2023年辽宁省丹东市凤城市中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2023年辽宁省丹东市凤城市中考数学一模试卷（含解析），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年辽宁省丹东市凤城市中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若一个数的相反数是5，则这个数是(    )
A. 5 B. 0或5 C. ±5 D. −5
2. 下列计算正确的是(    )
A. 5+ 2= 7 B. 7m−4m=3 C. a5⋅a3=a8 D. (13a3)2=19a9
3. 如图，正三棱柱的主视图为(    )


A. B. C. D.
4. 为落实“双减”政策，学校随机调查了部分学生一周平均每天的睡眠时间，统计结果如表，则这些被调查学生睡眠时间的众数和中位数分别是(    )
时间/小时
7
8
9
10
人数
7
9
11

3

A. 9，8 B. 9，8.5 C. 10，9 D. 11，8.5
5. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，∠AED=∠C，若AD=3，△AED的面积为4，四边形BCDE的面积为12，那么AB的长为(    )


A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
6. 人类的性别是由一对性染色体(X,Y)决定，当染色体为XX时，是女性；当染色体为XY时，是男性.如图为一对夫妻的性染色体遗传图谱，如果这位女士怀上了一个小孩，该小孩为女孩的概率是(    )

A. 14 B. 13 C. 12 D. 34
7. 关于x的一元二次方程(1−a)x2+2x−1=0有两个实数根，则实数a的取值范围是(    )
A. a≥2 B. a≤2且a≠1 C. a>2 D. a<2且a≠1
8. 如图，点A，B，E在同一条直线上，正方形ABCD，BEFG的边长分别为3，4，H为线段DF的中点，则图中阴影部分的面积是(    )
A. 12
B. 6
C. 7 2
D. 5 2
9. 如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)，顶点坐标(1,n)，与y轴的交点在(0,2)，(0,3)之间(包含端点)，则下列结论：①3a+b<0；②−1≤a≤−23；③对于任意实数m，a(m2−1)+b(m−1)≤0总成立；④关于x的方程ax2+bx+c=n+1有两个不相等的实数根.其中结论正确的个数为(    )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
10. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=2，BD是AC边上的中线，将△BCD沿射线CB方向以每秒 3个单位长度的速度平移，平移后的三角形记为△B′C′D′，设△B′C′D′与△ABD重叠部分的面积为y，平移运动的时间为x，当点C′与点B重合时，△B′C′D′停止运动，则下列图象能反映y与x之间函数关系的是(    )

A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 分解因式：2a3−2a=______．
12. 2022年冬奥运即将在北京举行，北京也即将成为迄今为止唯一一个既举办过夏季奥运会，又举办过冬季奥运会的城市，据了解北京冬奥会的预算规模为15.6亿美元，政府补贴6%(9400万美元)，其中1 560 000 000用科学记数法表示为______．
13. 将抛物线y=(x−1)2−2先向左平移2个单位长度，再向上平移h个单位长度.若得到的抛物线经过点(−2,3)，则h的值是______ ．
14. 一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于12，由此可估计袋中约有红球______ 个
.
15. 如图，矩形AEFG的顶点E、F分别在菱形ABCD的边AB和对角线BD上，连接EG、CF，若EG=5，则CF的长为______．


16. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，▱OABC在第一象限，边OA在x轴上，反比例函数y=1x的图象过点C，y=kx(k≠0)的图象经过点B，若AC=OC，则k的值为______．

17. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=4 2，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A′EF，连接A′C，A′D则当△A′DC是以A′D为腰的等腰三角形时，FD的长是______．
18. 如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点D是BC边上的动点(不与点B、C重合)，DE与AC交于点F，连结CE.下列结论：①BD=CE；②∠DAC=∠CED；③若BD=2CD，则CFAF=45；④在△ABC内存在唯一一点P，使得PA+PB+PC的值最小，若点D在AP的延长线上，且AP的长为2，则CE=2+ 3.其中含所有正确结论的选项是______．

