2023年1月广东省普通高中学业水平合格性考试数学模拟卷（一）（含考试版+全解全析+参考答案）

2023年1月广东省普通高中学业水平合格性考试

数学仿真模拟试卷A

(考试时间：90分钟   满分150分)

一.选择题：本大题共15题，每小题6分，共90分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．设集合，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，.

故选：D

2．已知2，，成等比数列，则a的值为（    ）

A．2 B．4 C．2或4 D．无法确定

【答案】A

【解析】依题意，，故，解得a＝2．

故选：A

3．已知向量，，若，则（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】A

【解析】由，得，

所以.

故选：A.

4．直线经过点，且倾斜角，则直线的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意可知，直线的斜率为，

故直线的方程为，即.

故选：B.

5．不等式的解集是（    ）

A． B．

C．或 D．

【答案】C

【解析】解不等式得：或，

所以不等式的解集是或.

故选：C

6．下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（    ）

A．  B． C．y=|x| D．

【答案】D

【解析】，都是奇函数，排除A，B.

，都是偶函数，在上递增，在递减，

故选：D．

7．已知样本的平均数是9，方差是2，则（    ）

A．41 B．71 C．55 D．45

【答案】B

【解析】的平均数是9，

，

即①；

又方差是2，

，

即②；

由①②联立，

解得：或；

故选：B.

8．圆心为，半径为5的圆的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】因为圆心为，半径为5，

所以圆的方程为，

故选：D

9．已知,则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】,

.

故选:A.

10．设，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，，即，

故选：D

11．已知，且满足，则有（    ）

A．最大值  B．最小值  C．最大值1 D．最小值1

【答案】A

【解析】，当且仅当，即时等号成立.

故选：A.

12．将曲线：上的点向右平移个单位长度，再将各点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到曲线，则的方程为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】曲线：上的点向右平移个单位长度，

得到，

再将各点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到曲线的方程为．

故选：

13．某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人.现用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，已知从女学生中抽取的人数为80，则n为（    ）

A．16 B．96 C．192 D．112

【答案】C

【解析】由于采用分层抽样，

每种样本类型中抽取的人数比例为

则

故选：C.

14．已知a，b，c为三条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面．

①a//c，b//c⇒a//b；②a//β，b//β⇒a//b；

③a//c，c//α⇒a//α；④a//β，a//α⇒α//β；

⑤a⊄α，b⊂α，a//b⇒a//α.

其中正确的命题是（　　）

A．①⑤ B．①② C．②④ D．③⑤

【答案】A

【解析】对于①，由平行的传递性公理，则正确；

对于②，由，，则共面或异面，故错误；

对于③，由，，则或，故错误；

对于④，由，，则平行或相交，故错误；

对于⑤，由，，，根据线面平行判定定理，可得，故正确.

故选：A.

15．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（一丈＝十尺＝一百寸）（    ）．

A．一尺五寸 B．二尺五寸 C．三尺五寸 D．四尺五寸

【答案】B

【解析】由题意知：

从冬至日起，依次小寒、大寒等十二个节气日影长构成一个等差数列，设公差为，

冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，

，解得，，

芒种日影长为（寸）尺5寸．

故选：B

二．填空题：本大题共4小题，每小题6分，满分24分．

16．已知向量，，，若与垂直，则_________.

【答案】

【解析】由题意得：

因为与垂直，所以，即

所以，解得.

故答案为：

17．从1，3，5，7这4个数中随机取出2个不同的数a，b，则的概率为___________．

【答案】【解析】取出的6组数分别为其中有3组满足，所以的概率为．

故答案为：

18．已知是偶函数，且时，，若，则的值是______．

【答案】6

【解析】根据题意，是偶函数，且时，，

，则，则，

则有时，，则，

又由是偶函数，则；

故答案为:6.

19．一组数：2，1，3，x，7，y，23，…，满足“前两个数依次为a、b，紧随其后的第三个数是”，例如这组数中的第三个数“3”是由“”得到的，那么这组数中y表示的数为______.

【答案】-9

【解析】由这组数满足“前两个数依次为a、b，紧随其后的第三个数是”，所以有，解得.

故答案为：-9

三．解答题：本大题共3小题，第20小题8分，第21、22小题各14分，满分36分，解答题须写出文字说明．证明过程和演算步聚

20．某市为鼓励居民节约用电，采用阶梯电价的收费方式，当月用电量不超过100度的部分，按0.4元/度收费；超过100度的部分，按0.8元/度收费.

(1)若某户居民用电量为120度，则该月电费为多少元？

(2)若某户居民某月电费为60元，则其用电量为多少度？

【解析】（1）设用电量为度，对应电费为元，

由题意得：当时，；

当时，，

即，

当时，，

所以该月电费为56元；

（2）因为时，，

所以该户用电量超过了100度，

令，解得：，

故其用电量为125度.

21．已知的内角，，所对的边分别为，，，若，，且．

(1)求；

(2)求．

【解析】（1）由正弦定理得：，

∴，即，

解得；

（2）∵，

∴，

∴，

由余弦定理得：，

∴，

即，

解得：或．

22．如图，四棱锥的底面是正方形，侧面PAD是正三角形，，且侧面底面ABCD，E为侧棱PD的中点．

(1)求证：平面EAC；

(2)求三棱锥的体积．

【解析】(1)连接交于，连接，

∵、分别为、的中点，

∴，

∵平面，平面，

∴∥平面；

(2)

过P作PF⊥AD于F，

∵侧面PAD是正三角形，∴PF⊥AD，

∵平面底面ABCD，平面底面ABCD＝AD，平面PAD，

∴PF⊥平面ABCD，

故.