的概率之和为1的两个事件成为对立事件.
10. 已知圆锥的底面半径为1，高为，为顶点，，为底面圆周上两个动点，则（　　）

A. 圆锥的体积为
B. 圆锥的侧面展开图的圆心角大小为
C. 圆锥截面的面积的最大值为
D. 从点出发绕圆锥侧面一周回到点的无弹性细绳的最短长度为
【答案】AC
【解析】【分析】对于A：直接求出圆锥的体积即可判断；对于B：直接求出圆锥的侧面展开图的圆心角即可判断；对于C：先判断出圆锥截面为轴截面时，其面积最大，然后可判断；对于D：利用圆锥的侧面展开图可求解判断.

【详解】对于A：因为圆锥底面半径为1，高为，所以体积，故A正确；
对于B：设圆锥的母线为l，则，
设圆锥的侧面展开图的圆心角为，由弧长公式得：，即，解得：，故B错误；
对于C：显然当圆锥截面为轴截面时，其面积最大，此时，故C正确；
对于D：由B可得该圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，
所以从点出发绕圆锥侧面一周回到点的无弹性细绳的最短长度为4，故D错误；
故选：AC
11. 将一组数据从小到大排列为：，中位数和平均数均为a，方差为，从中去掉第6项，从小到大排列为：，方差为，则下列说法中一定正确的是（ ）
A. B. 的中位数为a
C. 的平均数为a D.
【答案】AC
【解析】
【分析】由中位数的定义即可判断A、B选项；由平均数的定义即可判断C选项；由方差的定义即可判断D选项.
【详解】由的中位数和平均数均为a，可知，，故A正确；
的中位数为，不一定等于，故的中位数不一定为a，B错误；
，故平均数为a，C正确；
，由于，
故，
故，D错误.
故选：AC.




12. 如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面垂直的是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】【分析】根据正方体的性质，结合线面垂直的判定定理依次讨论各选项即可得答案.
【详解】对于A选项，如图，因为为所在棱的中点，故由正方体的性质易得，所以，由于，故平面，故A选项正确；

对于B选项，如图，因为为所在棱的中点，所以，由正方体的性质得，所以平面，故，所以，同理得，，故平面，故B选项正确；

对于C选项，如图，因为为所在棱的中点，所以，所以在中，与夹角为，故异面直线与所成的角为，故平面不成立，故C选项错误；

对于D选项，同A选项，可判断平面，故D选项正确；
故选：ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分；其中第16题的第一个空2分，第二个空3分
13. 已知复数，其中虚数单位，则___________．
【答案】
【解析】【分析】根据的多次方的周期性，可知，进而根据复数的模的公式求解即可.
【详解】因为，，，所以，
所以，则，故答案为：
14. 高一某班举行党史知识竞赛，其中12名学生的成绩分别是：61、67、73、74、76、82、82、87、90、94、97、98，则该小组12名学生成绩的75%分位数是____________．
【答案】92
【解析】【分析】利用百分位数的计算公式进行计算.
【详解】，故选取第9个和第10个数的平均数作为75%分位数，
即故答案为：92
15. 已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为___________．
【答案】
【解析】【分析】根据投影向量的求法，代入数据，即可求得答案.
【详解】由题，向量在向量上的投影向量为，
故答案为：
16. 如图是某机械零件的几何结构，该几何体是由两个相同的直四棱柱组合而成的，且前后、左右、上下均对称，每个四棱柱的底面都是边长为2的正方形，高为4，且两个四棱柱的侧棱互相垂直．则这个几何体有________个面，其体积为________．

【答案】 ①. 20 ②.
【解析】
【分析】由图形可直接得到几何体面的个数，几何体体积等于两个四棱柱的体积和减去两个四棱柱交叉部分的体积，根据直观图分别进行求解即可.
【详解】由图形观察可知，几何体的面共有个，
该几何体的直观图如图所示，

该几何体的体积为两个四棱柱的体积和减去两个四棱柱交叉部分的体积.
两个四棱柱的体积和为.
交叉部分的体积为四棱锥的体积的2倍.
在等腰中，边上的高为2，则
由该几何体前后，左右上下均对称，知四边形为边长为的菱形.
设的中点为，连接易证即为四棱锥的高，
在中，
又所以
因为，所以，
所以求体积为
故答案为：20；
【点睛】本题考查空间组合体的结构特征，棱柱、棱锥的体积，关键需要弄清楚几何体的组成，属于较易题目.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤
17. 已知复数，其中为虚数单位．
（1）若复数z是纯虚数，求实数m的值：
（2）若复数z在复平面内对应的点位于第三象限，求实数m的取值范围．
【答案】（1）5 （2）
【解析】【分析】（1）纯虚数需满足实部为0，虚部不为0，进而求解即可；
（2）由对应点位于第三象限可知实部，虚部均为负数，根据不等式组求解即可.
【小问1详解】因为复数z是纯虚数，所以，解得.
【小问2详解】因为复数z在复平面内对应的点位于第三象限，
所以，解得.
18. 已知向量，，.
（1）若点，，能够成三角形，求实数应满足的条件；
（2）若为直角三角形，且为直角，求实数的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】【分析】(1)点，，能构成三角形，则这三点不共线，即与不共线，利用向量共线的坐标公式计算即可．
(2)为直角三角形，且为直角，则，利用向量的数量积坐标公式计算即可．
【详解】（1）已知向量，，，
若点，，能构成三角形，则这三点不共线，即与不共线.
，，故知，∴实数时，满足条件.
（2）若为直角三角形，且为直角，则，
∴，解得.
【点睛】本题考查平面向量共线的坐标公式和数量积的坐标运算，考查学生逻辑思维能力，属于基础题．
19. 2022年4月开始，新冠奥密克戎病毒在上海等地肆虐，感染病毒人数急剧上升．全国各地积极应对，认真做好新冠病毒防控工作，实现社会面动态清零．为保障抗疫一线医疗物资的供应，惠州市某企业加班加点生产口罩、防护服，消毒水等防疫物品．在加大生产的同时，该公可狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量．该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：[40，50），[50，60），[60，70），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图．

