高考数学一轮复习课时质量评价28平面向量的数量积及综合应用含答案

课时质量评价(二十八)

A组　全考点巩固练

1．已知向量a＝(1，)，b＝(，1)，则向量a＋b与a－b的夹角为(　　)

A．　   B．

C．   D．

D　解析：设θ为a＋b与a－b的夹角，∵a＝(1，)，b＝(，1)，

∴a＋b＝(1＋，1＋)，a－b＝(1－，－1)，

则|a＋b|＝＋，|a－b|＝－，

∴cos  θ＝＝0．又0≤0≤π．∴θ＝．故选D．

2．(2020·全国Ⅱ卷)已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是(　　)

A．a＋2b   B．2a＋b

C．a－2b   D．2a－b

D　解析：由已知可得：a·b＝|a|·|b|·cos 60°＝1×1×＝．

A：因为(a＋2b)·b＝a·b＋2b2＝＋2×1＝≠0, 所以本选项不符合题意；

B：因为(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2×＋1＝2≠0，所以本选项不符合题意；

C：因为(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－2 ×1＝－≠0，所以本选项不符合题意；

D：因为(2a－b)·b＝2a·b－b2＝2×－1＝0，所以本选项符合题意．

3．(2021·河北邯郸模拟)已知向量a＝(－2，t)，b＝(1，－1)．若(a－b)∥b，则实数t＝(　　)

A．－2   B．－4 

C．2   D．4

C　解析：因为向量a＝(－2，t)，b＝(1，－1)，所以向量a－b＝(－3，t＋1)．因为(a－b)∥b，所以3－(t＋1)＝0，解得t＝2．故选C．

4．已知向量a与b的夹角为120°，|a|＝3，|a＋b|＝，则|b|等于(　　)

A．5   B．4 

C．3   D．1

B　解析：因为向量a与b的夹角为120°，|a|＝3，|a＋b|＝，所以a·b＝cos 120°＝－．因为2＝2＋2＋2a·b，所以13＝2－3＋9，所以|b|＝－1(舍去)或|b|＝4．故选B．

5．(2022·桃江模拟)已知向量a，b满足|a|＝，|b|＝1，且|b＋a|＝2，则向量a与b的夹角的余弦值为(　　)

A．　   B． 

C．　　   D．

D　解析：由题意可知|b＋a|2＝b2＋2a·b＋a2＝3＋2a·b＝4，解得a·b＝，∴cos a，b＝＝＝．

6．在△ABC中，AB＝4，AC＝2，∠BAC＝60°，点D为BC边上一点，且D为BC边上靠近C的三等分点，则·＝(　　)

A．8   B．6  C．4   D．2

A　解析：在△ABC中，已知AB＝4，AC＝2，∠BAC＝60°，所以·＝·(＋)＝·＝·＝2＋·＝2＋·cos∠BAC＝＋×4×2×＝8．故选A．

7．已知向量a＝(sin θ，)，b＝(1，cos θ)，|θ|≤，则|a－b|的最大值为(　　)

A．2　   B．　

C．3 　   D．5

B　解析：由已知可得|a－b|2＝(sin θ－1)2＋(－cos θ)2＝5－4sin．因为|θ|≤，所以0≤θ＋≤，所以当θ＝－时，|a－b|2的最大值为5－0＝5，故|a－b|的最大值为．

8．(2021·北京卷)已知a＝(2,1)，b＝(2，－1)，c＝(0,1)，则(a＋b)·c＝________；a·b＝________．

0　3　解析：计算可得(a＋b)·c＝(4,0)·(0,1)＝0，a·b＝4－1＝3．

9．已知向量a＝(m,2)，b＝(1，－3)．若a⊥b，则|a|＝________．

2　解析：因为a⊥b，a＝(m,2)，b＝(1，－3)，所以a·b＝m－6＝0，解得m＝6，所以|a|＝＝2．

10．(2021·全国乙卷)已知向量a＝(1,3)，b＝(3,4)．若(a－λb)⊥b，则实数λ＝________．

　解析：由题意，得a－λb＝(1－3λ，3－4λ)．因为(a－λb)⊥b，所以3(1－3λ)＋4(3－4λ)＝0，解得λ＝．

11．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°．

(1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b|；

(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)?

