重庆市万州第三中学2023届高三5月模拟数学试题（含解析）

重庆市万州第三中学2023届高三5月模拟数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知复数的实部为1，且，则（    ）

A． B． C． D．

3．下列四个条件中，是“”的一个充分不必要条件的是（    ）

A． B． C． D．

4．若数列满足，，则（    ）

A． B． C． D．

5．过抛物线的焦点，作倾斜角为的直线交于，两点，交的准线于点，若（为坐标原点），则线段的长度为（    ）

A．8 B．16 C．24 D．32

6．若，则（    ）

A． B．0 C． D．1

7．已知点，为椭圆上的两点，点满足，则的离心率的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

8．在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知，为不同的直线，，为不同的平面，则下列说法错误的是（    ）

A．若，，，则 B．若，，，则

C．若，，，则 D．若，，，则

10．2022世界兵乒球团体锦标赛在成都举办，中国女队､男队分别于10月8日和10月9日夺得团体赛冠军，国球运动又一次掀起热潮.为了解性别与观众是否喜欢观看乒乓球比赛的关联性，某体育台随机抽取了200名观众进行统计.得到如图所示的列联表.

则下列说法正确的是（    ）

参考公式：，其中.

附表：

A．喜欢观看乒乓球比赛的观众中，女生的频率为

B．男生中喜欢观看乒乓球比赛的频率为

C．依据小概率值的独立性检验，认为性别与观众是否喜欢观看乒乓球比赛无关

D．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为性别与观众是否喜欢观看乒乓球比赛有关

11．已知函数的导函数的部分图象如图所示，其中点分别为的图象上的一个最低点和一个最高点，则（    ）

A．

B．图象的对称轴为直线

C．图象的一个对称中心为点

D．将的图象向右平移个单位长度，再将所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，即可得到的图象

12．若函数，，满足对均有，则的取值不可能为（    ）

A． B． C． D．9

三、填空题

13．已知向量，，若，则向量在上的投影向量的模长为___________.

四、双空题

14．2022年12月8日，国务院联防联控机制召开新闻发布会，介绍进一步优化落实疫情防控有关情况，传达我们要做好自己健康的第一责任人的精神，小华准备了一些药物，现有三种退烧药､五种止咳药可供选择，小华从中随机选取两种，事件表示选取的两种药中至少有一种是退烧药，事件表示选取的两种药中恰有一种是止咳药，则___________，___________.

五、填空题

15．已知点，，若圆上有且只有一点，使得，则实数的一个取值为___________.（写出满足条件的一个即可）

16．已知函数若函数有八个不同的零点，从小到大依次为，，，，，，，，则的取值范围为___________.

六、解答题

17．已知的内角，，所对的边分别为，，，面积为，且.

(1)求角的大小；

(2)若，求证：.

18．已知数列的前项和为，且.

(1)求数列的通项公式；

(2)若数列的前项和为，设，求的最小值.

19．十四届全国人大一次会议于2023年3月5日在北京顺利召开，会议过后，某市宣传部组织市民积极参加“学习十四大”知识竞赛，并从所有参赛市民中随机抽取了100人，统计了他们的竞赛成绩，制成了如图所示的频率分布直方图.

(1)求这100位市民竞赛成绩的第75百分位数；

(2)该市某企业赞助了本次知识竞赛，并对每位参赛市民给予一定的奖励，奖励方案有以下两种：方案一：按竞赛成绩进行分类奖励：当时，每人奖励60元；当时，每人奖励120元；当时，每人奖励180元.方案二：利用抽奖的方式获得奖金，其中竞赛成绩低于样本中位数的只有一次抽奖机会，竞赛成绩不低于样本中位数的有两次抽奖机会，每次抽奖的奖金及对应的概率如表.

若该市某社区的所有参赛市民决定选择同一种奖励方案，试利用样本的频率估计总体的概率，从数学期望的角度分析，该社区参赛市民选择哪种奖励方案更有利？

20．如图，在三棱锥中，，点分别是棱的中点，平面.

(1)证明：平面平面；

(2)过点作的平行线交的延长线于点，，点是线段上的动点，问：点在何处时，平面与平面夹角的正弦值最小，并求出该最小正弦值.

21．已知双曲线的左､右焦点分别为，，且，的一条渐近线与直线垂直.

(1)求的标准方程；

(2)点为上一动点，直线，分别交于不同的两点，（均异于点），且，，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.

22．已知函数.

(1)若在区间上有极小值，求实数的取值范围；

(2)求证：.

参考答案：

1．C

【详解】解：因为集合，，

所以，

故选：C

2．D

【分析】根据题意，设，由复数的运算化简，然后结合条件，列出方程，即可得到结果.

【详解】由题意可得，设，则，所以，

且，

且，则，即，即.