（1）求出直方图中m的值：
（2）利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数．（中位数精确到0.1）
【答案】（1） （2）平均数为，中位数为
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为得到方程，解得即可；
（2）根据频率分布直方图中平均数、中位数计算公式计算可得；
【小问1详解】解：由频率分布直方图可得，
解得；【小问2详解】
解：平均数为
因为，，所以中位数位于之间，
设中位数为，则，解得，
所以可以估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为，中位数为；
20. 在①，②这两个条件中任选一个作为已知条件，然后解答问题．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，______．
（1）求角A；
（2）若，，求的BC边上的中线AD的长．
【答案】（1） （2）
【解析】【分析】（1）若选①，由已知可得，可求出，进而求出；
若选②：由正弦定理，得，可求出，进而求出；
（2）是的边上的中线，，利用向量法可求的长．
【小问1详解】解：（1）若选①，即，得，
，或（舍去），
，；
若选②：，
由正弦定理，得，
，，，则，，；
【小问2详解】解：是的边上的中线，，


，
，
．





21. 如图，在中．，，，，分别是，上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图．

（1）求证：BC⊥平面；
（2）若，为的中点，作出过且与平面平行的截面，并给出证明；
【答案】（1）证明见解析 （2）作图见解析，证明见解析
【解析】【分析】（1）依题意可得，再由，即可得到平面，则，再结合，即可得证；
（2）过点作交于，过作交于，过点作交于，连接，推导出，从而，，，四点共面，推导出平面，平面，由此能证明平面平面．
【小问1详解】证明：在中，，，
所以，所以．
又，，平面，所以平面，
由平面，所以．
又，，平面，所以平面．
【小问2详解】解：如图，过点作交于，过作交于，
过点作交于，连接，则平面平面．
证明如下：，，且，
，，，，四点共面．
，平面，平面，
平面，同理平面
又，平面，平面，
平面平面．

22. 为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，惠州市某学校组织防疫知识挑战赛，每位选手挑战时，主持人从电脑题库中随机抽出3道题，并编号为，，，并依次展示题目，选手按规则作答．挑战规则如下：
①选手每答对一道题目得5分，每答错一道题目扣3分：
②选手若答对第题，则继续作答第题：选手若答错第题，则失去第题的答题机会，从第题开始继续答题：直到3道题目回答完，挑战结束：
③选手初始分为0分，若挑战结束后，累计得分不低于7分，则选手挑战成功，否则挑战失败．
选手甲即将参与挑战，已知选手甲答对题库中任何一题的概率均为，各次作答结果相互独立，且他不会主动放弃任何一次作答机会，求：
（1）挑战结束时，选手甲恰好作答了2道题的概率；
（2）选手甲挑战成功的概率．
【答案】（1） （2）
【解析】【分析】（1）设为选手答对题，其中，2，3，设挑战结束时，选手甲恰好作答了2道题为事件，选手甲恰好作答了2道题即选手甲第一题答错或第一题答对且第2题答错，即，结合概率的加法公式和事件独立性的定义，即可求解．
（2）设选手甲挑战成功为事件，若选手甲挑战成功，则选手甲共作答了3道题，且选手甲只可能作答2道题或3道题，“选手甲闯关成功”是“选手甲恰好作答了2道题”的对立事件，结合对立事件的性质，即可求解．
【小问1详解】解：设为选手答对题，其中，2，3
设挑战结束时，选手甲恰好作答了2道题为事件，
选手甲恰好作答了2道题即选手甲第一题答错或第一题答对且第2题答错，
，由概率的加法公式和事件独立性的定义得
．
即挑战结束时，选手甲恰好作答了2道题的概率为；
【小问2详解】解：设选手甲挑战成功为事件，
若选手甲挑战成功，则选手甲共作答了3道题，且选手甲只可能作答2道题或3道题，
“选手甲闯关成功”是“选手甲恰好作答了2道题”的对立事件，
根据对立事件的性质得．
所以选手甲挑战成功的概率；