高考数学一轮复习课时质量评价51范围、最值问题含答案

这是一份高考数学一轮复习课时质量评价51范围、最值问题含答案，共8页。试卷主要包含了过抛物线M，已知椭圆C等内容，欢迎下载使用。

1．若ab≠0，则ax－y＋b＝0和bx2＋ay2＝ab所表示的曲线是下图中的( )
A B C D
C 解析：方程化为y＝ax＋b和eq \f(x2,a)＋eq \f(y2,b)＝1．从B，D中的两椭圆看a，b∈(0，＋∞)，但B中直线有a＜0，b＜0矛盾，所以B不可能；D中直线有a＜0，b＞0矛盾，也不可能；再看A中双曲线的a＜0，b＞0，但直线有a＞0，b＞0，也矛盾，所以A也不可能；C中双曲线的a＞0，b＜0和直线中a，b一致．所以C是可能的．
2．在平面直角坐标系xOy中，已知M(－1,2)，N(1,0)，动点P满足|eq \(PM,\s\up7(→))·eq \(ON,\s\up7(→))|＝|eq \(PN,\s\up7(→))|，则动点P的轨迹方程是( )
A．y2＝4x B．x2＝4y
C．y2＝－4x D．x2＝－4y
A 解析：设P(x，y)，M(－1,2)，N(1,0)，
eq \(PM,\s\up7(→))＝(－1－x,2－y)，eq \(ON,\s\up7(→))＝(1,0)，eq \(PN,\s\up7(→))＝(1－x，－y)．
因为|eq \(PM,\s\up7(→))·eq \(ON,\s\up7(→))|＝|eq \(PN,\s\up7(→))|，所以|1＋x|＝eq \r((1－x)2＋y2)，整理得y2＝4x．故选A．
3．斜率为eq \r(2)的直线与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是( )
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(1，eq \r(3)) D．(eq \r(3)，＋∞)
D 解析：因为斜率为eq \r(2)的直线与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)恒有两个公共点，
所以eq \f(b,a)>eq \r(2)，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\f(b2,a2))>eq \r(1＋2)＝eq \r(3)，
所以双曲线离心率的取值范围是(eq \r(3)，＋∞)．故选D．
4．抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为( )
A．eq \r(2) B．eq \f(7\r(2),8)
C．2eq \r(2) D．eq \f(5\r(2),6)
B 解析：设抛物线上一点的坐标为(x，y)，则d＝eq \f(|x－y－2|,\r(2))＝eq \f(|－x2＋x－2|,\r(2))＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))eq \s\UP12(2)－\f(7,4))),\r(2))，
所以当x＝eq \f(1,2)时，dmin＝eq \f(7\r(2),8)．
5．(2022·运城模拟)关于曲线eq \f(y2,4)＋x|x|＝1的以下描述，正确的是( )
A．该曲线的范围为y∈R，x∈R
B．该曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称
C．该曲线与直线2x＋y＝0有两个公共点
D．该曲线上的点到坐标原点的距离的最小值为1
D 解析：曲线eq \f(y2,4)＋x|x|＝1，
当x≥0时，曲线方程可化为eq \f(y2,4)＋x2＝1，此时曲线为椭圆的右半部分，
当x＜0时，曲线方程可化为eq \f(y2,4)－x2＝1，此时曲线为双曲线的左半部分，作出曲线对应的图象如图所示．
由图可知，y∈R，x≤1，故选项A错误；
由图可知，曲线关于x轴对称，不关于y轴对称，故选项B错误；
因为直线2x＋y＝0是双曲线的渐近线，与双曲线没有交点，与半椭圆只有一个交点，
故该曲线与直线2x＋y＝0有一个公共点，故选项C错误；
因为点(1,0)到原点的距离最小，所以曲线上的点到原点距离的最小值为1，故选项D正确．故选D．
6．过抛物线M：y2＝8x的焦点F作两条斜率之积为－2的直线l1，l2，其中l1交M于A，C两点，l2交M于B，D两点，则|AC|＋|BD|的最小值为________．
24 解析：设直线l1：y＝k(x－2)，代入y2＝8x，得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，Δ＝[－(4k2＋8)]2－4×4k2·k2>0，
所以xA＋xC＝eq \f(4k2＋8,k2)，所以|AC|＝xA＋xC＋p＝8＋eq \f(8,k2)．
以－eq \f(2,k)代k，得|BD|＝8＋eq \f(8,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,k)))eq \s\UP12(2))＝8＋2k2，
所以|AC|＋|BD|＝16＋2k2＋eq \f(8,k2)≥16＋2eq \r(2k2·\f(8,k2))＝24，当且仅当2k2＝eq \f(8,k2)，即k＝±eq \r(2)时等号成立．
7．已知抛物线y2＝4x，过点Q(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则yeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,2)的最小值是________．