三、解答题（本大题共8小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
先化简，再求值：a2−4a+4a2−a÷(3a−1−a−1)，其中a=−(tan45°)−1+ 12−4sin60°．
20. (本小题14.0分)
我市为加快推进生活垃圾分类工作，对分类垃圾桶实行统一的外型、型号、颜色等，其中，可回收物用蓝色收集桶，有害垃圾用红色收集桶，厨余垃圾用绿色收集桶，其他垃圾用灰色收集桶．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，某校宣传小组就“用过的餐巾纸应投放到哪种颜色的收集桶”在全校随机采访了部分学生，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
(1)此次调查一共随机采访了______名学生，在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为______度；
(2)补全条形统计图(要求在条形图上方注明人数)；
(3)若该校有3600名学生，估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数；
(4)李老师计划从A，B，C，D四位学生中随机抽取两人参加学校的垃圾分类知识抢答赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中A，B两人的概率．
21. (本小题12.0分)
为有效落实双减工作，切实做到减负提质，很多学校决定在课后看护中增加乒乓球项目.体育用品商店得知后，第一次用600元购进乒乓球若干盒，第二次又用600元购进该款乒乓球，但这次每盒的进价是第一次进价的54倍，购进数量比第一次少了30盒，求第一次每盒乒乓球的进价是多少元？
22. (本小题12.0分)
如图，某海岸边有B，C两码头，C码头位于B码头的正东方向，距B码头40海里．甲、乙两船同时从A岛出发，甲船向位于A岛正北方向的B码头航行，乙船向位于A岛北偏东30°方向的C码头航行，当甲船到达距B码头30海里的E处时，乙船位于甲船北偏东60°方向的D处，求此时乙船与C码头之间的距离．(结果保留根号
)

23. (本小题12.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接DF．
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)连接DE，求证：△BDE∽△BAD；
(3)若BE=52，sinB=35，求AD的长．





24. (本小题12.0分)
某商店购进了一批以欢度春节为主题的玩具饰品进行销售，玩具饰品的进价为每件30元，物价部门规定其每件的售价不低于进价且利润不高于进价的90%，根据市场调查发现，每天销售量y(件)与销售单价x(元)的关系如图所示，在销售过程中每天还要支付其他费用共850元．
(1)求每天销售量y(件)与销售单价x(元)的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)求该批玩具的每天销售利润W(元)与销售单价x(元)的函数关系式；
(3)当销售单价为多少元时，该批玩具每天销售利润最大，最大利润为多少元？

25. (本小题12.0分)
如图①，E在AB上，△ACB、△ADE都为等腰直角三角形，∠ADE=∠ACB=90°，连接DB，以DE、DB为边作平行四边形DBFE，连接FC、DC．

(1)求证：CD=CF；CD⊥CF；
(2)将图①中△ADE绕A点顺时针旋转，其它条件不变，如图②，(1)的结论是否成立？说明理由．
(3)将图①中的△ADE绕A点顺时针旋转a°，0<α≤360，其它条件不变，当四边形DBFE为矩形时，直接写出α的值．
26. (本小题14.0分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2+bx+c与坐标轴交于A(4,0)，B(−1,0)两点，直线AC：y=2x−8交y轴于点C.点E为直线AD上方抛物线上一动点，过点E作x轴的垂线，垂足为G，EG分别交直线AC，AD于点F，H．
(1)求抛物线y=−12x2+bx+c的表达式；
(2)当GH=1时，连接AE，求△AEH的面积；
(3)Q是y轴上一点，当四边形AFQH是矩形时，请直接写出点Q的坐标；
(4)在(3)的条件下，第四象限有一动点P，满足PQ=PC+3，请直接写出△PQA周长的最小值．


答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：一个数的相反数是5，则这个数是−5．
故选：D．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数的概念，关键是掌握相反数的定义．

