2023年7月浙江省普通高中学业水平合格性考试数学模拟卷03

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2023年7月浙江省普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟试卷03（考试时间：80分钟；满分：100分）一、选择题(本大题共12小题，每题3分，共36分，每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1.  设集合，，，则(    )A.  B.  C.  D. 【答案】D 【解析】【分析】本题主要考查集合的交集、并集运算，比较基础．
根据集合的基本运算即可求，再求．【解答】解：集合，，
则，
，
；
故选：．  2.  已知命题，则是(    )A.  B.
C.  D. 【答案】C 【解析】【分析】本题考查全称量词命题与存在量词命题的否定，属于基础题．
根据全称量词命题的否定直接求解即可．【解答】解：全称量词命题的否定是存在量词命题．
因为命题  ，所以  是  ．故选C．  3.  方程的解集为(    )A.  B.  C.  D. 【答案】A 【解析】【分析】本题主要考查对数方程的求解，属于基础题．
把左右两边化为同底数的指数式计算即可．【解答】解：，化简得可得解得，
方程的解集为．
故选A．  4.  函数的图象大致是(    )A.  B.
C.  D. 【答案】A 【解析】【分析】解：易知在区间上，
当时，，即
当时，，即
当时，，即．
又当时，，
据此可知只有选项符合条件．【解答】本题考查函数图象的识别，属中档题．
根据分析在的不同区间子集上与的大小可得函数值的正负，结合时的函数值的正负排除三个错误选项即可得解．  5.  在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值是(    )A.  B.  C.  D. 【答案】B 【解析】【分析】本题考查异面直线所成角，余弦定理的应用．
连接，则异面直线与所成角为或其补角，设，在中由余弦定理求解即可．【解答】解：连接，显然，所以异面直线与所成角为或其补角，不妨设，因为，
所以，，得，
又因为，所以，，
因为，，
由勾股定理可知，在中由余弦定理得，
所以异面直线与所成角的余弦值为．故选：．  6.  “”是“函数的最小值大于”的(    )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】本题考查充分、必要、充要条件的判断，由基本不等式求取值范围，属于基础题．
先利用基本不等式求出的取值范围，再根据充分条件和必要条件的定义进行判断，即可得到答案．【解答】解：若，，，当且仅当时取等号，，充分性成立；
若的最小值大于，
当时，易知函数在上单调递增，则函数无最小值，
当时，，，，必要性成立．
所以“”是“函数的最小值大于”的充要条件．
故本题选C．  7.  若，则下列结论中不恒成立的是(    )A.  B.  C.  D. 【答案】D 【解析】【分析】本题主要考查不等式的基本性质，还考查了理解辨析的能力．
将，转化为，利用不等式的基本性质判断，的正误，利用完全平方公式判断的正误，利用特殊值判断的正误．【解答】解：因为，所以所以，即，故A，B正确．因为，所以，又，所以故C正确．当时，，故D错误．故选：  8.  将函数的图像向右平移，再将横坐标上所有的点伸长为原来的倍，再向上平移个单位，得到函数，则的函数解析式为(    )A.  B.
