高考数学一轮复习课时质量评价14函数模型及其应用含答案

课时质量评价(十四)

A组　全考点巩固练

1．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x(分钟)的函数图象为(　　)

D　解析：y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C．又因为小王在乙地休息10分钟，排除B．故选D．

2．气象学院用32万元购置了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启动的第1天开始连续使用，第n天的维修保养费为4n＋46(n∈N*)元，使用它直至“报废最合算”(所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器平均每天耗资最少)为止，则一共要使用(　　)

A．300天 B．400天

C．600天 D．800天

B　解析：使用n天的平均耗资为＝元，当且仅当＝2n时取得最小值，此时n＝400．

3．新品牌电视投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好反映月销售量y(台)与投放市场的月数x之间的关系的是(　　)

A．y＝100x

B．y＝50x2－50x＋100

C．y＝50×2x

D．y＝100log2x＋100

C　解析：对于A中的函数，当x＝3或x＝4时，误差较大；对于B中的函数，当x＝4时，误差也较大；对于C中的函数，当x＝1,2,3时，误差为0，x＝4时，误差为10，误差很小；对于D中的函数，当x＝4时，y＝300，与实际值790相差很大．综上，C中的函数误差最小．

4．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q件，销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170p－p2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)(　　)

A．30元 B．60元

C．28 000元 D．23 000元

D　解析：设毛利润为L(p)元，则由题意知L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)＝(8 300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11 700p－166 000，所以L′(p)＝－3p2－300p＋11 700． 令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．当p∈(0,30)时，L′(p)>0；当p∈(30，＋∞)时，L′(p)<0．故L(p)在p＝30时取得极大值，即最大值，且最大值为L(30)＝23 000．

5．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%．若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，至少应过滤________次才能达到市场要求．(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)

8　解析：设至少过滤n次才能达到市场要求，则2%×≤0.1%，即≤，所以nlg≤－1－lg 2，所以n≥7.39，所以n＝8．

6．我们经常听到这样一种说法：一张纸经过一定次数对折之后厚度能超过地月距离．但实际上，因为纸张本身有厚度，我们并不能将纸张无限次对折，当厚度超过纸张的长边时，便不能继续对折了，一张长边为w，厚度为x的矩形纸张沿两个方向不断对折，则经过两次对折，长边变为w，厚度变为4x，在理想情况下，对折次数n有下列关系：n≤·log2(注：lg 2≈0.3)．根据以上信息，一张长为21 cm，厚度为0.05 mm的纸最多能对折________次．

8　解析：由题知n≤log24 200＝＝．因为log210＝≈，0<log2<1，所以n≤8＋log2，n的最大值为8．

7．某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌．现有三种价格模拟函数：①f(x)＝p·qx；②f(x)＝px2＋qx＋1；③f(x)＝x(x－q)2＋p(以上三式中p，q均为常数，且q＞1)．

(1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)?

(2)若f(0)＝4，f(2)＝6．

①求出所选函数f(x)的解析式(注：函数定义域是[0,5]，其中x＝0表示8月1日，x＝1表示9月1日，以此类推)；

②为保证养殖户的经济效益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该海鲜将在哪几个月内价格下跌．

解：(1)因为上市初期和后期价格呈持续上涨态势，而中期又将出现价格连续下跌，所以在所给出的函数中应选模拟函数f(x)＝x(x－q)2＋p．

(2)①对于f(x)＝x(x－q)2＋p，

由f(0)＝4，f(2)＝6，

可得p＝4，(2－q)2＝1，又q＞1，所以q＝3，

所以f(x)＝x3－6x2＋9x＋4(0≤x≤5)．

②因为f(x)＝x3－6x2＋9x＋4(0≤x≤5)，

所以f′(x)＝3x2－12x＋9，

令f′(x)＜0，得1＜x＜3．所以函数f(x)在(1,3)内单调递减，所以可以预测这种海鲜将在9月、10月两个月内价格下跌．

B组　新高考培优练

8．巴中某学校定期对教室进行药熏消毒(消杀人员进入教室学生就出教室)．教室内每立方米空气中的含药量y(单位：毫克)随时间t(单位：时)的变化情况如图所示．在药物释放的过程中，y与t成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝10a－t(a为常数)．据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.2毫克以下时，学生方可进入教室．那么，从消杀师傅进入教室开始到学生能回到教室，至少在(参考数值lg 2≈0.301 03)(　　)

A．48分钟后 B．42分钟后

C．54分钟后 D．60分钟后

A　解析：把点(0.1,1)代入y＝10a－t，得1＝10a－0.1，即a＝0.1，则当t≥0.1时，y＝100.1－t，

由100.1－t<0.2，解得t>1.1－lg 2≈0.8，

故至少需要经过0.8×60＝48分钟后，学生才能回到教室．

9．(多选题)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 L汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是(　　)

A．消耗1 L汽油，乙车最多可行驶5 km

B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多

C．甲车以80 km/h的速度行驶1 h，消耗8 L汽油

D．某城市机动车最高限速80 km/h，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油

CD　解析：由题图可知，当乙车速度大于40 km/h时，乙车每消耗1升汽油，行驶里程都超过5 km，A错；由题意可知，以相同速度行驶相同路程，燃油效率越高，耗油越少，故三辆车中甲车耗油最少，B错；甲车以80 km/h的速度行驶时，燃油效率为10 km/L，则行驶1小时，消耗了汽油80×1÷10＝8(L)，C正确；速度在80 km/h以下时，丙车比乙车燃油率更高，所以更省油，D正确．

10．(多选题)(2022·济南月考)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们行走的路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，则下列结论正确的是(　　)

A．当x>1时，甲走在最前面

B．当x>1时，乙走在最前面

C．当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面

D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲

CD　解析：甲、乙、丙、丁的路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型．

当x＝2时，f1(2)＝3，f2(2)＝4，所以A不正确；

当x＝5时，f1(5)＝31，f2(5)＝25，所以B不正确．

根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，又当x＝1时，甲、乙、丙、丁四个物体走过的路程相等，从而可知，当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面，所以C正确；

指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以D正确．

11．李冶(1192－1279)，真定栾城(今河北省石家庄市)人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，有多部数学著作，其中《益古演段》主要研究平面图形问题，求圆的直径、正方形的边长等．其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是________步、________步(注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算)．

20　60　解析：设圆池的半径为r步，则方田的边长为(2r＋40)步，由题意，得(2r＋40)2－3r2＝13.75×240，解得r＝10或r＝－170(舍)，所以圆池的直径为20步，方田的边长为60步．

12．响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调研，生产某小型电子产品需投入年固定成本2万元，每生产x万件，需另投入流动成本W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝x2＋2x．在年产量不小于8万件时，W(x)＝7x＋－37．每件产品售价6元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．

(1)写出年利润P(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：万件)的函数解析式．(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)

(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？

解：(1)因为每件商品售价为6元，则x万件商品销售收入为6x万元．依题意得

当0<x<8时，

P(x)＝6x－－2＝－x2＋4x－2，

当x≥8时，

P(x)＝6x－－2＝35－．

故P(x)＝

(2)当0<x<8时，P(x)＝－(x－6)2＋10．

此时，当x＝6时，P(x)取最大值，最大值为10万元．

当x≥8时，P(x)＝35－≤35－2＝15．

此时，当x＝10时，P(x)取得最大值，最大值为15万元．

因为10<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．