2.【答案】C 
【解析】
【分析】
直接利用二次根式的加减运算法则以及同底数幂的乘法运算法则以及积的乘方运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的加减运算以及同底数幂的乘法运算以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
【解答】
解：A、 5和 2不是同类二次根式无法合并，故此选项错误；
B、7m−4m=3m，故此选项错误；
C、a5⋅a3=a8，正确；
D、(13a3)2=19a6，故此选项错误；
故选：C．  
3.【答案】B 
【解析】
【分析】
根据正三棱柱的主视图是矩形，主视图中间有竖着的实线，即可解答．
本题考查三视图．在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．
【解答】
解：正三棱柱的主视图是矩形，主视图中间有竖着的实线．
故选：B．  
4.【答案】A 
【解析】解：抽查学生的人数为：7+9+11+3=30(人)，
这30名学生的睡眠时间出现次数最多的是9小时，共出现11次，因此众数是9小时，
将这30名学生的睡眠时间从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为8+82=8，因此中位数是8小时．
故选：A．
根据中位数、众数的意义求解即可．
本题考查中位数、众数，理解中位数、众数的意义，掌握中位数、众数的计算方法是解决问题的关键．

5.【答案】C 
【解析】解：∵∠AED=∠C，∠DAE=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADES△ABC=(ADAB)2，
∵△AED的面积为4，四边形BCDE的面积为12，
∴△ABC的面积为16，
∴(3AB)2=416，
解得AB=6．
故选：C．
先根据相似三角形的判定方法证明△ADE∽△ABC，则根据相似三角形的性质得到S△ADES△ABC=(ADAB)2，然后利用比例的性质可求出AB的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质是解决问题的关键．

6.【答案】C 
【解析】解：画树状图如下：

共有4种等可能的结果，其中该小孩为女孩的结果有2种，
∴该小孩为女孩的概率为24=12，
故选：C．
画树状图，共有4种等可能的结果，其中该小孩为女孩的结果有2种，再由概率公式求解即可．
本题考查了树状图法求概率以及概率公式，正确画出树状图是解题的关键．

7.【答案】B 
【解析】解：根据题意得1−a≠0且Δ=22−4(1−a)×(−1)≥0，
解得a≤2且a≠1，
即实数a的取值范围是a≤2且a≠1．
故选：B．
利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到1−a≠0且Δ=22−4(1−a)×(−1)≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．

8.【答案】B 
【解析】解：如图，连接BD，

∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，
∴AB=AD=3，BE=EF=4，∠A=∠E=90°，∠ABD=∠CBD=∠EBF=∠FBG=45°，
∴∠DBF=90°，BD=3 2，BF=4 2，
∴Rt△BDF的面积=12×BD⋅BF=12×3 2×4 2=12，
∵H为线段DF的中点，
∴图中阴影部分的面积=12×12=6
故选：B．
连接BD，由正方形的性质可得：∠CBD=∠FBG=45°，∠DBF=90°，再应用勾股定理求BD、BF，然后利用三角形面积公式即可求解．
本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形边的关系、勾股定理、直角三角形性质等，解题关键添加辅助线构造直角三角形．

9.【答案】C 
【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(1,n)，
∴−b2a=1,4ac−b24a=n，
∴2a+b=0，
∵a<0，
∵3a+b=a+2a+b<0，
故①正确．
∵抛物线与x轴交于点(−1,0)，
∴a−b+c=0，
∴c=b−a，
由①知：2a+b=0，即b=−2a，
∴c=−2a−a=−3a，
又∵抛物线与y轴的交点(0,c)在(0,2)，(0,3)之间(含端点)，
∴2≤c≤3，
∴2≤−3a≤3，
∴−1≤a≤−23，
故②正确．
∵抛物线y=ax2+bx+c开口向下，
∴a<0，
又∵a(m2−1)+b(m−1)=am2+bm−a−b(a≠0)，
令g=am2+bm−a−b，
∴关于m的二次函数g=am2+bm−a−b开口向下，
若对于任意实数m，a(m2−1)+b(m−1)≤0总成立，
故需判断Δ=b2−4a(−a−b)与0的数量关系，
由以上分析知：b=−2a，
∴Δ=(−2a)2−4a(−a+2a)=0，
故③正确．
由以上分析知：a<0,b=−2a,c=−3a,n=4ac−b24a，
∴n=4a⋅(−3a)−(−2a)24a=−4a，
∴Δ=b2−4a(c−n+1)=(−2a)2−4a(−3a+4a+1)=−4a>0，
∴关于x的方程ax2+bx+c=n+1无实数根．
故④错误．
故选：C．
由抛物线开口方向判断a与0的关系，由抛物线与x轴交点坐标判断a、b、c的关系，由顶点坐标及顶点坐标公式推断a、b的关系及n与a、b、c的关系，由抛物线与y轴的交点坐标判断c的取值范围，进而对所得结论进行推断．
主要考查二次函数图象与系数的关系、顶点坐标以及根的判别式的熟练使用．

