高考数学一轮复习第1章第2节充分条件与必要条件学案

第二节　充分条件与必要条件

考试要求：1．理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．

2．会判断和证明简单的充分条件、必要条件、充要条件．

一、教材概念·结论·性质重现

1．充分条件、必要条件与充要条件

2．充要关系与集合之间的关系

设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．

(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．

(2)若AB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．

(3)若A＝B，则p是q的充要条件．

二、基本技能·思想·活动经验

1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．

(1)若已知p：x>1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件．                             (　√　)

(2)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件． (　√　)

(3)若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件．                             (　√　)

(4)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则B是A的真子集．                             (　√　)

2．(2021·惠州市二调)“θ＝0”是“sin θ＝0”的(　　)

A．充分不必要条件　　　B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

A　解析：当θ＝0时，sin θ＝0成立；而当sin θ＝0时，得θ＝kπ(k∈Z)．

3．设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的(　　)

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

C　解析：由A∩B＝A可得A⊆B；由A⊆B可得A∩B＝A．所以“A∩B＝A”是“A⊆B”的充要条件．

4．a∈(0，＋∞)，b∈(0，＋∞)，则“a＜b”是“a－1＜b－1”的(　　)

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

C　解析：若a＜b成立，则根据不等式性质，两边同时减去1，不等式符号不变，所以，a＜b成立，则a－1＜b－1成立，充分性成立；若a－1＜b－1成立，根据不等式性质，两边同时加上1，不等式符号不变，所以，a－1＜b－1成立，则a＜b成立，必要性成立．所以“a＜b”是“a－1＜b－1”的充要条件．

5．已知“p：x>a”是“q：2<x<3”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．

(－∞，2]　解析：由已知，可得{x|2<x<3}{x|x>a}，所以a≤2．

考点1　充分条件与必要条件的判断——基础性

1．已知a∈R，则“a>6”是“a2>36”的(　　)

A．充分不必要条件　　

B．必要不充分条件

C．充要条件 

D．既不充分也不必要条件

A　解析：由题意，若a>6，则a2>36，故充分性成立；若a2>36，则a>6或a<－6，推不出a>6，故必要性不成立．所以“a>6”是“a2>36”的充分不必要条件．

2．已知a，b，c∈R，则“”是“<”的(　　)

A．充分不必要条件　　

B．必要不充分条件

C．充要条件 

D．既不充分也不必要条件

A　解析：因为<⇔－＝>0⇔ac>0，

而⇒ac>0，反之，ac>0时，不一定成立，

所以“”是“<” 的充分不必要条件．

3．(2021·北京丰台高三期末)已知{an}是等比数列，Sn为其前n项和，那么“a1>0”是“数列{Sn}为递增数列”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

B　解析：设等比数列{an}的公比为q，

充分性：当a1>0，q<0时，Sn＋1－Sn＝an＋1＝a1qn，无法判断其正负，显然数列{Sn}不一定是递增数列，充分性不成立；

必要性：当数列{Sn}为递增数列时，Sn－Sn－1＝an>0，可得a1>0，必要性成立．

故“a1>0”是“数列{Sn}为递增数列”的必要不充分条件．

考点2　充分条件与必要条件的探究与证明——综合性

(1)使得a>b>0成立的一个充分不必要条件是(　　)

A．>>0B．ea>eb

C．a2>b2D．ln a>ln b>0

D　解析：A选项，若>>0，则可以得到a>b>0；反之，当a>b>0时也可以得到>>0，所以“>>0”是“a>b>0”的充要条件，故排除A；B选项，若ea>eb，则a>b，但不一定得出a>b>0，所以“ea>eb”不是“a>b>0”的充分不必要条件，故B错；C选项，当a＝3，b＝－1时，a2＝9>b2＝1，故a2>b2推不出a>b>0，故排除C；D选项，由ln a>ln b>0可得ln a>ln b>ln 1，则a>b>1，能推出a>b>0，反之不能推出，所以“ln a>ln b>0”是“a>b>0”的充分不必要条件，故D正确．

