高考数学一轮复习课时质量评价49抛物线含答案

课时质量评价(四十九)

A组　全考点巩固练

1．若抛物线y＝ax2的焦点坐标是(0,1)，则a＝(　　)

A．1   B． 

C．2   D．

D　解析：因为抛物线的标准方程为x2＝y，所以其焦点坐标为，则有＝1，a＝．

2．中国古代桥梁的建筑艺术，有不少是世界桥梁史上的创举，充分显示了中国劳动人民的非凡智慧．一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2 m时，水面宽8 m．若水面下降1 m，则水面宽度为(　B　)

A．2 m   B．4 m

C．4 m   D．12 m

3．(2021·武汉模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，点A(5，3)，M为抛物线上一点，且M不在直线AF上，则△MAF周长的最小值为(　　)

A．10   B．11 

C．12   D．13

B　解析：由题意知，焦点F为(1,0)，当|MA|＋|MF|的值最小时，△MAF的周长最小．设点M在抛物线的准线上的射影为D(图略)，根据抛物线的定义，可知|MD|＝|MF|，因此|MA|＋|MF|的最小值即|MA|＋|MD|的最小值．根据平面几何的知识可得，当D，M，A三点共线时，|MA|＋|MD|最小，最小值为xA－(－1)＝5＋1＝6．又|FA|＝＝5，所以△MAF周长的最小值为6＋5＝11．

4．设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是抛物线上异于O的一点，过点P作PQ⊥l于点Q，则线段FQ的垂直平分线(　　)

A．经过点O 

B．经过点P

C．平行于直线OP 

D．垂直于直线OP

B　解析：由抛物线定义知|PQ|＝|PF|，所以FQ的垂直平分线必过点P．故选B．

5．(多选题)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点．若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为9，则(　　)

A．|BF|＝3

B．△ABF是等边三角形

C．点F到准线的距离为3

D．抛物线C的方程为y2＝6x

BCD　解析：如图，

由题意知|AB|＝2|FH|＝2p，

所以xA＝，从而yA＝p，又S△ABF＝|AB|·yA＝p2＝9，所以p＝3，

所以抛物线C的方程为y2＝6x，C正确，D正确；

所以|BF|＝|AF|＝＝2p＝6，A错误；

又|AB|＝2p＝6，所以△ABF为等边三角形，所以B正确．故选BCD．

6．抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点O是坐标原点，过点O，F的圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线C的标准方程为____________．

y2＝16x　解析：设满足题意的圆的圆心为M．根据题意可知圆心M在抛物线上．

又因为圆的面积为36π，

所以圆的半径为6，则|MF|＝xM＋＝6，则xM＝6－．

又由题意可知xM＝，所以＝6－，解得p＝8．

所以抛物线C的标准方程为y2＝16x．

7．(2022·长沙模拟)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线与C交于A，B两点，且|FA|＝4，则|AB|＝________．

　解析：设过F(1,0)的直线方程为x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

联立直线与抛物线方程可得y2－4my－4＝0，Δ＝(－4m)2－4×(－4)＝16m2＋16>0．

由根与系数的关系，可得y1y2＝－4，则x1x2＝·＝1．

因为由抛物线的定义，可得|FA|＝x1＋1＝4，所以x1＝3，x2＝，

所以|FB|＝x2＋1＝，|AB|＝4＋＝．

8．已知抛物线C1：y2＝2px(p＞0)的焦点与双曲线C2：－＝1的右顶点重合．

(1)求抛物线C1的标准方程；

(2)设过点(0,1)的直线l与抛物线C1交于不同的两点A，B，F是抛物线C1的焦点，且·＝1，求直线l的方程．

解：(1)由题意可知，双曲线C2：－＝1的右顶点为(2,0)，则＝2，解得p＝4，

所以抛物线C1的标准方程为y2＝8x．

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，F(2,0)．

当直线l的斜率不存在时，不符合题意；

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋1，

联立方程可得k2x2＋(2k－8)x＋1＝0，

由Δ＞0，可得(2k－8)2－4k2＞0，解得k＜2，

所以x1＋x2＝－，x1x2＝．

因为·＝1，所以·＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝1，

则x1x2－2(x1＋x2)＋4＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝(1＋k2)x1x2＋(k－2)(x1＋x2)＋5＝1，

即k2＋4k－5＝0，解得k＝1或k＝－5，

所以直线l的方程为y＝x＋1或y＝－5x＋1．

B组　新高考培优练

9．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，P是C上一点，且|PF|＝4，以PF为直径的圆截x轴所得的弦长为2，则p＝(　　)

A．2   B．4 

C．2或4   D．2或6

D　解析：设以PF为直径的圆与x轴交点为A，F，

则|AF|＝2，|PF|＝4，

连接PA，则∠PAF＝90°，

所以|PA|＝＝＝2，

所以yP＝2，

把y＝2代入y2＝2px，得x＝，所以xP＝，

所以－＝|PF|，即＋＝4，所以p2－8p＋12＝0，解得p＝2或6．故选D．

10．已知直线l：y＝x－1与抛物线C：y2＝2px(p>0)相交于A，B两点，若AB的中点为N，且抛物线C上存在点M，使得＝3(O为坐标原点)，则抛物线C的方程为(　　)

