高考数学一轮复习课时质量评价4不等式的性质与基本不等式含答案

课时质量评价(四)

A组　全考点巩固练

1．下列不等式恒成立的是(　　)

A．a2＋b2≤2ab

B．a2＋b2≥－2ab

C．a＋b≥2

D．a＋b≤－2

B　解析：对于选项A，因为a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，当且仅当a＝b时，等号成立，所以a2＋b2≥2ab，故A错误．

对于选项B，因为a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2≥0，当且仅当a＝－b时，等号成立，所以a2＋b2≥－2ab，故B正确．

对于选项C，令a＝－1，b＝2，则a＋b＝－1＋2＝1,2＝2＝2．

因为1＜2，所以a＋b＜2，故C错误．

对于选项D，令a＝1，b＝0，则a＋b＝1，－2＝－2＝0．

因为1>0，所以a＋b>－2，故D错误．

2．若x>0，y>0，则“x＋2y＝2”的一个充分不必要条件是(　　)

A．x＝y B．x＝2y

C．x＝2且y＝1 D．x＝y或y＝1

C　解析：因为x>0，y>0，

所以x＋2y≥2，当且仅当x＝2y时，等号成立．

故“x＝2且y＝1”是“x＋2y＝2”的一个充分不必要条件．

3．(2022·滨州三校高三联考)已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值为(　　)

A．10B．12     C．16D．9

D　解析：由已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m≤(a＋b)恒成立，转化成求y＝(a＋b)的最小值．y＝(a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当a＝2b时，等号成立，所以m≤9．故选D．

4．(多选题)已知<<0，则下列结论正确的有　(　　)

A．a<b B．a＋b<ab

C．|a|>|b| D．ab<b2

BD　解析：由<<0，得b<a<0，所以a＋b<0<ab，|b|>|a|，b2>ab．

因此BD正确，AC不正确．

5．《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．如图所示，在AB上取一点C，使得AC＝a，BC＝b，过点C作CD⊥AB交圆周于点D，连接OD．作CE⊥OD交OD于点E，则下列不等式可以表示CD≥DE的是(　　)

A．≥(a＞0，b＞0)

B．≥(a＞0，b＞0)

C．≥(a＞0，b＞0)

D．a2＋b2≥2ab(a＞0，b＞0)

A　解析：连接DB，因为AB是圆O 的直径，所以∠ADB＝90°．在Rt△ADB中，中线OD＝＝．由射影定理可得CD2＝AC·BC＝ab．所以CD＝．

在Rt△DCO中，由射影定理可得CD2＝DE·OD，即DE＝＝＝．

由CD≥DE得≥．

6．(2021·枣庄高三统考)函数f(x)＝(x＞1)的最小值是________．

2　解析：由于x＞1，故x－1＞0，故f(x)＝2(x－1)＋≥2＝2，当且仅当2(x－1)＝，即x＝1＋时，函数取得最小值2．

7．(2021·天津卷)若a>0，b>0，则＋＋b的最小值为________．

2　解析：因为a>0，b>0，所以＋＋b≥2＋b＝＋b≥2＝2，当且仅当＝且＝b，即a＝b＝时等号成立，所以＋＋b的最小值为2．

8．已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是________．

3　解析：由x2＋2xy－3＝0，得y＝＝－x，则2x＋y＝2x＋－x＝＋≥2＝3，当且仅当x＝1时，等号成立，所以2x＋y的最小值为3．

9．(2022·唐山模拟)已知a>0，b>0，c>0，d>0，a2＋b2＝ab＋1，cd>1．

(1)求证：a＋b≤2；

(2)判断等式＋＝c＋d能否成立，并说明理由．

(1)证明：由题意得(a＋b)2＝3ab＋1≤3＋1，当且仅当a＝b时，等号成立．

解得(a＋b)2≤4．又a>0，b>0，所以a＋b≤2．

(2)解：不能成立．

理由：a>0，b>0，c>0，d>0，由基本不等式得＋≤＋，当且仅当a＝c且b＝d时等号成立．

因为a＋b≤2，所以＋≤1＋．因为c>0，d>0，cd>1，

所以c＋d＝＋≥＋>＋1≥＋，

故＋＝c＋d不能成立．

10．某厂家拟定在2021年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x＝3－(k为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2021年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元．厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．

(1)将2021年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；

(2)该厂家2021年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？

解：(1)由题意知，当m＝0时，x＝1，所以1＝3－k⇒k＝2，所以x＝3－(m≥0)．

又每件产品的销售价格为1.5×，所以2021年的利润y＝1.5x×－8－16x－m

＝4＋8x－m＝4＋8－m

＝－＋29(m≥0)．

(2)因为m≥0时，＋(m＋1)≥2＝8，所以y≤－8＋29＝21，

当且仅当＝m＋1即m＝3时，ymax＝21．

故该厂家2021年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．

B组　新高考培优练

11．已知正实数a，b满足a＋b＝3，则＋的最小值为(　　)

