高考数学一轮复习课时质量评价62二项分布、超几何分布与正态分布含答案

这是一份高考数学一轮复习课时质量评价62二项分布、超几何分布与正态分布含答案，共8页。试卷主要包含了某试验每次成功的概率为p等内容，欢迎下载使用。

1．某种病毒的潜伏期X(单位：日)近似服从正态分布N(7，σ2)．若P(X≤3)＝0.128，则可以估计潜伏期大于或等于11天的概率为( )
A．0.372 B．0.256
C．0.128 D．0.744
C 解析：因为μ＝7，所以P(X≥11)＝P(X≤3)＝0.128．
2．(2021·长春期末)已知随机变量ξ～B(n，p)，若E(ξ)＝1.2，D(ξ)＝0.96，则实数n的值为( )
A．4 B．6
C．8 D．24
B 解析：由题意可得，E(ξ)＝np＝1.2①，
D(ξ)＝np(1－p)＝0.96②，
由①②可得，1－p＝0.8，所以p＝0.2，n＝6．
3．某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个村，下列事件中概率等于eq \f(6,7)的是( )
A．至少有1个深度贫困村
B．有1个或2个深度贫困村
C．有2个或3个深度贫困村
D．恰有2个深度贫困村
B 解析：用X表示这3个村庄中深度贫困村数，则X服从超几何分布，
所以P(X＝k)＝eq \f(C\\al(k,3)C\\al(3－k,4),C\\al(3,7))，计算P(X＝0)＝eq \f(C\\al(3,4)C\\al(0,3),C\\al(3,7))＝eq \f(4,35)，
P(X＝1)＝eq \f(C\\al(2,4)C\\al(1,3),C\\al(3,7))＝eq \f(18,35)，P(X＝2)＝eq \f(C\\al(1,4)C\\al(2,3),C\\al(3,7))＝eq \f(12,35)，
P(X＝3)＝eq \f(C\\al(0,4)C\\al(3,3),C\\al(3,7))＝eq \f(1,35)，所以P(X＝1)＋P(X＝2)＝eq \f(6,7)，
即有1个或2个深度贫困村的概率为eq \f(6,7)．
4．某试验每次成功的概率为p(0A．Ceq \\al(3,10)p3(1－p)7 B．Ceq \\al(3,10)p7(1－p)3
C．p3(1－p)7 D．p7(1－p)3
5．(2021·南海区期末)对一个物理量做n次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差εn～Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2,n)))．为使误差εn在[－0.5,0.5]的概率不小于0.954 5，至少要测量的次数为( )
(参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5)
A．8 B．10
C．30 D．32
D 解析：根据正态曲线的对称性知：要使误差εn在[－0.5,0.5]的概率不小于0.954 5，
则[μ－2σ，μ＋2σ]⊆[－0.5,0.5]，又μ＝0，σ＝eq \r( ,\f(2,n))，
所以0.5≥2eq \r( ,\f(2,n))⇒n≥32．
6．有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次(每次1件)．若X表示取得次品的次数，则P(X≤2)＝( )
A．eq \f(3,8) B．eq \f(13,14)
C．eq \f(4,5) D．eq \f(7,8)
D 解析：因为是有放回地取产品，所以每次取产品取到次品的概率为eq \f(4,8)＝eq \f(1,2)．从中取3次，X为取得次品的次数，则X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(1,2)))，
P(X≤2)＝P(X＝2)＋P(X＝1)＋P(X＝0)＝Ceq \\al(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\UP12(2)×eq \f(1,2)＋Ceq \\al(1,3)×eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\UP12(2)＋Ceq \\al(0,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\UP12(3)＝eq \f(7,8)．故选D．
7．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝Ceq \\al(k,300)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\UP12(k)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\UP12(300－k)(k＝0,1,2，…，300)，则E(ξ)＝________．
100 解析：由题意，随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝Ceq \\al(k,300)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\UP12(k)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\UP12(300－k) (k＝0,1,2，…，300)，所以ξ～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(300，\f(1,3)))，则E(ξ)＝np＝300×eq \f(1,3)＝100．
8．在某次模拟中，全年级的数学成绩近似服从正态分布N(93.1，49)．据此估计：在全年级同学中随机抽取的4名高三同学中，恰有2名同学的数学成绩超过93.1分的概率是________．