10.【答案】A 
【解析】解：当x=1时，如图1，平移了 3个单位长度，即CC′= 3，
∵∠ABC=90*，∠ACB=30°，AB=2，
∴AC=2，AB=4，BC=ABtan30∘=2 33=2 3，
∴BC′=CC′= 3，S△ABC=12AB⋅BC=12×2×2 3=2 3，
∴S△ABD=12S△ABC=12×2 3= 3，
∵△ABC中，∠ABC=90°，BD是AC边上的中线，
∴BD=12AC=AD=CD=2，
∴△BCD与△B′C′D′是等腰三角形，
∵△BCD沿射线CB方向平移后的三角形记为△B′C′D′，
∴AC//C′D′，
∵BC′=CC′= 3，
∴D′E是△ABD的中位线，
∴D′E=12AD，
∴S△BD′E=14S△ABD=14× 3= 34，
即x=1时，S△BD′E= 34，故C、D错误，
当x>1时，如图2：
∵AC//C′D′，
∴△BHE△BAD，
∴BC′BC=2 3− 3x2 3，
∴S△BHE=(2 3− 3x2 3)2S△ABD=(2 3− 3x2 3)2⋅ 3= 34x2− 3x+ 3，
可见当：>1时，S△BHE= 34x2− 3x+ 3，函数图像为开口向上的抛物线，则A符合题意，B为一次函数不符合题意．
故选：A．
先求△ABC中各边的关系，得BD=12AC=AD=CD=2，取特殊值当x=1时，求出重叠的面积为S△BD′E=14S△ABD= 34，排除C、D，当x>1时，通过AC//C′D′，得△BHE△BAD，那么BC′BC=2 3− 3x2 3，则当：>1时，S△BHE=(2 3− 3x2 3)2S△ABD= 34x2− 3x+ 3，函数图像为开口向上的抛物线，则只有A符合题意．
本题是相似形综合题，考查了中位线定理，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，直角三角形性质，二次函数的图形等知识点，熟练利用特殊点法和数形结合思想是解题的关键．

11.【答案】2a(a+1)(a−1) 
【解析】
【分析】
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
先提取公因式2a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】
解：2a3−2a
=2a(a2−1)
=2a(a+1)(a−1)．
故答案为2a(a+1)(a−1)．  
12.【答案】1.56×109 
【解析】解：1560000000=1.56×109，
故答案为：1.56×109．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

13.【答案】4 
【解析】解：将抛物线y=(x−1)2−2向左平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到抛物线对应的函数表达式为y=(x−1+2)2−2+h，即y=(x+1)2−2+h．
∵得到的抛物线经过点(−2,3)，
∴3=(−2+1)2−2+h，
∴h=4．
故答案为：4．
直接利用二次函数平移规律“上加下减，左加右减”得出平移后解析式，再把点(−2,3)代入求出h的值即可．
此题主要考查了二次函数的图象与几何变换，正确运用二次函数平移规律是解题关键．