A．y2＝8x   B．y2＝4x

C．y2＝2x   D．y2＝x

B　解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程整理得x2－2(1＋p)x＋1＝0，

Δ＝[－2(1＋p)]2－4>0，则x1＋x2＝2(1＋p)，可得y1＋y2＝x1＋x2－2＝2p．

由点N为AB的中点，所以N(1＋p，p)．

设M(x0，y0)，因为＝3，可得M(3＋3p,3p)，

又由点M在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，可得(3p)2＝2p×3(1＋p)，

即p2－2p＝0，解得p＝2或p＝0(舍去)，

所以抛物线的标准方程为y2＝4x．

11．(2021·安阳模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，l与x轴的交点为P，点A在抛物线C上，过点A作AA′⊥l，垂足为A′．若四边形AA′PF的面积为14，且cos∠FAA′＝，则抛物线C的方程为(　　)

A．y2＝x   B．y2＝2x

C．y2＝4x   D．y2＝8x

C　解析：过点F作FF′⊥AA′，垂足为F′．设|AF′|＝3x，因为cos∠FAA′＝，故|AF|＝5x，则|FF′|＝4x．由抛物线定义可知，|AF|＝|AA′|＝5x，则|A′F′|＝2x＝p，故x＝．四边形AA′PF的面积S＝＝＝14，解得p＝2，故抛物线C的方程为y2＝4x．

12．(多选题)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F到准线的距离为2，过点F的直线与抛物线交于P，Q两点，M为线段PQ的中点，O为坐标原点，则下列结论正确的是(　　)

A．C的准线方程为y＝－1

B．线段PQ的长度最小为4

C．M的坐标可能为(3,2)

D．·＝－3恒成立

BCD　解：由焦点F到准线的距离为2，得抛物线C的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1，A项错误．

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线PQ的方程为x＝my＋1．联立消去y可得x2－(4m2＋2)x＋1＝0，Δ＝[－(4m2＋2)]2－4>0，消去x可得y2－4my－4＝0，Δ＝(－4m)2－4×(－4)>0，所以x1＋x2＝4m2＋2，y1＋y2＝4m．|PQ|＝x1＋x2＋p＝4m2＋4≥4，故B项正确．当m＝1时，可得M(3,2)，所以C项正确．又x1x2＝1，y1y2＝－4，所以·＝x1x2＋y1y2＝－3，所以D项正确．

13．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过P作PA⊥l于点A，当∠AFO＝30°(O为坐标原点)时，|PF|＝________．

　解析：设l与y轴的交点为B，在Rt△ABF中，∠AFB＝30°，|BF|＝2，所以|AB|＝．设P(x0，y0)，则x0＝±，代入x2＝4y中，得y0＝，从而|PF|＝|PA|＝y0＋1＝．

14．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点M(－1,4)作y轴的垂线交抛物线C于点A，且满足＝，设直线AF交抛物线C于另一点B，则点B的纵坐标为________．

－1　解析：由题意可知，因为＝，所以点M在准线上，

又因为准线方程为x＝－，所以－＝－1，即p＝2，

所以抛物线C的方程为y2＝4x．

因为点M的坐标为(－1,4)，所以A(4,4)，故直线AB方程为y＝x－，

联立得y2－3y－4＝0，

解得y＝4(舍)或y＝－1，故点B的纵坐标为－1．

15．直线l过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F(1,0)，且与C交于A，B两点，则p＝_______，＋＝_________．

2　1　解析：由＝1，得p＝2．当直线l的斜率不存在时，l：x＝1，代入y2＝4x，得y＝±2，此时|AF|＝|BF|＝2，所以＋＝＋＝1．当直线l的斜率存在时，设l：y＝k(x－1)(k≠0)，代入抛物线方程，得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝1，＋＝＝＝＝＝1．综上，＋＝1．

16．如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．

(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；

(2)若直线PA和PB的倾斜角互补，求y1＋y2的值及直线AB的斜率．

解：(1)设抛物线的方程为y2＝2px，

把P(1,2)代入得p＝2，

所以抛物线的方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1．

(2)因为直线PA和PB的倾斜角互补，

所以kPA＋kPB＝0，

所以＋＝＋＝0，

所以＋＝0，所以y1＋y2＝－4，

kAB＝＝＝＝－1．

17．已知抛物线C1：y2＝4x，圆C2：(x－3)2＋y2＝4，F是抛物线的焦点，过点F的直线与抛物线C1交于A，B两点，与圆C2交于点D，点D是线段AB的中点．

(1)求抛物线的准线方程；

(2)求△OAB的面积．

解：(1)因为抛物线C1：y2＝4x，

所以准线方程为x＝－1．

(2)设直线l：x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

联立直线与抛物线得y2－4my－4＝0，Δ＝(－4m)2－4×(－4)>0．

由根与系数的关系可得y1＋y2＝4m，

故x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝4m2＋2，

所以D(2m2＋1,2m)．

将点D坐标代入圆方程得(m2－1)2＋m2＝1，解得m＝±1(0舍去)．

根据抛物线的对称性，

不妨设m＝1，联立消去y得x2－6x＋1＝0，Δ＝(－6)2－4>0．

所以x1＋x2＝6，

所以|AB|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋2＝8，

坐标原点到直线x－y－1＝0的距离d＝，

所以S△OAB＝|AB|·d＝2．