安徽省合肥一六八中学2023届高三数学最后一卷（Word版附答案）

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合肥一六八中学2023届高三最后一卷

数学试题

合肥一六八中学命题中心

一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已如集合，则（    ）

A.    B.

C.    D.

2.设是虚数单位，复数，则复数在复平面内对应的点位于（    ）

A.第一象限    B.第二兔限

C.第三象限    D.第四象限

3.“”是“方程表示椭圆”的（    ）

A.充分不必要条件    B.必要不充分条件

C.充要条件    D.既不充分也不必要条件

4.米斗是称量粮食的量器，是古代官仓､粮栈､米行及地主家里必备的用具､如图为一倒正四棱台型米斗，高为40cm.已知该正四棱台的所有顶点都在一个半径为50cm的球O的球面上，且一个底面的中心与球O的球心重合，则该正四棱台的侧棱与底面所成角的正弦值为（    ）

A.    B.    C.    D.

5.在数列中，已知，当时，是的个位数，则（    ）

A.4    B.3    C.2    D.1

6.数学与音乐有着紧密的关联.声音中也包含正弦函数，声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是由纯音合成的.纯音的数学模型是函数，我们平时听到的音乐一般不是纯音，而是有多种波叠加而成的复合音.已知刻画某复合音的函数为，则其部分图象大致为（    ）

A.    B.

C.    D.

7.在菱形中，，点分别为和的中点，且，则（    ）

A.1    B.    C.2    D.

8.定义在上的函数满足，且当时，.当时，，则的最小值为（    ）

A.    B.    C.    D.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.某学校高三年级学生有500人，其中男生320人，女生180人.为了获得该校全体高三学生的身高信息，现采用分层抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位：cm），计算得男生样本的均值为174，方差为16，女生样本的均值为164，方差为30.则下列说法正确的是（    ）

A.如果抽取25人作为样本，则抽取的样本中男生有16人

B.该校全体高三学生的身高均值为171

C.抽取的样本的方差为44.08

D.如果已知男､女的样本量都是25，则总样本的均值和方差可以作为总体均值和方差的估计值

10.已知函数，则下列说法正确的有（    ）

A.若，则

B.将的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称

C.函数的最小正周期为

D.若在上有且仅有3个零点，则的取值范围为

11.正四棱锥中，高为3，底面是边长为2的正方形，则下列说法正确的有（    ）

A.到平面的距离为

B.向量在向量上的投影向量为

C.棱锥的内切球的半径为

D.侧面所在平面与侧面所成锐二面角的余弦值为

12.已知数列满足，曲线和有交点，且和在点处的切线重合，则下列结论正确的为（    ）

A.    B.

C.    D.

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.在的展开式中，含项的系数为__________.

14.近年来，随着我国城镇居民收入的不断增加和人民群众消费观念的改变，假期出游成为时尚.某校高三年级7名同学计划高考后前往黄山､九华山､庐山三个景点旅游.已知7名同学中有4名男生，3名女生.其中2名女生关系要好，必须去同一景点，每个景点至少有两名同学前往，每位同学仅选一处景点游玩，则7名同学游玩行程安排的方法数为__________.

15.已知抛物线的焦点为，过作两条互相垂直的直线与相交于，与相交于，则的最小值为__________.

16.设，定义的差分运算为.用表示对a进行次差分运算，显然，是一个维数组.称满足的最小正整数的值为的深度.若这样的正整数不存在，则称的深度为.

（1）已知，则的深度为__________.

（2）中深度为的数组个数为__________.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤

17.（本小题满分10分）

如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，.球数构成一个数列，满足且.

（1）求数列的通项公式；

（2）求证：.

18.（本小题满分12分）

法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为等边三角形的顶点”.如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为，且.以为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为.

（1）求角；

（2）若的面积为，求的周长.

19.（本小题满分12分）

某同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒.包装盒如图所示，是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成，其中四边形是边长为4的正方形，点是半圆弧上的动点，且四点共面.

（1）若点为半圆弧的中点，求证：平面平面；

（2）是否存在点，使得直线与平面所成的角是？若存在，确定点位置；若不存在，请说明理由.

20.（本小题满分12分）

已知双曲线的左､右焦点分别为为双曲线的右支上一点，点关于原点的对称点为，满足，且.

（1）求双曲线的离心率；

（2）若双曲线过点，过圆上一点作圆的切线，直线交双曲线于两点，且的面积为，求直线的方程.

21.（本小题满分12分）

已知函数，其中.

（1）若时，有极值，求的值；

（2）设，讨论的零点个数.

22.（本小题满分12分）

在一个典型的数字通信系统中，由信源发出携带着一定信息量的消息，转换成适合在信道中传输的信号，通过信道传送到接收端.有干扰无记忆信道是实际应用中常见的信道，信道中存在干扰，从而造成传输的信息失真.在有干扰无记忆信道中，信道输入和输出是两个取值的随机变量，分别记作和.条件概率，描述了输入信号和输出信号之间统计依赖关系，反映了信道的统计特性.随机变量的平均信息量定义为：.当时，信道疑义度定义为

（1）设有一非均匀的骰子，若其任一面出现的概率与该面上的点数成正比，试求扔一次骰子向上的面出现的点数的平均信息量；

（2）设某信道的输入变量与输出变量均取值0，1.满足：.试回答以下问题：

①求的值；

②求该信道的信道疑义度的最大值.