14.【答案】3 
【解析】解：∵通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于12，
∴可估计摸到红球的概率约为12，
设袋中红球的个数为x，
根据题意，得：x1+2+x=12，
解得x=3，
经检验：x=3是分式方程的解，
所以可估计袋中约有红球3个，
故答案为：3．
先根据摸到红球的频率稳定于12可估计摸到红球的概率约为12，再设袋中红球的个数为x，根据概率公式列出关于x的方程，解之得出答案．
此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

15.【答案】5 
【解析】解：连接AF，

∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABF=∠CBF，AB=BC，
又∵BF=BF，
∴△ABF≌△CBF(SAS)，
∴AF=CF，
∵四边形AEFG为矩形，
∴EG=AF，
∴EG=CF，
∵EG=5，
∴CF=5，
故答案为：5．
连接AF，由菱形的性质得出∠ABF=∠CBF，AB=BC，可证明△ABF≌△CBF(SAS)，由全等三角形的性质得出AF=CF，由矩形的性质得出EG=AF，则可得出答案．
本题考查了菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握菱形和矩形的性质是解题的关键．

16.【答案】3 
【解析】解：过点C作CH⊥OA于点H，过点A作AG⊥BC于点G，如图所示：

∵反比例函数y=1x的图象经过点C，
设C点坐标为(m,1m)，
∵四边形OABC是平行四边形，OC=AC，
∴OH=AH，CG=BG，
∴OA=BC=2m，
∵边OA在x轴上，
∴点B坐标为(3m,1m)，
∵y=kx(k≠0)的图象经过点B，
∴k=3m⋅1m=3，
故答案为：3．
设C点坐标为(m,1m)，根据平行四边形的性质和等腰三角形的性质表示出点B的坐标，再代入y=kx即可．
本题主要考查反比例函数的图象和性质，平行四边形的性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．

17.【答案】4 2−2或3 2 
【解析】解：①当A′D=DC时，如图1，连接ED，
∵点E是AB的中点，AB=4，BC=4 2，四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=4 2，∠A=90°，
∴DE= AE2+AD2=6，
∵将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A′EF，
∴A′E=AE=2，
∵A′D=DC=AB=4，
∴DE=A′E+A′D=6，
∴点E，A′，D三点共线，
∵∠A=90°，
∴∠FA′E=∠FA′D=90°，
设AF=x，则A′F=x，FD=4 2−x，
在Rt△FA′D中，42+x2=(4 2−x)2，
解得：x= 2，
∴FD=3 2；
②当A′D=A′C时，如图2，
∵A′D=A′C，
∴点A′在线段CD的垂直平分线上，
∴点A′在线段AB的垂直平分线上，
∵点E是AB的中点，
∴EA′是AB的垂直平分线，
∴∠AEA′=90°，
∵将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A′EF，
∴∠A=∠EA′F=90°，AF=FA′，
∴四边形AEA′F是正方形，
∴AF=AE=2，
∴DF=4 2−2，
故答案为：4 2−2或3 2．
存在两种情况：当A′D=DC，连接ED，勾股定理求得ED的长，可判断E，A′，D三点共线，根据勾股定理即可得到结论；当A′D=A′C，证明AEA′F是正方形，于是得到结论．
本题考查了翻折变换(折叠问题)，矩形的性质，等腰三角形的性质，正方形的判定和性质，分类讨论思想的运用是解题的关键．

18.【答案】①②③ 
【解析】解：如图1中，

∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴BD=EC，∠ADB=∠AEC，故①正确，
∵∠ADB+∠ADC=180°，
∴∠AEC+∠ADC=180°，
∴∠DAE+∠DCE=180°，
∴∠DAE=∠DCE=90°，
取DE的中点O，连接OA，OA，OC，则OA=OD=OE=OC，
∴A，D，C，E四点共圆，
∴∠DAC=∠CED，故②正确，
设CD=m，则BD=CE=2m.DE= 5m，OA= 52m，
过点C作CJ⊥DF于点J，
∵tan∠CDF=CJDJ=CECD=2，
∴CJ=2 55m，
∵AO⊥DE，CJ⊥DE，
∴AO//CJ，
∴CFAF=CJAO=2 55m 52m=45，故③正确．
如图2中，将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接PN，