解：由已知得，a·b＝4×8×＝－16．

(1)①因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－16)＋64＝48，所以|a＋b|＝4．

②因为|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768，所以|4a－2b|＝16．

(2)因为(a＋2b)⊥(ka－b)，所以(a＋2b)·(ka－b)＝0，

所以ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，即16k－16(2k－1)－2×64＝0，所以k＝－7．

当k＝－7时，(a＋2b)⊥(ka－b)．

12．在平面直角坐标系xOy中，点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．

(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；

(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．

解：(1)由题设知＝(3,5)，＝(－1,1)，则＋＝(2,6)，－＝(4,4)．

所以|＋|＝2，|－|＝4，故所求的两条对角线的长分别为2，4．

(2)由题设知，＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t,5＋t)，

由(－t)·＝0，得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，从而5t＝－11，所以t＝－．

B组　新高考培优练

13．(多选题)(2021·山东高考预测卷)已知平面向量a＝(3,4)，b＝(7,1)，则下列结论正确的是(　　)

A．a＋b＝(10,5)   B．|b|＝10|a|

C．a∥(a－b)   D．a与b的夹角为45°

AD　解析：根据向量的坐标运算易知A选项正确；因为|b|＝5，|a|＝5，所以B选项错误；因为a－b＝(－4,3)，3×3≠4×(－4)，所以C选项错误；因为cos 〈a，b〉＝＝＝，所以a与b的夹角为45°，D选项正确．

14．(多选题)如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成θ角的两条数轴，e1，e2分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为θ仿射坐标系．若＝xe1＋ye2，则把有序数对(x，y)叫做向量的仿射坐标，记为＝(x，y)．在θ＝的仿射坐标系中，a＝(1,2)，b＝(2，－1)，则下列结论正确的是(　　)

A．a－b＝(－1,3)

B．|a|＝

C．a⊥b

D．a在b上的投影向量的坐标为

ABD　解析：对于A，∵a－b＝(e1＋2e2)－(2e1－e2)＝－e1＋3e2，∴a－b＝(－1,3)，A正确；

对于B，∵|a|＝＝＝，∴B正确；

对于C，∵a·b＝(e1＋2e2)·(2e1－e2)＝2e＋3e1·e2－2e＝2＋3×－2＝－≠0，∴C错误；对于D，设a在b上的投影向量为λb, 则a·b＝λb·b＝λb2，因为|b|＝＝＝＝，

所以 －＝λ×7, 则λ＝－，

所以a在b上的投影向量的坐标为，所以D正确．

15．(2021·山东烟台三模)在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2BC＝2CD＝2，P是腰AD上的动点，则|2－|的最小值为(　　)

A．   B．3 

C．   D．

C　解析：过D作DE⊥AB，垂足为E，过C作CF⊥AB，垂足为F，以E为原点，分别以EB，ED所在的直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，如图所示：

由已知可得CD＝BC＝1，AD＝EF＝1, AE＝BF＝，所以DE＝＝＝，E(0,0)，A，D，C，F(1,0)，B．因为P是腰AD上的点，所以设点P的横坐标为x．因为直线AD的方程为＋＝1，即y＝x＋，P，所以＝，＝(1－x，－x)，所以2－＝(2－x，－x－)，所以|2－|＝＝＝，当x＝－∈，|2－|存在最小值为．故选C．

16．已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，若函数f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx＋1在R上存在极值，则a和b夹角的取值范围为________．

　解析： f′(x)＝x2＋|a|x＋a·b，设a和b的夹角为θ，因为f(x)有极值，所以Δ＝|a|2－4a·b>0，即Δ＝|a|2－4|a|·|b|·cos θ>0，即cos θ<，所以θ∈．

17．(2022·江苏南通联考)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则·的取值范围是________．

(－2,6)　解析：画出图形如图，

·＝||||·cos〈，〉，它的几何意义是AB的长度与在向量的投影的乘积，由图可知，P在C处时，取得最大值，||cos∠CAB＝||＋||＝3，此时，可得·＝||||cos 〈，〉＝2×3＝6，即最大值为6．在F处取得最小值，此时·＝cos 〈，〉＝2×2×＝－2，最小值为－2．因为P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，取不到临界值，所以·的取值范围是(－2,6)．

18．已知A，B，C是△ABC的内角，a，b，c分别是其对边长，向量m＝(，cos A＋1)，n＝(sin A，－1)，m⊥n．

(1)求角A的大小；

(2)若a＝2，cos B＝，求b的值．

解：(1)因为m⊥n，所以m·n＝sin A＋(cos A＋1)×(－1)＝0，所以sin A－cos A＝1，

所以sin＝．

因为0<A<π，所以－<A－<，所以A－＝，所以A＝．

(2)在△ABC中，A＝，a＝2，cos B＝，

所以sin B＝＝＝．

由正弦定理知＝，所以b＝＝＝，所以b＝．

19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－c)·＝c·．

(1)求角B的大小；

(2)若|－|＝，求△ABC面积的最大值．

解：(1)由题意得(a－c)cos B＝bcos C．根据正弦定理得(sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，

所以sin Acos B＝sin(C＋B)，

即sin Acos B＝sin A．

因为A∈(0，π)，所以sin A>0，所以cos B＝，

又B∈(0，π)，所以B＝．

(2)因为|－|＝，所以||＝，即b＝，根据余弦定理及基本不等式得6＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝(2－)ac(当且仅当a＝c时取等号)，即ac≤3(2＋)，

故△ABC的面积S＝acsin B≤，即△ABC的面积的最大值为．