新教材高一数学第二学期期末试卷十五（原卷版+教师版）

这是一份新教材高一数学第二学期期末试卷十五（原卷版+教师版），共19页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

新教材高一数学第二学期期末试卷
分值：150 时量：120分钟
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设，为的共轭复数，则（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，四边形ABCD是平行四边形，则（ ）

A. B. C. D.
4. 设m、n是两条不同直线，、是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
5. 某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层随机抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为260的样本，则从高三年级抽取的学生人数为（ ）
A. 40 B. 50 C. 80 D. 100
6. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为（ ）

A. B. C. D.
8. 在新冠病毒流行期间，为了让居民能及时了解疫情是否被控制，专家组通过会商一致认为：疫情被控制的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，记连续7天每天记录的新增感染人数的数据为一个预报簇，根据最新的连续四个预报簇①、②、③、④，依次计算得到结果如下：①平均数；②平均数，且标准差；③平均数，且极差；④众数等于1，且极差．其中符合疫情被控制的预报簇个数为（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
10. 若，，，则关于事件A与B的关系正确是（ ）
A. 事件A与B互斥 B. 事件A与B不互斥
C. 事件A与B相互独立 D. 事件A与B不相互独立
11. 下列命题中正确的是（ ）
A. 已知平面向量满足，则
B. 已知复数z满足，则
C. 已知平面向量，满足，则
D. 已知复数，满足，则
12. 将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折成二面角A−BD−C，形成四面体A−BCD，如图所示，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则（ ）

A. 若二面角A−BD−C60°，则AC=
B. 若二面角A−BD−C为90°，则EF⊥BC
C. 若二面角A−BD−C为90°，过EF且与BD平行平面截四面体A−BCD所得截面的面积为
D. 四面体A−BCD的外接球的体积恒为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若 ，则的最小值为________________．
14 ________．
15. 已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则该圆锥的表面积为________．
16. 在△ABC中，角A，B为锐角，若，则的最小值是________．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知向量，，．
（1）若与共线，求x的值；
（2）记，求函数的最大值和最小值及对应的x的值．




18. 如图，边长为4的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC中点，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A′．

（Ⅰ）求证A'D⊥EF；
（Ⅱ）求三棱锥A'﹣EFD的体积．











19. 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50），[50，60），……，[80，90），[90，100]．

（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）估计该企业的职工对该部门评分的50%分位数（保留一位小数）；
（3）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率．



20. 如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=2，CC1=3，点D，E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD=1，CE=2．

（1）设F为B1C1中点，求证；A1F∥平面BDE；
（2）求直线A1B1与平面BDE所成角的正弦值．








21. 滨湖区拟建 一主题游戏园，该游戏园为四边形区域，其中三角形区域为主题活动区，其中；、为游客通道(不考虑宽度), 且，通道、围成三角形区域为游客休闲中心，供游客休憩.

（1）求的长度；
（2）记游客通道与 长度和为，求的最大值.










22. 己知函数，．
（1）求的最小值；
（2）若在上有零点，求a的取值范围，并求所有零点之和．








新教材高一数学第二学期期末试卷
分值：150 时量：120分钟
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求的并集再求补集即可.【详解】易知，则，
故选：D.
2. 设，为的共轭复数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简复数，即可得到其共轭复数；
【详解】解：，，
故选：B．
3. 如图，四边形ABCD是平行四边形，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】由平面向量的加减法法则进行计算.
【详解】由题意得，，
所以.
故选：D.
4. 设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
【答案】D
【解析】【分析】根据线线、线面、面面位置关系有关知识对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】A选项，，，则可能平行，相交，异面，故A错误；
B选项，，，则可能，故B错误；
C选项，，，则可能，也可能，故C错误；
D选项，根据两条平行线中的一条直线垂直一个平面，则另一条也垂直该平面，故D正确.
故选：D.
5. 某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层随机抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为260的样本，则从高三年级抽取的学生人数为（ ）
A. 40 B. 50 C. 80 D. 100
【答案】D
【解析】【分析】利用分层随机抽样的概念即得.
【详解】因为高一、高二、高三年级的学生人数之比为，
所以从高三年级抽取的学生人数为．
故选：D.
6. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】根据指数函数和对数函数单调性和中间值比较大小
【详解】因为，所以
故选：A
7. 如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为（ ）