故选：D

3．C

【分析】根据充分条件和必要条件的定义与不等式的关系转化为不等式关系的判断进行求解即可．

【详解】若，可能有，无法推出，充分性不成立，故A错误；

若，当时，有，此时不成立，充分性不满足，故B错误；

由得且，此时，成立，反之若，当时，不成立，故C正确；

设，则为增函数，则由得，此时，反之也成立，即是成立的充要条件，故D错误.

故选：C．

4．B

【分析】根据题意，由递推公式可得数列是等比数列，即可得到数列的通项公式，从而得到结果.

【详解】因为，，所以，又，

所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，

所以，即，所以.

故选：B

5．D

【分析】将直线的方程与准线方程联立，求得点的坐标，可求出，然后将直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理结合抛物线的焦点弦长公式即可求解

【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，

直线的方程为，

联立可得，即点，

所以，因为，所以，

所以直线的方程为，抛物线，设点，，

联立可得，

由韦达定理可得，则

故选：D

6．B

【分析】根据同角三角函数关系、二倍角公式先化简已知式子，再利用两角和差的正弦公式进行运算即可得答案.

【详解】因为，所以，

即，则

所以

则，即.

故选：B.

7．C

【分析】由可得，因为，为椭圆上的两点，再有点差法可得，两式相减化简可得，再由，求解即可.

【详解】因为，则，

所以，即，

，

又因为点，为椭圆上的两点，

所以，两式相减可得：，即，

所以，

因为，所以，

所以，即，即，

因为，所以，

又因为，为椭圆上的两点，所以，

所以，解得：，即.

故选：C.

8．A

【分析】先利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出外接圆的半径，设三棱锥外接球的半径为，再根据结合球的表面积公式即可得解.

【详解】在中，，

则，

所以，

设外接圆的半径为，则，所以，

设外接圆的圆心为，三棱锥外接球的球心为，半径为，

由平面，得，

所以三棱锥外接球的表面积为.

故选：A.

9．ABC

【分析】通过分析不同情况下直线和平面的位置关系即可得出结论.

【详解】由题意，

A项, 设所在平面, , 只需即满足题设, 故A错误；

B项，设且且, 此时，B错误；

C项，当，，时，可能垂直于，C错误；

D项，当，，，则，故D正确.

故选：ABC.

10．AD

【分析】根据题意，由列联表中数据，即可判断AB，由独立性检验的计算，即可判断CD.

【详解】由表中数据可知，喜欢观看乒乓球比赛的观众中，女生的频率为，所以A正确；

男生中喜欢观看乒乓球比赛的频率为，所以B错误；

由题意进行数据分析，得到列联表如下：

计算，

所以依据小概率值的独立性检验，认为性别与观众是否喜欢观看乒乓球比赛有关，所以C错误；

所以在犯错误率不超过0.001的前提下认为性别与观众是否喜欢观看乒乓球比赛有关，所以D正确；

故选：AD

11．BD

【分析】先求出导函数，结合图象求出和，然后分别利用函数的对称性，以及图象变换进行判断即可.

【详解】，

因为，所以，

因为分别为的图象上的一个最低点和一个最高点，所以 ，

所以，即，则，

依题意得，，即，，即，，

因为，所以，，

所以，故A不正确；

所以，由，，得，，

所以图象的对称轴为直线，，故B正确；

因为，所以点不是图象的一个对称中心，故C不正确；

将的图象向右平移个单位长度得到的图象，

再将所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，即可得到的图象，故D正确.

故选：BD

12．CD

【分析】将问题转化为两个函数的零点重合，得出转化单变量的函数最值问题，求导计算即可.

【详解】条件对均有恒成立，等价于，

易知，与均在定义域内单调递增，

且由，故时，

若要满足题意，只需两函数的零点相同即可，则

令，即，

则，令，则，，即在上单调递减，上单调递增，

，显然A、B不符合，C、D符合.

故选：CD

13．

【分析】由垂直向量的坐标表示求出，再计算向量在上的投影向量的模长，即可得出答案.

【详解】因为向量，，，，    

若，则，

即，即，解得:,

向量在上的投影向量的模长为:

.

故答案为：.

14．         

【分析】由排列组合公式先求出事件包含的基本事件的总数，由古典概率求出，再分析求出，由条件概率的公式计算可得答案.

【详解】根据题意，从三种退烧药、五种止咳药中任选2种，有种选法，

其中没有退烧药，即全部为止咳药的选法有种选法，

则选取的两种药中至少有一种是退烧药的选法有种，

则，

事件表示选取的两种药中恰有一种是止咳药，即选出的两种药品一种为止咳药，一种为退烧药，其包含的基本事件有种，

则，故，

故答案为：；.

15．(答案不唯一)

【分析】根据题意，分析圆的圆心坐标以及半径，设中点为，由的坐标分析的坐标以及的值，可得以为直径的圆，进而分析，原问题可以转化为圆与圆相切，结合圆与圆的位置关系，即可求解.