C.  D. 【答案】C 【解析】【分析】本题考查函数图象变换，考查函数的解析式，属于基础题．
由图象变换法则求解即可．【解答】解：函数的图像向右平移，得到的函数解析式为，
再将横坐标上所有的点拉伸为原来的倍，得到的解析式为，
故．  9.  设函数是单调递增的一次函数，满足，则(    )A.  B.  C.  D. 【答案】D 【解析】【分析】
设，，代入条件，由恒等式的性质可得方程，解方程可得的解析式．
本题考查函数的解析式的求法，注意运用待定系数法，是一道基础题．【解答】解：是单调递增的一次函数，
设，，
，
，，
解得，或，不合题意舍去，
；
故选：．  10.  若实数，满足，则的最大值是．(    )A.  B.  C.  D. 【答案】B 【解析】【分析】本题考查基本不等式求最值，属于中档题．
由题可以得出，同号，利用基本不等式即可求解．【解答】解：因为实数，满足，为使取得最大值，必有，同号，
因为，当且仅当，即，或时，等号成立，所以，
因此的最大值为．
故选：．  11.  为测量两塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如图所示的几何模型．若平面，平面，，，，，，则塔尖之间的距离为(    )
A.  B.  C.  D. 【答案】B 【解析】【分析】本题考查解三角形，数形结合思想，考查学生的计算能力，属于中档题．
通过所给条件依次求出，，再由余弦定理可求得．【解答】解：由题得，在中，，则，
在中，，
则在中，由余弦定理可得，
则．
故选：．  12.  若函数的零点所在的区间为，则整数的值为(    )A.  B.  C.  D. 【答案】C 【解析】【分析】本题主要考查函数零点存在区间的判断，根据函数的单调性以及函数零点的判断条件是解决本题的关键．
根据题意，分析函数的定义域，由函数零点的判定定理即可得到结论．【解答】解：函数的定义域为，且函数单调递增，
，，
在内函数存在零点，，
故选：．  二、多选题(本大题共4小题，每题4分，共16分，每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对得2分，有错选的得0分）13.  已知关于的不等式的解集为，则(    )A.
B.
C.
D. 不等式的解集为【答案】BCD 【解析】【分析】本题考查二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系，解一元二次不等式，属于中档题．
利用二次不等式的解集的性质可得，且是方程的两个不等实根，再利用根与系数的关系，依次判断选项即可得解．【解答】解：对于，因为不等式的解集为，
所以，且是方程的两个不等实根，
所以，又，
所以，故A错误，B正确；对于，令，满足，则可化为，故C正确；对于，由选项AB分析可得，即，又，所以可化为，又，
所以，解得，则的解集为，故D正确．故选：．  14.  某小区为了让居民了解更多垃圾分类的知识，对名小区居民进行了培训，并进行了培训结果测试，从中随机抽取名居民的成绩单位：分，按照分成组，并制成了如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是(    )A. 所抽取的名居民成绩的平均数约为
B. 所抽取的名居民成绩的中位数约为
C. 名居民成绩的众数约为，
D. 参加培训的居民中约有人的成绩不低于分【答案】AD 【解析】【分析】本题主要考查频率分布直方图，考查平均数、中位数、众数，属于基础题．
对四个选项逐个判断，结合频率分布直方图即可得解．【解答】解：由频率分布直方图可得，
成绩在内的频率为，
则，
故可估计所抽取的名居民成绩的平均数为
，
所以A正确；
由频率分布直方图可知，成绩在内的频率为，
成绩在内的频率为，成绩在内的频率为，
所以中位数在内，
设中位数约为，
则．
解得，
所以所求中位数约为，
所以B错误；
最高矩形是第二个、第三个从左往右数，
这两个最高矩形数据的中间值为，
所以所求众数约为．
所以C错误．
由频率分布直方图可得成绩在内的频率为，
则成绩在内的频率为，
又成绩在内的频率为，
所以参加培训的居民中成绩不低于分的约有 人．
故D正确．
故选AD．  15.  已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列说法中正确的是(    )A. 若，，则直线平行于平面内的无数条直线
B. 若，，则
C. 若，，，则与是异面直线
D. 若，，则，一定相交【答案】AB 【解析】【分析】本题考查了空间直线与直线的位置关系和面面平行的性质，属于基础题．
根据相关知识，对各个选项逐一验证即可得出答案．【解答】解：对于，由已知在内有无数条直线和平行，根据平行公理直线平行于平面内的无数条直线，故正确；
对于，若，，根据面面平行的性质可以得出，故正确；
对于，若，，，则与是异面直线或是平行，故错误；
对于，若，，则，，可能相交或平行，故错误．