∴BP=BN，PC=NM，∠PBN=60°，
∴△BPN是等边三角形，
∴BP=PN，
∴PA+PB+PC=AP+PN+MN，
∴当点A，点P，点N，点M共线时，PA+PB+PC值最小，此时∠APB=∠APC=∠BPC=120°，PB=PC，AD⊥BC，
∴∠BPD=∠CPD=60°，
设PD=t，则BD=AD= 3t，
∴2+t= 3t，
∴t= 3+1，
∴CE=BD= 3t=3+ 3，故④错误．
故答案为：①②③．
①正确．证明△BAD≌△CAE(SAS)，可得结论；
②正确．证明A，D，C，E四点共圆，利用圆周角定理证明；
③正确．设CD=m，则BD=CE=2m.DE= 5m，OA= 52m，过点C作CJ⊥DF于点J，求出AO，CJ，可得结论；
④错误．将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接PN，当点A，点P，点N，点M共线时，PA+PB+PC值最小，此时∠APB=∠APC=∠BPC=120°，PB=PC，AD⊥BC，设PD=t，则BD=AD= 3t，构建方程求出t，可得结论．
本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．

19.【答案】解：a2−4a+4a2−a÷(3a−1−a−1)
=(a−2)2a(a−1)÷3−(a+1)(a−1)a−1
=(a−2)2a(a−1)⋅a−13−a2+1
=(a−2)2a(a−1)⋅a−1(2+a)(2−a)
=2−aa(2+a)
=2−a2a+a2，
当a=−(tan45°)−1+ 12−4sin60°=−1+2 3−4× 32=−1时，原式=2−(−1)2×(−1)+(−1)2=−3． 
【解析】先化简括号内的式子，然后计算括号外的除法，再将a的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值、特殊角的三角函数值、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．

20.【答案】(1)200，198
(2)绿色部分的人数为200−(16+44+110)=30(人)，
补全图形如下：

(3)估计该校学生将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数3600×16200=288(人)；
(4)列表如下：

A
B
C
D
A

(B,A)
(C,A)
(D,A)
B
(A,B)

(C,B)
(D,B)
C
(A,C)
(B,C)

(D,C)
D
(A,D)
(B,D)
(C,D)

由表格知，共有12种等可能结果，其中恰好抽中A，B两人的有2种结果，
所以恰好抽中A，B两人的概率为212=16． 
【解析】解：(1)此次调查一共随机采访学生44÷22%=200(名)，
在扇形统计图中，“灰”所在扇形的圆心角的度数为360°×110200=198°，
故答案为：200，198；
(2)见答案
(3)见答案
(4)见答案
(1)由投放蓝色垃圾桶的人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以投放灰色垃圾桶的人数所占比例；
(2)根据投放四种垃圾桶的人数之和等于总人数求出绿色部分的人数，从而补全图形；
(3)用总人数乘以样本中将用过的餐巾纸投放到红色收集桶的人数占被调查人数的比例即可；
(4)列表得出所有等可能结果，从中找到恰好抽中A，B两人的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．

21.【答案】解：设第一次每盒乒乓球的进价是x元，则第二次每盒乒乓球的进价是54x元，
由题意得：600x=60054x+30，
解得：x=4，
经检验：x=4是原分式方程的解，且符合题意，
答：第一次每盒乒乓球的进价是4元． 
【解析】设第一次每盒乒乓球的进价是x元，则第二次每盒乒乓球的进价是54x元，由题意：第一次用600元购进乒乓球若干盒，第二次又用600元购进该款乒乓球，购进数量比第一次少了30盒．列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，列出分式方程．