(2)设x，y∈R，求证：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0．

证明：设p：xy≥0，q：|x＋y|＝|x|＋|y|．

①充分性(p⇒q)：如果xy≥0，则有xy＝0和xy>0两种情况．当xy＝0时，不妨设x＝0，则|x＋y|＝|y|，|x|＋|y|＝|y|，所以等式成立；

当xy>0时，则x>0，y>0，或x<0，y<0．

又当x>0，y>0时，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，所以等式成立．

当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)，|x|＋|y|＝－x－y，所以等式成立．

综上，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立．

②必要性(q⇒p)：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，

则|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·|y|．

所以|xy|＝xy，所以xy≥0．

由①②可得，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件．

1．“∀x∈[1,2]，ax2＋1≤0”为真命题的充要条件是(　　)

A．a≤－1　　B．a≤　　C．a≤－2　　D．a≤0

A　解析：因为“∀x∈[1,2]，ax2＋1≤0”为真命题，所以a≤－对任意的x∈[1,2]恒成立．由于函数y＝－在区间[1,2]上单调递增，故ymin＝－1，所以a≤－1．

2．设a，b，c∈R．证明：a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca的充要条件是a＝b＝c．

证明：(1)必要性：如果a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca，

则a2＋b2＋c2－ab－bc－ca＝0，

所以[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]＝0，

所以a－b＝0，b－c＝0，c－a＝0，即a＝b＝c．

(2)充分性：若a＝b＝c，

则(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，

所以2(a2＋b2＋c2－ab－bc－ca)＝0，

所以a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca．

综上可知，a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca的充要条件是a＝b＝c．

考点3　充分条件与必要条件的应用——应用性

已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若“x∈P”是“x∈S”的必要条件，则m的取值范围为__________．

[0,3]　解析：由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，所以P＝{x|－2≤x≤10}．

因为“x∈P”是“x∈S”的必要条件，所以S⊆P．

所以解得0≤m≤3．

故0≤m≤3时，“x∈P”是“x∈S”的必要条件．

解：P＝{x|－2≤x≤10}．

若“x∈P”是“x∈S”的充要条件，则P＝S，

所以即

这样的m不存在．

1．(2022·武汉模拟)若“x＞2m2－3”是“－1＜x＜4”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是(　　)

A．[－3,3]  　　

B．(－∞，－3]∪[3，＋∞)

C．(－∞，－1]∪[1，＋∞)  　　

D．[－1,1]

D　解析：因为“x＞2m2－3”是“－1＜x＜4”的必要不充分条件，所以(－1,4)(2m2－3，＋∞)，

所以2m2－3≤－1，解得－1≤m≤1．

2．(2021·河北衡水中学高三模拟)若不等式(x－a)2<1成立的充分不必要条件是1<x<2，则实数a的取值范围是___________．

[1,2]　解析：由(x－a)2<1得a－1<x<a＋1，

因为“1<x<2”是“不等式(x－a)2<1成立”的充分不必要条件，

所以满足且等号不能同时取得，即解得1≤a≤2．

已知p：x>1或x<－3，q：5x－6>x2，则p是q的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

[四字程序]

思路参考：解不等式＋求p，q．

A　解析：由5x－6>x2，得2<x<3，即q：2<x<3．p：－3≤x≤1，q：x≥3或x≤2．显然p⇒q，qp，所以p是q的充分不必要条件．故选A．

思路参考：解不等式＋判断集合间的包含关系．

A　解析：由5x－6>x2，得2<x<3，即q：A＝{x|x≤2或x≥3}，p：B＝{x|－3≤x≤1}．显然BA，故p是q的充分不必要条件．故选A．

*思路参考：原命题与逆否命题(若q，则p)等价性＋转化．

A　解析：利用命题与其逆否命题的等价性，该问题可转化为判断q是p的什么条件．由5x－6>x2，得2<x<3，即q：2<x<3．显然q是p的充分不必要条件．故选A．

判断充分条件、必要条件、充要条件关系的三种方法：

(1)定义法是最基本、最常用的方法．

(2)集合法主要是针对与不等式解集有关的问题．

(3)等价转化法体现了“正难则反”的解题思想，在正面解题受阻或不易求解时可考虑此方法．

若集合A＝{x|x－x2>0}，B＝{x|(x＋1)·(m－x)>0}，则“m>1”是“A∩B≠∅”的(　　)

A．充分不必要条件　　　

B．必要不充分条件

C．充要条件 

D．既不充分也不必要条件

A　解析：A＝{x|0<x<1}．若m>1，则B＝{x|－1<x<m}，此时A∩B≠∅；反之，若A∩B≠∅，则m>0．