2023年辽宁省抚顺市清原县中考数学毕业试卷（含解析）

2023年辽宁省抚顺市清原县中考数学毕业试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图是由个相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  下列绿色能源图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  小红在“养成阅读习惯，快乐阅读，健康成长“读书大赛活动中，随机调查了本校初二年级名同学，在近个月内每人阅读课外书的数量，数据如表所示：则阅读课外书数量的众数分别是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  一副三角板如图所示放置，斜边平行，则的度数为(    )
 

A.
B.
C.
D.

7.  一组数据，，，，的中位数是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  一辆汽车开往距出发地的目的地，若这辆汽车比原计划每小时多行，则提前小时到达目的地．设这辆汽车原计划的速度是，根据题意所列方程是(    )

A.  B.
C.  D.

9.  如图，矩形中，分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线分别交，于点，，连接，若，，以下结论错误的是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，菱形的边长为，，点，在菱形的边上，从点同时出发，分别沿和的方向以每秒的速度运动，到达点时停止，线段扫过区域的面积记为，运动时间记为，能大致反映与之间函数关系的图象是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）

11.  风能是一种清洁能源，我国风能储量很大，仅陆地上风能储量就有兆瓦，用科学记数法表示为______兆瓦．

12.  分解因式：______．

13.  如图，是由个全等的等边三角形组成的图案，假设可以随机在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是______ ．

14.  如图，是的中线，，若的周长为，则的周长为______ ．

15.  如图，点在双曲线的图象上，轴，垂足为点，若，则该反比例函数的解析式为______ ．

16.  如图，中，，，将绕点逆时针旋转到的位置，当时，连接，则的度数为______ ．

17.  如图，两个全等的矩形纸片重叠在一起，矩形的长和宽分别是和，则重叠部分的四边形面积是______ ．

18.  如图，在等腰直角三角形和等腰直角三角形中，，点在边上，与相交于点，，垂足是，交于点下列结论中：；；若，，则；，正确的是______．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
先化简，再求值：，从，，中选择合适的的值代入求值．

20.  本小题分
绍云中学计划为绘画小组购买某种品牌的、两种型号的颜料，若购买盒种型号的颜料和盒种型号的颜料需用元；若购买盒种型号的颜料和盒种型号的颜料需用元．
求每盒种型号的颜料和每盒种型号的颜料各多少元；
绍云中学决定购买以上两种型号的颜料共盒，总费用不超过元，那么该中学最多可以购买多少盒种型号的颜料？

21.  本小题分
某学校为满足学生多样化学习需求，准备组建美术、劳动、科普、阅读四类社团．学校为了解学生的参与度，随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果绘制成如图所示的不完整的统计图．请根据图中的信息，解答下列问题：

求本次调查的学生人数，并补全条形统计图；
若全校共有学生人，求愿意参加劳动类社团的学生人数；
甲、乙两名同学决定在阅读、美术、劳动社团中选择参加一种社团，请用树状图或列表法表示出所有等可能结果，并求出恰好选中同一社团的概率．

22.  本小题分
胜利黄河大桥犹如一架巨大的竖琴，凌驾于滔滔黄河之上，使黄河南北“天堑变通途”已知主塔垂直于桥面于点，其中两条斜拉索、与桥面的夹角分别为和，两固定点、之间的距离约为，求主塔的高度结果保留整数，参考数据：，

 

23.  本小题分
如图，以线段为直径作，交射线于点，平分交于点，过点作直线于点，交的延长线于点，连接并延长交于点．
求证：直线是的切线；
求证：；

24.  本小题分
俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价元，规定销售单价不低于元，且获利不高于试销售期间发现，当销售单价定为元时，每天可售出本，销售单价每上涨元，每天销售量减少本，现商店决定提价销售．设每天销售量为本，销售单价为元．
请直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围；
将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润元最大？最大利润是多少元？

25.  本小题分
已知，四边形是正方形，绕点旋转，，，连接，．
如图，求证：≌；
直线与相交于点，如图，于点，于点，求证：四边形是正方形．

26.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点，连接，．
求抛物线的表达式；
点为直线上方抛物线上一动点，连接交于点，连接，当时，求点的坐标；
点为抛物线上的点，当时，直接写出点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的绝对值：，
故选：．
根据绝对值的性质：即可得出答案．
本题考查了绝对值的相关概念，解题关键在于熟记绝对值的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：从上面看第一列是一个小正方形，第二列是两个小正方形，第三列居上是一个小正方形．
故选：．
根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．
 