22.【答案】解：过D作DF⊥BE于F，
∵∠ADE=∠DEB−∠A=60°−30°=30°，
∴∠A=∠ADE，
∴AE=DE，
∵∠B=90°，∠A=30°，BC=40(海里)，
∴AC=2BC=80(海里)，AB= 3BC=40 3(海里)，
∵BE=30，
∴AE=40 3−30(海里)，
∴DE=40 3−30(海里)，
在Rt△DEF中，∵∠DEF=60°，∠DFE=90°，
∴∠EDF=30°，
∴DF= 32DE=(60−15 3)海里，
∵∠A=30°，
∴AD=2DF=120−30 3(海里)，
∴CD=AC−AD=80−120+30 3=(30 3−40)海里，
答：乙船与C码头之间的距离为(30 3−40)海里． 
【解析】过D作DF⊥BE于F，根据等腰三角形的性质得到AE=DE，求得AC=2BC=80海里，AB= 3BC=40 3，得到DE=40 3−30，根据直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了解直角三角形−方向角问题，含30°直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．

23.【答案】(1)证明：连接OD，如图1所示：

∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵OA=OD，
∴∠BAD=∠ODA，
∴∠CAD=∠ODA，
∴OD//AC，
∴∠ODB=∠C=90°，
∴BC⊥OD，
又∵OD是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线；
(2)证明：连接DE，如图2所示：

∵BC是⊙O的切线，
∴∠BDO=90°，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ADE=90°，
∴∠BDE=∠ADO=90°−∠EDO，
∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ADO，
∴∠BDE=∠OAD，
∵∠B=∠B，
∴△BDE∽△BAD；
(3)解：在Rt△BOD中，sinB=ODOB=35，
设圆O的半径为r，则rr+52=35，
解得：r=154，
∴AE=2r=152，AB=AE+BE=10，
在Rt△AEF中，∠AFE=90°，sin∠AEF=sinB=AFAE=AF152=35，
∴AF=92，
∵∠B=∠AEF=∠ADF，∠CAD=∠BAD，
∴△ABD∽△ADF，
∴ABAD=ADAF，
∴AD2=AF⋅AB，
∴AD= AB⋅AF= 10×92=3 5． 
【解析】本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、圆周角定理、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数定义等知识；本题综合性强，熟练掌握圆周角定理、切线的判定以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
(1)连接OD，证∠CAD=∠ODA，则OD//AC，得∠ODB=∠C=90°，即可解决问题；
(2)先证∠ADE=90°，进而得到∠BDE=∠OAD，即可得出结论；
(3)先由锐角三角函数定义得sinB=ODOB=35，设圆O的半径为r，则rr+52=35，根据相似三角形的性质即可解决问题．

24.【答案】解：(1)设每天销售量y(件)与销售单价x(元)的函数关系式为y=kx+b，
∵点(40,180)，(60,120)在该函数图象上，
得40k+b=18060k+b=120，
解得k=−3b=300，
∴y=−3x+300．
∵售价不低于进价且利润不高于进价的90%，
故30≤x≤30+30×90%，
即30≤x≤57；
(2)由题意得：W=(x−30)×(−3x+300)−850=−3x2+390x−9850；
(3)∵W=−3x2+390x−9850=−3(x−65)2+2825，
∴图象开口向下，对称轴x=65．
∵30≤x≤57
∴x=57时，W取得最大值，此时W=2633．
答：当销售单价为57元时，该批玩具每天销售利润最大，最大利润为2633元． 
【解析】(1)设每天销售量y(件)与销售单价x(元)的函数关系式为y=kx+b，将点(40,180)，(60,120)代入求解；
(2)根据题意和(1)的结果，可以写出该批玩具的每天销售利润W(元)与销售单价x(元)的函数关系式；
(3)将(2)的解析式化为顶点式，再结合x的取值范围和二次函数的性质来求解．
本题主要了一次比函数的应用、二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式，利用二次函数的性质求最值．

