高考数学一轮复习课时质量评价9二次函数与幂函数含答案

课时质量评价(九)

A组　全考点巩固练

1．若幂函数f(x)＝(m2－4m＋4)x在(0，＋∞)上单调递增，则m的值为(　　)

A．1或3　　　 B．1　　　

C．3　　　 D．2

B　解析：由题意得m2－4m＋4＝1，m2－6m＋8＞0，解得m＝1．

2．函数y＝的图象大致是(　　)

C　解析：y＝＝x，其定义域为x∈R，排除A，B．又0<<1，图象在第一象限为上凸的，排除D．故选C．

3．(2021·全国甲卷)下列函数中是增函数的为(　　)

A．f(x)＝－x B．f(x)＝

C．f(x)＝x2 D．f(x)＝

D　解析：对于A，f(x)＝－x为R上的减函数，不合题意．

对于B，f(x)＝为R上的减函数，不合题意．

对于C，f(x)＝x2在(－∞，0)上单调递减，不合题意．

对于D，f(x)＝为R上的增函数，符合题意．

4．设函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，已知f(m)<0，则(　　)

A．f(m＋1)≥0 B．f(m＋1)≤0

C．f(m＋1)>0 D．f(m＋1)<0

C　解析：因为f(x)图象的对称轴为直线x＝－，f(0)＝a>0，所以f(x)的大致图象如图所示．

由f(m)<0，得－1<m<0．所以m＋1>0．所以f(m＋1)>f(0)>0．

5．(2021·全国甲卷)设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1,2]时，f(x)＝ax2＋b．若f(0)＋f(3)＝6，则f ＝(　　)

A．－ B．－

C． D．

D　解析：因为f(x＋1)是奇函数，所以f(－x＋1)＝－f(x＋1)①；

因为f(x＋2)是偶函数，所以f(x＋2)＝f(－x＋2)②．

令x＝1，由①得：f(0)＝－f(2)＝－(4a＋b)，由②得：f(3)＝f(1)＝a＋b．

因为f(0)＋f(3)＝6，所以－(4a＋b)＋a＋b＝6⇒a＝－2．

令x＝0，由①得：f(1)＝－f(1)⇒f(1)＝0⇒b＝2，所以f(x)＝－2x2＋2．

F ＝f ＝f ＝f ＝f ＝－f ＝－f ＝－f ＝－f ＝－f ，所以f ＝－f ＝．

6．已知二次函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(0)＝3，对∀x∈R，都有f(1＋x)＝f(1－x)成立，则f(x)＝________．

x2－2x＋3　解析：由f(0)＝3，得c＝3．又f(1＋x)＝f(1－x)，

所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以＝1，所以b＝2，所以f(x)＝x2－2x＋3．

7．设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足1<x<4的一切x值都有f(x)>0，则实数a的取值范围是．

8．若(a＋1) <(3－2a)，则实数a的取值范围是________．

(－∞，－1)∪　解析：不等式(a＋1)－<(3－2a)－等价于a＋1>3－2a>0或3－2a<a＋1<0或a＋1<0<3－2a，解得a<－1或<a<．

9．问题：是否存在二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0，b，c∈R)同时满足下列条件：

f(0)＝3，f(x)的最大值为4，________？若存在，求出f(x)的解析式；若不存在，请说明理由．

在①f(1＋x)＝f(1－x)对任意x∈R都成立，②函数y＝f(x＋2)的图象关于y轴对称，③函数f(x)的单调递减区间是这三个条件中任选一个，补充在上面问题中作答．

解：由f(0)＝3，可求得c＝3，则f(x)＝ax2＋bx＋3．

若选择①f(1＋x)＝f(1－x)对任意x∈R都成立，

可得f(x)的对称轴为x＝1，所以－＝1．

又f(x)的最大值为4，可得a<0且f(1)＝4，即a＋b＋3＝4，解得a＝－1，b＝2，此时f(x)＝－x2＋2x＋3．

若选择②函数y＝f(x＋2)的图象关于y轴对称，

可得f(x)的对称轴为x＝2，则－＝2．

又f(x)的最大值为4，可得a<0且f(2)＝4，即4a＋2b＋3＝4，解得a＝－，b＝1，此时f(x)＝－x2＋x＋3．

若选择③函数f(x)的单调递减区间是，

可得f(x)关于x＝对称，则－＝，

又f(x)的最大值为4，可得a<0且f ＝4，

即a＋b＋3＝4，

解得a＝－4，b＝4，此时f(x)＝－4x2＋4x＋3．

10．已知幂函数f(x)＝(m－1)2x在(0，＋∞)上单调递增，函数g(x)＝2x－k．

(1)求m的值；

(2)当x∈[1,2)时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，设p：x∈A，q：x∈B，若p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围．

解：(1)依题意得：(m－1)2＝1⇒m＝0或m＝2，

当m＝2时，f(x)＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去，所以m＝0．

(2)由(1)得，f(x)＝x2，

当x∈[1,2)时，f(x)∈[1,4)，即A＝[1,4)，

当x∈[1,2)时，g(x)∈[2－k,4－k)，即B＝[2－k,4－k)．

因为p是q成立的必要条件，所以B⊆A，

则即得0≤k≤1．

故实数k的取值范围是[0,1]．

B组　新高考培优练

11．设函数f(x)＝，g(x)＝ax2＋bx(a，b∈R，a≠0)．若y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列判断正确的是(　　)