3.【答案】 

【解析】解：与不是同类项，所以不能合并，故A不符合题意；
B.原式，故B不符合题意；
C.原式，故C不符合题意；
D.原式，故D符合题意．
故选：．
根据合并同类项法则，同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则即可求出答案．
本题考查合并同类项法则，同底数幂的乘除法法则以及积的乘方运算法则，本题属于基础题型．
 

4.【答案】 

【解析】解：不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B.既是轴对称图形又是中心对称图形，故B选项符合题意；
C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故C选项不合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意；
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．
 

5.【答案】 

【解析】解：由表知，数据出现次数最多，
所以这组数据的众数为，
故选：．
根据众数的定义求解即可．
本题主要考查众数，解题的关键是掌握众数的定义．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
由题意得：，，利用平行线的性质可求，进而可求解．
【解答】
解：如图，，，

，
，
，
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：把数据，，，，从小到大排列得，，，，，
数据，，，，的中位数是．
故选：．
利用中位数的定义求解即可．
本题考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．
 

8.【答案】 

【解析】解：这辆汽车比原计划每小时多行，且这辆汽车原计划的速度是，
这辆汽车提速后的速度是．
依题意得：，
故选：．
根据提速后及原计划车速间的关系，可得出这辆汽车提速后的速度是，利用时间路程速度，结合提速后可提前小时到达目的地，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，
，
根据作图过程可知：
是的垂直平分线，
，故A选项正确，不符合题意；
，
，故B选项正确，不符合题意；

是的垂直平分线，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
在中，根据勾股定理，得
，故C选项正确，不符合题意；
，
，故D选项错误，符合题意，
故选：．
根据作图过程可得，是的垂直平分线，再由矩形的性质可以证明≌，可得，再根据勾股定理可得的长，进而可以解决问题．
本题考查了作图基本作图、线段垂直平分线的性质、矩形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
 

10.【答案】 

【解析】解析：当时，过点作于，如图，
，，
则，
线段扫过区域的面积，图象是开口向上，位于轴右侧的抛物线的一部分，
当时，
如图，过点作于，则，
，
线段扫过区域的面积，
图象是开口向下，位于对称轴直线左侧的抛物线的一部分，

故选：．
根据菱形的性质，结合题意，分两种情况讨论，时，当时，根据三角形的面积公式建立函数关系，根据二次函数的图象的性质即可求解．
本题考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，解直角三角形，二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：数字用科学记数法可表示为．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

12.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式分解因式是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：由图知，阴影部分的面积占图案面积的，即这个点取在阴影部分的概率是．
故答案为：．
根据阴影部分的面积所占比例得出概率即可．
本题考查几何概率．熟练掌握几何概率的计算方法是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：是的中线，
，
的周长为，
，
，
，
，
．
故答案为：．
由是的中线，得，又的周长为，，可得，而，即得．
本题考查三角形的中线，解题的关键是掌握三角形中线的概念和周长的求法．
 

15.【答案】 

【解析】解：点在双曲线的图象上，轴，垂足为点，
，
，
，
，
，
该反比例函数的解析式为．
故答案为：．
利用反比例函数系数的几何意义解答即可．
本题主要考查了反比例函数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值
 

16.【答案】 

【解析】解：中，，，，
，
绕点逆时针旋转到的位置，
，，
是等腰三角形，
，
故答案为：．
根据旋转得出，，得出等腰三角形，利用三角形的内角和计算即可．
本题考查的是直角三角形和旋转，解题的关键是旋转前后的线段长度不变，旋转的角度相等．
 

17.【答案】 

【解析】解：如图，由题意得：矩形≌矩形，
，，，，，
四边形平行四边形，
平行四边形的面积，
，
平行四边形是菱形，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
，
菱形的面积，
即重叠部分的四边形面积是，
故答案为：．
先证四边形平行四边形，再证四边形是菱形，得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质、平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：是等腰直角三角形，
，
，
而的度数不确定，
与不一定相等，
与不一定相等，
故错误；
，
，
，
∽，
，
，，
，
，
故正确；
，，
∽，
，
，
而与不一定相等，
故不一定正确；
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
由知：，
，
，
，
故正确；
本题正确的结论有：
故答案为：．
根据等腰直角三角形可知，若，则，这个根据已知得不出来，所以错误；
证明∽，列比例式可作判断；
证明∽，列比例式可作判断；
先计算的长，由中得到的比列式计算可作判断．
本题考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定，计算线段的长或进行比例式的变形，属于中考填空题中的压轴题．
 