32 解析：设过点(4,0)的直线方程为x＝ay＋4．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ay＋4，,y2＝4x，))得y2－4ay－16＝0，所以y1y2＝－16，y1＋y2＝4a，
所以yeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,2)＝(y1＋y2)2－2y1y2＝16a2＋32≥32，当a＝0时，(yeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,2))min＝32．
8．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)经过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)，\f(1,2)))，两个焦点分别为F1(－eq \r(3)，0)，F2(eq \r(3)，0)．
(1)求椭圆C的方程．
(2)设圆D：x2＋y2＝r2(b解：(1)由题意c＝eq \r(3)，所以a2＝b2＋3，椭圆C的方程可化为eq \f(x2,b2＋3)＋eq \f(y2,b2)＝1(b>0)．
因为椭圆C经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)，\f(1,2)))，所以eq \f(3,b2＋3)＋eq \f(1,4b2)＝1，
解得b2＝1或b2＝－eq \f(3,4)(舍)．
所以a2＝4，所以椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1．
(2)设l：y＝kx＋m，代入eq \f(x2,4)＋y2＝1，
得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0．
由Δ＝64k2m2－4(4k2＋1)(4m2－4)＝0，得m2＝1＋4k2．①
设A(x0，y0)，则x0＝－eq \f(4km,4k2＋1)＝－eq \f(4k,m)，
y0＝kx0＋m＝eq \f(1,m)．
因为l与圆D相切，所以圆心D(0,0)到l的距离eq \f(|m|,\r(1＋k2))＝r，即m2＝r2(1＋k2)．②
由①②得m2＝eq \f(3r2,4－r2)，k2＝eq \f(r2－1,4－r2)．
所以|AB|＝eq \r(x\\al(2,0)＋y\\al(2,0)－r2)
＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4k,m)))eq \s\UP12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,m)))eq \s\UP12(2)－r2)
＝eq \r(5－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,r2)＋r2)))．
因为eq \f(4,r2)＋r2≥2eq \r(\f(4,r2)·r2)＝4，当且仅当r＝eq \r(2)时取等号．因为r＝eq \r(2)∈(1,2)，所以|AB|的最大值为1．
B组 新高考培优练
9．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A，B两点，且|AB|＝4，这样的直线可以作2条，则p的取值范围是( )
A．(0,4) B．(0,4]
C．(0,2] D．(0,2)
D 解析：过抛物线y2＝2px(p>0)焦点的弦中最短的为通径，且通径长为2p，由已知得2p<4，所以p<2．又p>0，所以010．若点O和点F分别为椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则eq \(OP,\s\up7(→))·eq \(FP,\s\up7(→))的最大值为( )
A．2 B．3
C．6 D．8
C 解析：由题意得，F(－1,0)，设点P(x0，y0)，则yeq \\al(2,0)＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(x\\al(2,0),4)))(－2≤x0≤2)．
则eq \(OP,\s\up7(→))·eq \(FP,\s\up7(→))＝x0(x0＋1)＋yeq \\al(2,0)＝xeq \\al(2,0)＋x0＋yeq \\al(2,0)＝xeq \\al(2,0)＋x0＋3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(x\\al(2,0),4)))＝eq \f(1,4)(x0＋2)2＋2．
因为－2≤x0≤2，所以当x0＝2时，eq \(OP,\s\up7(→))·eq \(FP,\s\up7(→))取得最大值，最大值为6．故选C．
11．过椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为左焦点F．若eq \f(1,4)A．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(3,4))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(3,4)))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3,4))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1))