A．1       B．    C．       D．2

C　解析：因为a＋b＝3，所以(1＋a)＋(4＋b)＝8，所以＋＝[(1＋a)＋(4＋b)]·＝≥×(5＋4)＝，当且仅当4＋b＝2(1＋a)，即2a－b＝2，即a＝，b＝时等号成立．

12．已知a，b，c满足a>b>c，且ac<0，那么下列选项中不一定成立的是(　　)

A．ab>ac B．(a－b)c<0

C．a2c<b2c D．ac(a－c)<0

C　解析：因为a>b>c，且ac<0，所以a>0，c<0，b－c>0．

对A，a(b－c)>0显然成立，所以ab>ac，故A正确；

对B，因为a－b>0，c<0，所以(a－b)c<0，故B正确；

对C，因为c<0，所以a2c<b2c⇔a2>b2，若c＝－5，a＝3，b＝－4，此时a2>b2不成立，若c＝－5，a＝3，b＝－1，此时a2>b2成立，故C不一定成立；

对D，因为ac<0，a－c>0，所以ac(a－c)<0成立，故D正确．

13．(多选题)已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是(　　)

A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd

B．若ab＞0，bc－ad＞0，则－＞0

C．若a＞b，c＞d，则a－d＞b－c

D．若a＞b，c＞d＞0，则＞

BC　解析：若a＞0＞b,0＞c＞d，则ac＜bd，故A错误；若ab＞0，bc－ad＞0，则＞0，化简得－＞0，故B正确；若c＞d，则－d＞－c，又a＞b，则a－d＞b－c，故C正确；若a＝－1，b＝－2，c＝2，d＝1，则＝－1，＝－1，故D错误．故选BC．

14．(2021·南京模拟)若不等式＋－m≥0对x∈恒成立，则实数m的最大值为(　　)

A．7 B．8 

C．9 D．10

C　解析：将不等式化为＋≥m，只需当x∈时，m≤min即可．

由＋＝(4x＋1－4x)

＝4＋＋＋1≥5＋2

＝5＋4＝9，

当且仅当x＝时，等号成立，故m≤9．故m的最大值为9．故选C．

15．(2021·淮安联考)拿破仑定理是法国著名的军事家拿破仑·波拿马最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三个角形的顶点”．在△ABC中，∠A＝120°，以AB，BC，AC为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为O1，O2，O3，若△O1O2O3的面积为，则△ABC的周长的取值范围为________．

[3＋2，4]　解析：易知A，O1，O3共线，由△O1O2O3的面积为，可得O1O3＝2．

设AO1＝x，AO3＝y，则x，y>0，且x＋y＝2，

易知AB＝x，AC＝y，所以AB＋AC＝(x＋y)＝2．

由余弦定理，得BC2＝3x2＋3y2＋3xy＝3(x＋y)2－3xy＝12－3xy，

又x＋y＝2≥2，所以xy≤1，即BC2∈[9,12)，即BC∈[3,2)，

所以AB＋AC＋BC∈[3＋2，4)．

16．(2021·贵阳模拟)已知正实数x，y满足等式＋＝2．

(1)求xy的最小值；

(2)若3x＋y≥m2－m恒成立，求实数m的取值范围．

解：(1)2＝＋≥2，即xy≥3，当且仅当x＝1，y＝3时等号成立，所以xy的最小值为3．

(2)3x＋y＝(3x＋y)＝≥＝6，当且仅当x＝1，y＝3时等号成立，即(3x＋y)min＝6，所以m2－m≤6，所以－2≤m≤3．

17．已知某工厂每天固定成本是4万元，每生产一件产品成本增加100元，工厂每件产品的出厂价定为a元时，生产x件产品的销售收入是R(x)＝－x2＋500x(单位：元)，P(x)为每天生产x件产品的平均利润(平均利润＝总利润÷总产量)．

销售商从工厂每件a元进货后又以每件b元销售， b＝a＋λ(c－a)，其中c为最高限价(a＜b＜c)，λ为销售乐观系数．据市场调查，λ由当b－a是c－b，c－a的比例中项时来确定．

(1)每天生产量x为多少时，平均利润P(x)取得最大值？求P(x)的最大值．

(2)求乐观系数λ的值．

(3)若c＝600，当厂家平均利润最大时，求a与b的值．

解：(1)依题意，总利润为－x2＋500x－100x－40 000＝－x2＋400x－40 000，

所以P(x)＝＝－x－＋400≤－200＋400＝200．当且仅当x＝，即x＝400时，等号成立，

故每天生产量为400件时，平均利润最大，最大值为200元．

(2)由b＝a＋λ(c－a)得λ＝．

因为b－a是c－b，c－a的比例中项，

所以(b－a)2＝(c－b)(c－a)，

两边除以(b－a)2，得1＝·＝·，

所以1＝·，解得λ＝．

(3)由(1)知，当x＝400时，厂家平均利润最大，

所以a＝＋100＋P(x)＝＋100＋200＝400(元)．

每件产品的利润为b－a＝λ(c－a)＝100(－1)，所以b＝100(＋3)，

所以a＝400，b＝100(＋3)．