【详解】由题知，圆，

即，圆心为，半径，

设中点为，因，，

则，，

以为直径的圆为，

因为圆上有且只有一点，使得，

则圆与圆相切，

又，

即有或，

解得或.

故答案为：

16．

【分析】由得，转化为函数与的图象有八个交点，画出与的图象，结合图象进行分析求解.

【详解】由函数的解析式可知：

时，，所以的图象与在上的图象关于直线对称；

时，，所以只需把在上的图象向右平移6个单位即可得在上的图象.

由得，函数与的图象如图所示：

由，即有，由图可知，，

故，即，则，；

由的图象性质，有，，

，，

则，，

所以，

因为，，所以，而对勾函数在上单调递减，

所以，，，，

故答案为：.

【点睛】方法点睛：分段函数的有关零点的问题通常用数形结合的方法，画函数图象时常考虑用函数的图象变换结合函数的性质（单调性、奇偶性、周期性）和函数图象的对称性.

17．(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）先利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角和定理结合两角和的正切公式即可得解；

（2）利用余弦定理和基本不等式求出的最大值，再根据三角形的面积公式即可得解.

【详解】（1）因为，

由正弦定理得，

即，

因为，

所以，

故，

又，所以，

因为，所以；

（2）由，得，

所以，当且仅当时取等号，

所以.

18．(1)

(2)

【分析】（1）根据与的关系可直接求解；

（2）先求出，然后得到，然后根据的单调性可求解.

【详解】（1）因为，所以，

所以当时，，所以；

当时，，

所以，

所以，

又满足上式，

所以数列的通项公式为.

（2）由（1）知，

当时，；

当时，

；

所以，

当时，递减，所以；

当时，，

设，

则，令得，此时单调递增，

令得，此时单调递减，

所以在时递减，在时递增，

而，，且，

所以；

综上，的最小值为.

19．(1)79.75

(2)方案二更有利

【分析】（1）由频率分布直方图计算，再根据定义计算第75百分位数即可；

（2）根据离散型随机变量的概率公式列出分布列计算期望比较即可.

【详解】（1）由频率分布直方图可知：，，

故第75百分位数位于之间，，

故这100位市民的竞赛成绩的第75百分位数是79.75；

（2）方案一、设奖励为X，则X的可能取值为60，120，180，结合频率分布直方图可知，

，

故X的分布列为：

则，

方案二、设奖励为Y，则Y的可能取值为60，120，180，240，

则

，

故Y的分布列为：

则,

显然103.2＜120，故方案二更有利.

20．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据面面垂直的判定，只需要证明平面即可；

（2）建立空间直角坐标系，利用法向量表示出平面夹角的余弦值，根据正余弦值的平方关系，求出余弦值的最大值即可得出正弦值的最小值.

【详解】（1）由可知，又，故（三线合一），

又平面，平面，故，

又，平面，故平面，

又平面，故平面平面

（2）  

在平面中，过作，垂足为，不妨设，由于，

则，

以所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系.

则，

设，则，，，.

设平面的法向量，由，即，

则是其中一条法向量；

设平面的法向量，由，即，

则是其中一条法向量.

设平面与平面夹角为，则，

当时，取到最大值，此时正弦值取到最小值为.

21．(1)

(2)

【分析】（1）由题意可求的值，进而求出双曲线C的标准方程；

（2）讨论直线MB的斜率存在与否的两种情况，分别联立方程组化简和，即可得出结论.

【详解】（1）由题意可设双曲线C的标准方程为，

的一条渐近线与直线垂直,

由已知得，则，解得,,

故双曲线C的标准方程为.

（2）由双曲线的对称性不妨设M在第一象限，设，，，

若直线MB的斜率存在，则，

则直线MB的方程为.

联立，消去x整理得，

将代入上式整理得.

，，

则，

故，同理可得，故.

若直线MB的斜率不存在，则，此时轴，，

直线MA的方程为.

联立，消去x整理得，解得，

故，此时.

综上所述，为定值.

22．(1)

(2)证明见解析

【分析】（1），在上单调递增，由题意且，解不等式实数的取值范围；

（2）不等式等价于，通过构造函数利用导数研究单调性证明不等式.

【详解】（1）函数，定义域为，

，在上单调递增，

若在区间上有极小值，则有，解得.

故实数的取值范围为.

（2），即，由，可化简得，

要证，即证.

设，，

由，则有，得，即，

函数在上单调递减，

时，时，

则，，此时，

则时，时，

在上单调递增，在上单调递减，

，

函数在上单调递减，，

故，即.

设，

，解得，解得，

在上单调递减，在上单调递增，，

由，得，则有，即

故，即有.

所以，即.

【点睛】方法点睛：

1.导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．

2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.

3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.