25.【答案】(1)证明：如图①中，

∵△ACB、△ADE都为等腰直角三角形，∠ADE=∠ACB=90°，
∴AD=DE，AB=BC，
∴∠AED=∠DAE=∠ABC=45°，
∵四边形DBFE是平行四边形，
∴DE=BF，DE//BF，
∴AD=BF，∠BEF=∠DEB=180°−45°=135°，
∴∠FBC=135°−45°=90°，
∵∠CAD=∠CAB+∠DAE=45°+45°=90°，
∴∠CAD=∠CBF，
∴△CAD≌△CBF，
∴CD=CF，∠ACD=∠BCF，
∴∠DCF=∠ACB=90°，
∴CD⊥CF，CD=CF．

(2)解：结论成立．
理由：如图②中，延长DE交BC于M．

∵△ACB、△ADE都为等腰直角三角形，∠ADE=∠ACB=90°，
∴AD=DE，AB=BC，
∴∠AED=∠DAE=∠ABC=45°，
∵四边形DBFE是平行四边形，
∴DE=BF，DE//BF，
∴∠FBC=∠DMB，
∵∠DAC+∠CMD=360°−90°−90°=180°，∠DMB+∠CMD=180°，
∴∠DAC=∠DMB，
∴∠FBC=∠CAD，
∴∴△CAD≌△CBF，
∴CD=CF，∠ACD=∠BCF，
∴∠DCF=∠ACB=90°，
∴CD⊥CF，CD=CF．

(3)如图③中，当旋转角α=45°时，四边形BDEF是矩形；

如图④中，当旋转角α=225°时，四边形BDEF是矩形；

综上所述，α为45°或225°时，四边形EFBD是矩形． 
【解析】(1)只要证明△CAD≌△CBF即可解决问题；
(2)只要证明△CAD≌△CBF即可解决问题；
(3)分两种情形画出图形即可解决问题；
本题考查四边形综合题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．

26.【答案】解：(1)∵抛物线y=−12x2+bx+c过A(4,0)，B(−1,0)两点，
∴y=−12(x−4)(x+1)=−12x2+32x+2；

(2)设AD的解析式为：y=kx+b，
∴4k+b=0b=2，
解得：k=−12b=2，
∴AD的解析式为：y=−12x+2，
设E(m,−12m2+32m+2)，H(m,−12m+2)，
∴EH=−12m2+32m+2−(−12m+2)=−12m2+2m，
∵GH=1，
∴−12m+2=1，
∴m=2，
∴△AEH的面积=12⋅EH⋅AG=12(4−2)(−12×4+4)=2；

(3)如图1，

∵四边形AFQH是矩形，
∴∠CFQ=∠QHD=∠FAH=90°，
∵FH//CD，QH//AC，
∴∠ACD=∠AFH=∠DQH，
∵A(4,0)，C(0,−8)，
∴OA=4，OC=8，
∴tan∠ACO=tan∠DQH=tan∠AFH=OAOC=FQCF=AHAF=DHQH=48=12，
设AH=n，AF=2n，则FQ=AH=DH=n，CF=QH=2n，
∴CQ=DQ= 5n，
∵CD=2+8=10，
∴2 5n=10，
∴n= 5，
∴DQ=5，
∴OQ=5−2=3，
∴Q(0,−3)；

(4)如图2中，

∵AQ= 32+42=5，且PQ=PC+3，
∴△PQA的周长=PQ+AQ+AP=PC+3+5+AP=8+PC+AP，
要使得△PQA的周长最小，只要PC+AP的值最小，
∵PC+PA≥AC，
∴当点P在AC上时，PC+AP=AC的值最小，
∵AC= 42+82=4 5，
∴△PQA的周长的最小值为4 5+8． 
【解析】(1)利用待定系数法求解即可；
(2)先根据GH=1可得m=2，根据三角形面积公式可得结论；
(3)根据三角函数设AH=n，AF=2n，则FQ=AH=DH=n，CF=QH=2n，由CD=10列方程可得n的值，从而得点Q的坐标；
(4)因为△PQA的周长=PQ+AP+AQ=AP+PC+8，所以要使得△PQA的周长最小，只要PC+PA的值最小，因为PC+PA≥AC，所以当点P在AC上时，PC+PA=AC的值最小．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，矩形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会利用三角函数的关系设参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．