eq \f(3,8) 解析：由题意，可得每名学生的数学成绩ξ～N(93.1,49)，
所以P(ξ＞93.1)＝eq \f(1,2)，则全级随机抽取的4名同学中恰有2名的成绩超过93.1的概率p＝Ceq \\al(2,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\UP12(4)＝eq \f(3,8)．
9．某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问．
(1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率；
(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列．
解：(1)设事件A为“选派的3人中恰有2人会法语”，则P(A)＝eq \f(C\\al(2,5)C\\al(1,2),C\\al(3,7))＝eq \f(4,7)．
(2)依题意知X的取值为0,1,2,3，
P(X＝0)＝eq \f(C\\al(3,4),C\\al(3,7))＝eq \f(4,35)，P(X＝1)＝eq \f(C\\al(2,4)C\\al(1,3),C\\al(3,7))＝eq \f(18,35)，
P(X＝2)＝eq \f(C\\al(1,4)C\\al(2,3),C\\al(3,7))＝eq \f(12,35)，P(X＝3)＝eq \f(C\\al(3,3),C\\al(3,7))＝eq \f(1,35)，
所以X的分布列为
B组 新高考培优练
10．(2022·济宁模拟)甲、乙两位同学进行羽毛球比赛，约定五局三胜制(无平局)，已知甲每局获胜的概率都为eq \f(2,5)，且前两局以2∶0领先，则最后甲获胜的概率为( )
A．eq \f(16,25) B．eq \f(81,125)
C．eq \f(72,125) D．eq \f(98,125)
D 解：根据题意，甲获胜包括三种情况：
①第三局甲胜利，其概率p1＝eq \f(2,5)；
②第三局乙胜利，第四局甲胜利，其概率p2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,5)))×eq \f(2,5)＝eq \f(6,25)；
③第三、四局乙胜利，第五局甲胜利，其概率p3＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,5)))eq \s\UP12(2)×eq \f(2,5)＝eq \f(18,125)；
则甲获胜的概率p＝p1＋p2＋p3＝eq \f(98,125)．
11．接种疫苗是预防和控制传染病最经济、有效的公共卫生干预措施．根据实验数据知，人在接种某种病毒疫苗后，有80%不会感染这种病毒．若有4人接种了这种疫苗，则最多1人被感染的概率为( )
A．eq \f(512,625) B．eq \f(256,625)
C．eq \f(113,625) D．eq \f(1,625)
A 解：由题意可得随机变量X服从二项分布X～B(4，0.2)，
则最多1人被感染的概率为Ceq \\al(1,4)×0.2×(0.8)3＋Ceq \\al(0,4)0.84＝eq \f(512,625)．
12．设随机变量X，Y满足：Y＝3X－1，X～B(2，p)．若P(X≥1)＝eq \f(5,9)，则D(Y)＝( )
A．4 B．5
C．6 D．7
A 解析：因为随机变量X，Y满足：Y＝3X－1，X～B(2，p)，P(X≥1)＝eq \f(5,9)，
所以P(X＝0)＝1－P(X≥1)＝Ceq \\al(0,2)(1－p)2＝eq \f(4,9)，解得p＝eq \f(1,3)，所以X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,3)))，
所以D(X)＝2×eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))＝eq \f(4,9)，所以D(Y)＝9D(X)＝9×eq \f(4,9)＝4．
13．(2021·武汉期中)有9粒种子分种在3个坑内，每坑放3粒，每粒种子的发芽概率为0.5．若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没有发芽，则这个坑需要补种．假定每个坑至多补种一次，需要补种的坑数为2的概率等于________．
eq \f(21,512) 解析：由题意，单个坑需要补种的概率p＝0.53＝eq \f(1,8)．
用ξ表示需要补种的坑数，则ξ～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(1,8)))，所以需要补种的坑数为2的概率P(ξ＝2)＝Ceq \\al(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)))eq \s\UP12(2)×eq \f(7,8)＝eq \f(21,512)．
14．“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已深入人心，这将推动新能源汽车产业的发展．某市购置新能源汽车的车主中女性车主所占的比例为eq \f(2,5)，现从该市购置新能源汽车的车主中随机选取5人，则女性车主恰有2人的概率是________．
eq \f(216,625) 解析：女性车主所占的比例为eq \f(2,5)，现从该市购置新能源汽车的车主中随机选取5人，
则女性车主恰有2人的概率是Ceq \\al(2,5)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))2·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,5)))eq \s\UP12(3)＝eq \f(216,625)．