A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】将作为基底，利用空间向量基本定理用基底表示，然后对其平方化简后，再开方可求得结果
【详解】由题意得，，
因为,
所以
，所以，
故选：C
8. 在新冠病毒流行期间，为了让居民能及时了解疫情是否被控制，专家组通过会商一致认为：疫情被控制的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，记连续7天每天记录的新增感染人数的数据为一个预报簇，根据最新的连续四个预报簇①、②、③、④，依次计算得到结果如下：①平均数；②平均数，且标准差；③平均数，且极差；④众数等于1，且极差．其中符合疫情被控制的预报簇个数为（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】对于①、②举例判断，对于③，分别由极差为0，1，2进行分析即可，对于④，由于众数为1，极差，从而可判断出最大值
【详解】解：①错，举反例：0，0，0，0，2，6，6，其平均数，不符合指标，
②错，举反例：0，3，3，3，3，3，6，其平均数，且标准差，不符合指标，
③对，若极差等于0或1，在的条件下，显然符合指标；
若极差等于2且，则每天新增感染人数的最小值和最大值有下列可能：
（1）0，2，（2）1，3，（3）2，4，符合指标，
④对，若众数等于1且极差小于或等于4，则最大值不超过5，符合指标，
故选：B．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
【答案】AB
【解析】
【分析】根据同一函数对应法则、定义域都相同，结合各选项中的函数解析式判断是否为同一函数即可.
【详解】A：与的对应法则、定义域都相同，符合；
B：与的对应法则、定义域都相同，符合；
C：与的对应法则不同，不符合；
D：与的对应法则不同，不符合.
故选：AB
10. 若，，，则关于事件A与B的关系正确是（ ）
A. 事件A与B互斥 B. 事件A与B不互斥
C. 事件A与B相互独立 D. 事件A与B不相互独立
【答案】BC
【解析】
【分析】根据互斥与独立事件的定义判断即可
【详解】因为，所以与能同时发生，不是互斥事件，故A错误，B正确；
，所以，又，故成立，故事件A与B相互独立，故C正确，D错误
故选：BC
11. 下列命题中正确的是（ ）
A. 已知平面向量满足，则
B. 已知复数z满足，则
C. 已知平面向量，满足，则
D. 已知复数，满足，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】结合选项逐个验证，向量的模长运算一般利用平方处理，复数问题一般借助复数的运算来进行.
【详解】因为，所以A正确；
设，则，因为，所以，
所以，所以B正确；
因为，所以，即，所以C正确；
因为，然而，所以D不正确.
故选：ABC.
12. 将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折成二面角A−BD−C，形成四面体A−BCD，如图所示，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则（ ）

A. 若二面角A−BD−C为60°，则AC=
B. 若二面角A−BD−C为90°，则EF⊥BC
C. 若二面角A−BD−C为90°，过EF且与BD平行的平面截四面体A−BCD所得截面的面积为
D. 四面体A−BCD的外接球的体积恒为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，取的中点，连接，则可得为二面角的平面角，然后可得为等边三角形，从而可求出的长，对于B，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量判断，对于C，取的中点，的中点，连接，可证得过且与平行的平面截四面体所得的截面为矩形，从而可求出其面积，对于D，由正方形的性质可知,所以可得点为四面体A−BCD的外接球的球心，而半径为定值，所以可得外接球的体为定值
【详解】对于A，取的中点，连接，因为，所以，所以为二面角的平面角，所以，因为，所以为等边三角形，所以，所以A正确，

对于B，由选项A可知，为二面角的平面角，因为二面角A−BD−C为90°，所以，所以两两垂直，所以以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则
，所以，
因为点E，F分别为线段BC，AD的中点，
所以,所以，
所以，
所以与不垂直，即与不垂直，所以B错误，

对于C，取的中点，的中点，连接，
因为点E，F分别为线段BC，AD的中点，
所以∥，∥，∥，∥，
,所以四点共面，
因为平面，平面,所以∥平面,
由选项A可知，
因为，所以平面，
因为平面，所以，所以，
所以过且与平行的平面截四面体所得的截面为矩形，
因为二面角A−BD−C为90°，所以,所以
因为,，所以截面的面积为，所以C正确，

对于D，因为由正方形的性质可知，
所以可得点为四面体A−BCD的外接球的球心，且球的半径为，
所以四面体A−BCD的外接球的体积恒为，所以D正确，
故选：ACD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若 ，则的最小值为________________．
【答案】
【解析】【分析】利用基本不等式求得最小值.
【详解】，当且仅当时等号成立.
故答案为：
14. ________．
【答案】
【解析】
【分析】先利用诱导公式化简，再利用差角公式求解.
【详解】.
故答案为：
15. 已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则该圆锥的表面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】设圆锥的母线长为，则由题意可得，求出，从而可求出侧面积，进而可求得其表面积【详解】设圆锥的母线长为，圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，
所以，解得，所以圆锥的表面积为，
故答案为：
16. 在△ABC中，角A，B为锐角，若，则的最小值是________．
【答案】
【解析】【分析】由题意，再根据两角和的正弦公式，结合同角三角函数的关系可得，再结合基本不等式求最值即可
【详解】因为，故，即，因为角A，B为锐角，故，由基本不等式，即，故，当且仅当时取等号.
故答案为：
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知向量，，．
（1）若与共线，求x的值；
（2）记，求函数的最大值和最小值及对应的x的值．
【答案】（1） （2）时；时
【解析】【分析】（1）根据向量平行的坐标表示即可求解.
（2）现用向量数量积的坐标表示求出，再根据的单调性求出最大最小值.
【小问1详解】因为.
由可得，即.所以.
【小问2详解】
因，.
所以，当，即时，.
当，即时，.
18. 如图，边长为4的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC中点，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A′．