A．当a＜0时，x1＋x2＜0，y1＋y2＞0

B．当a＜0时，x1＋x2＞0，y1＋y2＜0

C．当a＞0时，x1＋x2＜0，y1＋y2＜0

D．当a＞0时，x1＋x2＞0，y1＋y2＞0

B　解析：当a＜0时，作出两个函数的图象，如图所示，由题意不妨记函数f(x)与g(x)的图象在第三象限交于点A(x1，y1)，在第一象限相切于点B(x2，y2)．因为函数f(x)＝是奇函数，所以设A关于原点对称的点为A′(－x1，－y1)，显然x2＞－x1＞0，即x1＋x2＞0，－y1＞y2，即y1＋y2＜0．当a＞0时，由对称性知x1＋x2＜0，y1＋y2＞0．

12．(多选题)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为直线x＝－1．下面四个结论中正确的是(　　)

A．b2>4ac B．2a－b＝1

C．a－b＋c＝0 D．5a<b

AD　解析：因为二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，A正确；二次函数的图象的对称轴为直线x＝－1，即－＝－1，得2a－b＝0，B错误；结合图象知，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，C错误；因为函数的图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a<b，D正确．故选AD．

13．(多选题)若函数f(x)＝(x－1)(x＋a)在区间(1,2)上单调递增，则满足条件的实数a的值可能是(　　)

A．0 B．2 

C．－2 D．－3

ABD　解析：根据题意可知f(x)＝

对于y＝x2＋(a－1)x－a及y＝－x2－(a－1)x＋a，其图象的对称轴均为直线x＝．当≥－a，即a≥－1时，作出f(x)的大致图象(为方便说明，略去y轴以及坐标原点)如图1所示，

由图可知，此时要满足题意，只需－a≥2或≤1，解得a≤－2或a≥－1，故a≥－1．

当＜－a，即a＜－1时，作出f(x)的大致图象(为方便说明，略去y轴以及坐标原点)如图2所示，

由图可知，此时要满足题意，只需－a≤1或≥2，解得a≥－1或a≤－3，故a≤－3．

综上所述，a≥－1或a≤－3．

14．(2021·北师大实验中学期中)函数f(x)满足下列性质：(1)定义域为R，值域为[1，＋∞)；(2)图象关于直线x＝2对称；(3)对任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2，都有＜0．请写出函数f(x)的一个解析式________．(只要写出一个即可)

f(x)＝x2－4x＋5(答案不唯一)　解析：由题意，不妨取f(x)＝(x－2)2＋1，此时f(x)的图象的对称轴为直线x＝2，开口向上，满足性质(2)．因为对任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2，都有＜0，故f(x)在(－∞，0)上单调递减，易知f(x)满足性质(3)．又f(x)＝(x－2)2＋1≥1，满足性质(1)．故可取f(x)＝x2－4x＋5．

15．已知函数f(x)＝x2＋2x．

(1)若f(x)>a在区间[1,3]上恒有解，求实数a的取值范围；

(2)若f(x)>a在区间[1,3]上恒成立，求实数a的取值范围．

解：(1)f(x)>a在区间[1,3]上恒有解，等价于a<f(x)max．又f(x)＝x2＋2x且x∈[1,3]，

当x＝3时，f(x)max＝15，

故a的取值范围为{a|a<15}．

(2)f(x)>a在区间[1,3]上恒成立，等价于a<f(x)min，又f(x)＝x2＋2x且x∈[1,3]，

当x＝1时，f(x)min＝3，

故a的取值范围为{a|a<3}．

16．(2022·郑州模拟)已知函数g(x)＝ax2－2ax＋b＋1(a≠0，b＜1)在区间[2,3]上有最大值4，最小值1．

(1)求a，b的值；

(2)设f(x)＝，不等式f(2x)－k·2x≥0对x∈[－1,1]恒成立，求实数k的取值范围．

解：(1)g(x)＝ax2－2ax＋b＋1＝a(x－1)2－a＋b＋1．

若a＞0，则g(x)在[2,3]上单调递增，

所以g(2)＝b＋1＝1，g(3)＝3a＋b＋1＝4，解得a＝1，b＝0；

若a＜0，则g(x)在[2,3]上单调递减，所以g(2)＝b＋1＝4，解得b＝3．因为b＜1，所以b＝3(舍去)．综上，a＝1，b＝0．

(2)因为f(x)＝，所以f(x)＝＝x＋－2．因为不等式f(2x)－k·2x≥0对x∈[－1,1]恒成立，所以2x＋－2－k·2x≥0对x∈[－1,1]恒成立，即k≤－2×＋1＝对x∈[－1,1]恒成立．

因为x∈[－1,1]，所以∈，

所以∈[0,1]，所以k≤0，故实数k的取值范围是(－∞，0]．