19.【答案】解：原式

，
由分式有意义的条件可知：不能取，，
故，
原式
． 

【解析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将的值代入原式即可求出答案．
本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
 

20.【答案】解：设每盒种型号的颜料元，每盒种型号的颜料元，
依题意得：，
解得：．
答：每盒种型号的颜料元，每盒种型号的颜料元．
设该中学可以购买盒种型号的颜料，则可以购买盒种型号的颜料，
依题意得：，
解得：．
答：该中学最多可以购买盒种型号的颜料． 

【解析】设每盒种型号的颜料元，每盒种型号的颜料元，根据“购买盒种型号的颜料和盒种型号的颜料需用元；购买盒种型号的颜料和盒种型号的颜料需用元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设该中学可以购买盒种型号的颜料，则可以购买盒种型号的颜料，利用总价单价数量，结合总价不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

21.【答案】解：本次调查的学生人数为：人，
则科普类的学生人数为：人，
补全条形统计图如下：

愿意参加劳动社团的学生人数为：人；
把阅读、美术、劳动社团分别记为、、，
画出树状图如下：

共有种等可能的结果，其中甲、乙两名同学选中同一社团的结果有种，
甲、乙两名同学恰好选中同一社团的概率为． 

【解析】用愿意参加阅读类社团的学生人数除以其所占的百分比可得本次调查的学生人数，即可解决问题；
用全校共有学生人数乘以愿意参加劳动社团的学生人数所占的比例即可；
画出树状图，共有种等可能的结果，其中甲、乙两名同学选中同一社团的结果有种．再根据概率公式即可求解．
此题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

22.【答案】解：在中，，，
，
在中，，，
，
，
，
．
答：主塔的高约为． 

【解析】根据锐角三角函数的定义可求出的长度，然后即可求出的长度，再结合图形即可求出答案．
本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确理解锐角三角函数的定义．
 

23.【答案】证明：连接，

，
，
平分，
，
，
，
，
，
是的半径，
直线是的切线；

线段是的直径，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】连接，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，证明，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理证明即可；
根据题意求出，根据含角的直角三角形的性质计算，得到答案．
本题考查的是切线的判定和性质、圆周角定理、直角三角形的性质，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
 

24.【答案】解：规定销售单价不低于元，且获利不高于，
，且，
解得，
销售单价每上涨元，每天销售量减少本，
，
，
，
当时，随的增大而增大，
而，所以当时，有最大值，最大值为，
答：将足球纪念册销售单价定为元时，商店每天销售纪念册获得的利润元最大，最大利润元． 

【解析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用．最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值或最小值，也就是说二次函数的最值不一定在时取得．
根据销售单价不低于元，且获利不高于求得自变量的取值范围，再根据当销售单价定为元时，每天可售出本，销售单价每上涨元，每天销售量减少本，列出与之间的函数关系式；
根据销售利润销售量售价进价，列出平均每天的销售利润元与销售价元本之间的函数关系式，再依据函数的性质求得最大利润．
 

25.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
，，
，
，
≌；
如图，设与相交于点．
，
，
≌，
．
，
．
，
，，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，．
．
又，
≌．
．
矩形是正方形． 

【解析】利用正方形的性质根据证明三角形全等即可；
根据邻边相等的矩形是正方形证明即可．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
 

26.【答案】解：抛物线与轴交于，两点，
，
，
；
如图，

，
，
作轴，交于，
，
，
，
，，
直线的解析式为，
设，则，
，
，
当时，，
；
如图，

设交轴与，作，交直线于，过点作轴，作于，作于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，，
设，
，
，
，，
直线的解析式为，
，
，
，
直线的解析式为，
由得，
舍去，，
当时，，
，
如图，

设射线交轴于，
，，
，
由上知：，，，
，，
，
，
，
，
直线的解析式为，
由得，
舍去，，
当时，，
，
综上所述：或． 

【解析】根据交点式直接得出结果；
作轴，交于，先求得，根据得出，设出点的坐标，表示出点的坐标，进而表示出，从而得出方程，进一步得出结果；
当在的下方时，设交轴与，作，交直线于，过点作轴，作于，作于，可推出，可推出≌，进而表示出点的坐标，将其代入直线的解析式，从而求得点的坐标，进一步得出结果；当在直线上方时，借助在上方时的结果，得出与轴夹角的锐角的正切值为，进一步得出结果．
本题考查了求二次函数、一次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．