（Ⅰ）求证A'D⊥EF；
（Ⅱ）求三棱锥A'﹣EFD的体积．
【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）．
【解析】【分析】(Ⅰ)取EF中点M,再证明EF⊥平面A′DM即可.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,再求解与即可.
【详解】（Ⅰ）证明：取EF中点M,连接A′M,DM,
显然,DE＝DF,故DM⊥EF；
显然,A′E＝A′F,则A′M⊥EF,
又A′M∩DM＝M,且都在平面A′DM内,
∴EF⊥平面A′DM,
∵A′D⊂平面A′DM,
∴A′D⊥EF；
（Ⅱ）易知,,
,,,∴DM2＝A′M2+A′D2
∴,∴．

【点睛】本题主要考查了异面直线垂直的证明,同时也考查了体积求法中的切割求解,需要根据题意找到合适的底面与高,属于中等题型.
19. 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50），[50，60），……，[80，90），[90，100]．

（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）估计该企业的职工对该部门评分的50%分位数（保留一位小数）；
（3）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率．
【答案】（1） （2）76.4 （3）
【解析】【分析】(1)根据频率分布直方图的各个小矩形的面积之和为1求出a；
(2)根据频率分布直方图估计中位数；
(3)根据频率分布直方图求出从评分在和的人中抽取的人数，再根据古典概型计算概率.
【小问1详解】由频率分布直方图得：，解得．
【小问2详解】评分在的概率为，评分在的概率为，该企业的职工对该部门评分的50%分位数位于，所以50%分位数为；
【小问3详解】受访职工中评分在的有：人，记为，，，
受访职工中评分在的有：人，记为，，
从这5名受访职工中随机抽取2人，所有的可能结果有10种，分别为：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
此2人评分都在包含的基本事件有，，，，，，共3个，
从评分在的受访职工中，随机抽取2人，此2人评分都在的概率．
20. 如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=2，CC1=3，点D，E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD=1，CE=2．

（1）设F为B1C1中点，求证；A1F∥平面BDE；
（2）求直线A1B1与平面BDE所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】【分析】（1）取BE中点G，连接FG、DG，可得四边形A1DGF为平行四边形，再由线面平行的判定定理可得答；
（2）以为原点，为的正方向建立空间直角坐标系，求出，
平面的一个平面法向量，利用线面角的向量求法可得答案.
【小问1详解】
取BE中点G，连接FG、DG，

则FG//CC1//AA1，，
所以FG//A1D且FG=A1D，所以四边形A1DGF为平行四边形，所以A1F//DG，
又A1F平面BDE，DG平面BDE，所以AF1//平面BDE.
【小问2详解】以为原点，为的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，，，，
，设平面的一个平面法向量为，所以
，即，令，则，，
设直线的直线与平面BDE所成角的为，
所以.

21. 滨湖区拟建 一主题游戏园，该游戏园为四边形区域，其中三角形区域为主题活动区，其中；、为游客通道(不考虑宽度), 且，通道、围成三角形区域为游客休闲中心，供游客休憩.

（1）求的长度；
（2）记游客通道与 的长度和为，求的最大值.
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【详解】试题分析：（1）由正弦定理可知,代入数据便可求得长度；（2）在三角形中，,可假设，利用正弦定理可求得,从而将转化为关于的三角函数，再利用三角恒等变换及函数的最值求得的最大值.
试题解析：（1）由已知由正弦定理，得 得.
（2）在中，设，由正弦定理，
，
.
因，当时， 取到最大值.
考点：正弦定理，三角恒等变换，函数的最值.
【方法点睛】本题主要考查正弦定理的运用及利用三角恒等变换求最值．在三角形中，当已知两角及其一角的对边时，经常利用正弦定理来求得另一边，而对于三角形中两边和（周长）的取值范围，可利用正弦定理将和（周长）转化为某一个内角的三角函数，经过三角恒等变换，然后结合函数的单调性求得最值．
22. 己知函数，．
（1）求的最小值；
（2）若在上有零点，求a的取值范围，并求所有零点之和．
【答案】（1）（a） （2），所有零点之和为
【解析】【分析】（1）由函数，根据，，得到，，分，，，讨论求解；
由，根据，得到，令，，得到，利用勾函数的性质求解.
小问1详解】解：函数，
，，，，
当时，即时，则时，取得最小值（a）；
当时，即时，则时，取得最小值（a）；
当时，即时，则时，取得最小值（a）．
综上可得，（a）．
【小问2详解】，，，，
由，可得，当时，此等式不成立．
故有，，令，，则，
令，则，
由对勾函数的性质得：函数在上单调递减，
故当m=1，即时，；当m趋于0，即趋于1时，趋于正无穷大，
所以，所有零点之和为．