B 解析：由题意知，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－c，－\f(b2,a)))，所以k＝eq \f(\f(b2,a),c＋a)＝eq \f(a－c,a)＝1－e．又eq \f(1,4)所以eq \f(1,4)<1－e12．如图，抛物线W：y2＝4x与圆C：(x－1)2＋y2＝25交于A，B两点，点P为劣弧eq \(AB,\s\up10(︵))上不同于A，B的一个动点，与x轴平行的直线PQ交抛物线W于点Q，则△PQC的周长的取值范围是( )
A．(10,14) B．(12,14)
C．(10,12) D．(9,11)
C 解析：抛物线的准线l：x＝－1，焦点(1,0)，
由抛物线定义可得|QC|＝xQ＋1，圆(x－1)2＋y2＝25的圆心为C(1,0)，半径为5，
可得△PQC的周长＝|QC|＋|PQ|＋|PC|＝xQ＋1＋(xP－xQ)＋5＝6＋xP，由抛物线y2＝4x及圆(x－1)2＋y2＝25可得交点的横坐标为4，即有xP∈(4,6)，可得6＋xP∈(10,12)，
故△PQC的周长的取值范围是(10,12)．故选C．
13．已知P(x0，y0)是椭圆C：eq \f(x2,4)＋y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若eq \(PF1,\s\up7(→))·eq \(PF2,\s\up7(→))<0，则x0的取值范围是_________．
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(6),3)，\f(2\r(6),3))) 解析：由题意可知，F1(－eq \r(3)，0)，F2(eq \r(3)，0)，则eq \(PF1,\s\up7(→))·eq \(PF2,\s\up7(→))＝(x0＋eq \r(3))(x0－eq \r(3))＋yeq \\al(2,0)＝xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)－3<0．因为点P在椭圆上，所以yeq \\al(2,0)＝1－eq \f(x\\al(2,0),4)．所以eq \f(3x\\al(2,0),4)－2<0，解得－eq \f(2\r(6),3)14．已知点P是抛物线y2＝4x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A(4,6)，则|PA|＋|PM|的最小值是______．
3eq \r(5)－1 解析：延长PM交抛物线y2＝4x的准线x＝－1于点P′，焦点F(1,0)，
则|PP′|＝|PF|，所以要使|PA|＋|PM|最小，就是使|PA|＋|PP′|－|MP′|最小，也就是使得|PA|＋|PF|－|MP′|最小，
显然，当A，P，F三点共线时，|PA|＋|PF|－|MP′|最小，
最小值为|AF|－|MP′|＝eq \r((4－1)2＋(6－0)2)－|MP′|＝3eq \r(5)－1，
所以|PA|＋|PM|的最小值为3eq \r(5)－1．
15．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)经过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)，\f(1,2)))，两个焦点分别为F1(－eq \r(3)，0)，F2(eq \r(3)，0)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设圆D：x2＋y2＝r2(b解：(1)由题意c＝eq \r(3)，所以a2＝b2＋3，椭圆C的方程可化为eq \f(x2,b2＋3)＋eq \f(y2,b2)＝1(b>0)．
因为椭圆C经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)，\f(1,2)))，所以eq \f(3,b2＋3)＋eq \f(1,4b2)＝1，
解得b2＝1或b2＝－eq \f(3,4)(舍)．
所以a2＝4，所以椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1．
(2)设l：y＝kx＋m，代入eq \f(x2,4)＋y2＝1，
得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0．
由Δ＝64k2m2－4(4k2＋1)(4m2－4)＝0，得m2＝1＋4k2．①
设A(x0，y0)，则x0＝－eq \f(4km,4k2＋1)＝－eq \f(4k,m)，
y0＝kx0＋m＝eq \f(1,m)．
因为l与圆D相切，所以圆心D(0,0)到l的距离eq \f(|m|,\r(1＋k2))＝r，即m2＝r2(1＋k2)．②
由①②得m2＝eq \f(3r2,4－r2)，k2＝eq \f(r2－1,4－r2)．
所以|AB|＝eq \r(x\\al(2,0)＋y\\al(2,0)－r2)
＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4k,m)))eq \s\UP12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,m)))eq \s\UP12(2)－r2)
＝eq \r(5－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,r2)＋r2)))．
因为eq \f(4,r2)＋r2≥2eq \r(\f(4,r2)·r2)＝4，当且仅当r＝eq \r(2)时取等号．因为r＝eq \r(2)∈(1,2)，所以|AB|的最大值为1．