故选AB．  16.  已知函数，则下列说法正确的是(    )A. 是的一个对称中心
B. 把图像向右平移个单位后得到的函数图像是关于轴对称的
C. 函数在时的值域为
D. 不等式的解集是【答案】BC 【解析】【分析】本题考查函数的图象和性质，属于中档题．
先化简函数解析式，然后根据正弦型函数的性质逐项进行分析即可求解．【解答】解：首先结合三角恒等变换化简函数解析式为，
当时，，此时函数值是，故函数的一个对称中心应是，故A不正确；
根据图象的平移变换规律，可知函数图像向右平移个单位后得到的函数解析式为
，显然该函数为偶函数，故B正确；
当时，函数值域为，故C正确；
不等式即，其解集为，故D不正确．
故选：．  三、填空题(本大题共4小题，每空3分，共15分）17.  已知是虚数单位，则复数的实部是    ，    ． 【答案】   【解析】【分析】本题考查复数的乘法的运算法则以及复数的基本概念的应用，属于基础题．
利用复数的乘法的运算法则，化简求解即可．【解答】解：复数，
所以复数的实部是．
 故答案为：．  18.  已知平面向量，若，则          ．【答案】 【解析】【分析】本题考查平面向量的坐标运算，向量垂直，以及向量的数量积，属于基础题．
由平面向量的坐标运算得到，再由可得关于的方程，即可得解．【解答】解：因为向量，
所以，
若，
所以，解得．
故答案为：．  19.  已知甲运动员的投篮命中率是，乙运动员的投篮命中率是，若甲、乙各投篮一次，则下列命题中正确的有          都命中的概率是      恰有一人命中的概率是
恰有一人没命中的概率是至少一人命中的概率是【答案】 【解析】【分析】本题考查命题真假的判断，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力．
利用相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式、对立事件概率计算公式直接求解．【解答】解：甲运动员的投篮命中率是，乙运动员的投篮命中率是，甲、乙各投篮一次，
对于，都命中的概率为，故正确；
对于，恰有一人命中的概率是，故正确；
对于，恰有一人没命中的概率是，故错误；
对于，至少一人命中的概率是，故正确．
故答案为  20.  如下图，在三棱锥中，，，分别是，，的中点，，分别是，的中点，设三棱柱的体积为，三棱锥的体积为，则：          ．
 【答案】 【解析】【分析】本题考查两个几何体的体积的比值的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
设三棱柱的高为，则三棱锥的高为，推导出，，由此能求出的值．【解答】解：设三棱柱的高为，则三棱锥的高为，
由题意知：，
，又，
，
．
故答案为．  四、解答题（本大题共3小题，共33分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）21.  本小题分函数在一个周期内的图象如图所示．求函数解析式；求的单调递增区间；当时，求的最大值和最小值． 【答案】解：由图象知，，，即．由图象过点，代入函数，即，因为，则，所以；令，，解得，，故函数的单调递增区间为，；因为，所以，则当时，即时，取最大值，最大值为，当时，即时，取最小值，最小值为，所以的最大值为，最小值为． 【解析】本题主要考查了由部分图象求解三角函数的解析式，以及正弦型函数的性质，属于中档题．
由函数图象的最大值和最小值求，由周期求，再代入特殊点求；把整体角代入正弦函数的单调递增区间，化简计算求得；由求出整体角的范围，再求正弦型函数的最大值和最小值．
 22.  本小题分已知函数，且求实数的值；判断函数在上的单调性，并用定义证明；求函数在上的值域． 【答案】解：  ，，解得．
由得，
函数在上单调递增，
证明如下：设，且，则有
，
，，，，
，即，
函数在上单调递增．
由得函数在上单调递增，
在上单调递增，
又，，
在上的值域是． 【解析】本题考查函数值的求法、证明函数的单调性、利用单调性求解值域等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
由，能求出实数的值；
设，且，对变形，判断正负，根据单调性的定义判断；
判断函数在上的单调性，能求出值域．
 23.  本小题分
如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点．
证明：平面平面；
求与平面所成角的正切值．
 【答案】证明：为直三棱柱，
平面，又面面面
由于，面面，面，
面，面，
又在矩形中，，点是的中点，D.
，，面．
面，
面，
面面；
解：过点作交于，

平面平面，面面，面D.
就是与平面所成角．
在中，，，
． 【解析】本题考查面面垂直，考查线面角，解题的关键是掌握面面垂直的判定，正确作出线面角，属于中档题．
先证明面面，由于，可得面，所以，再证明，可得面，从而可得面面；
过点作交于，可证的大小就是与平面所成角的大小，在中，可求与平面所成角的正切值．