合肥一六八中学2023届高考全真模拟详解答案

一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.答案A

2.答案A

由，得，所以，故选：

3.答案：B

详解：方程表示椭圆，所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件，故选B.

4.答案：D

详解：由题意，做出正四棱台的对角面，如图

为正四棱台上底面正方形对角线，为正四棱台下底面正方

形对角线，为外接球球心，为线段中点，则

过点作，垂足为，则即为所求角

因为，所以，所以，所

以，所以正四棱台的侧棱与底面所成角的正弦值为.

5.答案：C，详解：由题意知：，，可知数列从第3项开始有，所以，故答案选C.

6.答案C

解：令，

求导得

，

当时，由解得

由于，

结合图像，只有选项满足.

故选：C

7.答案：B

详解：因为点分别为和的中点，

，所以，

又，所以选B.

8.答案：B

详解：由题意，当时，故，

当时，故，

可得在区间上，，

所以当时，，作函数的图象，如图所示，

当时，由

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.答案：AC

A､根据分层抽样，抽取25人作为样本，则抽取的样本中男生有正确

B､样本学生的身高均值，B错误

C､抽取的样本的方差为；C正确

D､因为抽样中未按比例进行分层抽样，所以总体中每个个体被抽到的可能性不完全相同，因而样本的代表性差，所以作为总体的估计不合适.D错误.

10.答案ABD

详解：由，故必有一个最大值和一个最小值，

则为半个周期长度正确；

由题意的图象关于轴对称，B正确；的最小正周期为错误.

，在上有且仅在3个零点，结合正弦函数的性质知：

，则，D正确；

故选：ABD

11.答案BD

详解：补体为长方体.如图，在Rt中，WC为CD到平面距离，容易求出其距离为错误；

根据投影向量概念知：向量在向量上的投影向量为向量.即为，所以正确；

由等体积求内切球半径

得，

，所以C错误；

连接，可知是所求二面角的平面角，在中由余弦定理知道：正确.故选：BD

12.答案：AC

详解：依题意，有，且，解得，

显然，即，故A正确；

构造函数，则，显然当时，，即在上单调递增，从而为递增数列，又，故，易知B错误；

易知，需证，只需证，

令，则，只需证，

令，则，

易知单调递减，故当时，，从而C正确；

由，可知，即为正项递增数列，

亦为正项递增数列，故数列为正项递增数列，又，易知D错误；

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.答案：40

详解：设的通项，则，化简得，

令，则的系数为.

14.答案：150

详解：第一类：仅要好的两位女生去同一景点；第二类：要好的两位女生和另一位同学去同一

景点，总方法数为.

15.答案：16

详解：设直线直线方程为：

另解：设直线倾斜角为，所以最小值为16.

16.答案（1）4（2）（可以通过举例归纳得到，如）.

详解：（1）略；（2）易知中仅有一组中深度的数组仅1组中深度的数组仅2组；中深度的数组仅4组；中深度的数组仅组；；所以中深度为的数组仅有组.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.答案：（1）

（2）由，

所以

18.答案（1），则，

故，所以，

可得，由，所以.

（2）如图，连接，则，

正面积，

而，则，

在中，由余弦定理得：，

即，则，

在中，，由余弦定理得，

则，

，所以的周长为

19.答案：（1）连接，如图所示：

若点为半圆弧的中点，则，

所以，即，

因为，

所以，又面，

所以平面平面，则平面平面.

（2）假设存在点，使得直线与平面所成的角为，

以为原点，方向为轴正方向建立空间直角坐标系，

如图所示：

则，设，

则，

所以，

设平面的法向量为，

则，

令，则即，

依题意，

整理得，与矛盾，所以不存在

另解：连接，可知面，所以，即是平面的一个法向量（下同）.

20.答案：（1）由对称性可知：，故，

由双曲线定义可知：，即，所以分又因为，

在中，由余弦定理得：，

即，解得：，

故离心率为.

（2）因为双曲线过点，所以双曲线方程：

当直线的斜率不存在时，则

直线的斜率不存在时不成立.

当直线的斜率存在时，设直线的方程为

又点到直线距离，

联立，消去得，

则

由的面积为，即，

将代入上式得，

或，即或

直线的方程为：或

21.解：（1）.

由题意得且，即，联立解得，.经检验，符合题意.

（2）方法一：定义域是.由条件知，.

当时，单调递增；当时，单调递减.

故是的极大值点，且极大值为.

当时，，此时有一个零点.

当时，.记，则.取，则，，根据零点存在定理，当时，存在一个零点.

取，则.由零点存在定理可知，当时，存在一个零点.故此时有两个零点.

综上所述，当时，只有一个零点；当时，有两个零点.

方法二：由题意，函数的零点即方程的根，

即方程的根，

即的根，记，答案：

由，得到，当时，单调递增，时，单调递减，

又，因为，当时，，

综上所述，当时，只有一个零点；当时，有两个零点

22.解：（1）设表示扔一非均匀股子点数，则

扔一次平均得到的信息量为

（2）①由全概率公式，得

②由题意，.所以，

其中.

令

时时，