15．在箱子中有10个小球，其中有3个红球，3个白球，4个黑球．从这10个球中任取3个．求：
(1)取出的3个球中红球的个数X的分布列；
(2)取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率．
解：(1)由题意知，随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3，
且X服从参数为N＝10，M＝3，n＝3的超几何分布，
因此P(X＝k)＝eq \f(C\\al(k,3)C\\al(3－k,7),C\\al(3,10))(k＝0,1,2,3)，
所以P(X＝0)＝eq \f(C\\al(0,3)C\\al(3,7),C\\al(3,10))＝eq \f(35,120)＝eq \f(7,24)，
P(X＝1)＝eq \f(C\\al(1,3)C\\al(2,7),C\\al(3,10))＝eq \f(63,120)＝eq \f(21,40)，
P(X＝2)＝eq \f(C\\al(2,3)C\\al(1,7),C\\al(3,10))＝eq \f(21,120)＝eq \f(7,40)，
P(X＝3)＝eq \f(C\\al(3,3)C\\al(0,7),C\\al(3,10))＝eq \f(1,120)．
所以X的分布列为
(2)设“取出的3个球中红球个数多于白球个数”为事件A，“恰好取出1个红球和2个黑球”为事件A1，“恰好取出2个红球”为事件A2，“恰好取出3个红球”为事件A3，由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A＝A1＋A2＋A3，
而P(A1)＝eq \f(C\\al(1,3)C\\al(2,4),C\\al(3,10))＝eq \f(3,20)，
P(A2)＝P(X＝2)＝eq \f(7,40)，
P(A3)＝P(X＝3)＝eq \f(1,120)，
所以取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率为
P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝eq \f(3,20)＋eq \f(7,40)＋eq \f(1,120)＝eq \f(1,3)．
即取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率为eq \f(1,3)．
16．(2022·洛阳模拟)某种病毒进入人体后有潜伏期，潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间．潜伏期越长，感染到他人的可能性越高，现对400个病例的潜伏期(单位：天)进行调查，统计发现潜伏期平均数为7.2，方差为2.252．如果认为超过8天的潜伏期属于“长潜伏期”，按照年龄统计样本，得到下面的列联表：
(1)依据小概率值α＝0.05的独立性检验能否认为“长潜伏期”与年龄有关；
(2)假设潜伏期X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数eq \x\t(x)，σ2近似为样本方差s2．
①现在很多省市对旅客一律要求隔离14天，请用概率的知识解释其合理性；
②以题目中的样本频率估计概率，设1 000个病例中恰有k(k∈N*)个属于“长潜伏期”的概率是p(k)，当k为何值时，p(k)取得最大值？
附：χ2＝eq \f(n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d))．
若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 7．P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3．
解：(1)零假设为H0：“长潜伏期”与年龄无关．由题意可得，χ2＝eq \f(n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d))＝eq \f(400×(60×80－220×40)2,280×120×100×300)≈6.349＞3.841＝x0.05，根据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为“长潜伏期”与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于0.05．
(2)①若潜伏期X～N(7.2,2.252)，由P(X>13.95)≈eq \f(1－0.997 3,2)＝0.001 35，
所以潜伏期超过14天的概率很低，因此隔离14天是合理的．
②由于400个病例中有100个属于长潜伏期，
若以样本频率估计概率，一个患者属于“长潜伏期”的概率是eq \f(1,4)，
当0＜k＜eq \f(1 001,4)时，eq \f(p(k),p(k－1))＞1，
当eq \f(1 001,4)＜k≤1 000时，eq \f(p(k),p(k－1))＜1，
所以p(1)＜p(2)＜p(3)＜…＜p(250)，p(250)＞p(251)＞…＞p(1 000)，
故当k＝250时，p(k)取得最大值．
X
0
1
2
3
P
eq \f(4,35)
eq \f(18,35)
eq \f(12,35)
eq \f(1,35)
X
0
1
2
3
P
eq \f(7,24)
eq \f(21,40)
eq \f(7,40)
eq \f(1,120)
年龄/人数
长潜伏期
非长潜伏期
50岁以上
60
220
50岁及50岁以下
40
80
α
0.1
0.05
0.01
xα
2.706
3.841
6.635