高考数学一轮复习第1章第3节全称量词命题与存在量词命题学案

这是一份高考数学一轮复习第1章第3节全称量词命题与存在量词命题学案，共6页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动经验等内容，欢迎下载使用。
第三节　全称量词命题与存在量词命题考试要求：能正确地对全称量词命题与存在量词命题进行否定．一、教材概念·结论·性质重现1．全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．含有全称量词的命题叫做全称量词命题．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．含有存在量词的命题叫做存在量词命题．2．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x∈M，p(x)∃x∈M，p(x)∀x∈M，p(x) 1．对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定，否则易出错．2．注意“或”“且”的否定，“或”的否定为“且”，“且”的否定为“或”．二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)“∀x∈R，x2≥0”的否定是“∃x∈R，x2＜0”． (　√　)(2)“长方形的对角线相等”是存在量词命题． (　×　)(3)“∃x∈R，x2＋1＝0”为真命题． (　×　)(4)写存在量词命题的否定时，存在量词变为全称量词．                             (　√　)(5)“∃x∈M，p(x)”与“∀x∈M，p(x)”的真假性相反．                             (　√　)2．已知命题p：∀x>0，总有(x＋1)ex>1，则p为(　　)A．∃x≤0，使得(x＋1)ex≤1B．∃x>0，使得(x＋1)ex≤1C．∀x>0，使得(x＋1)ex≤1D．∀x≤0，使得(x＋1)ex≤1B　解析：“∀x>0，总有(x＋1)ex>1”的否定是“∃x>0，使得(x＋1)ex≤1”．3．(多选题)下列命题为全称量词命题的是(　　)A．奇函数的图象关于原点对称B．正四棱柱都是平行六面体C．棱锥仅有一个底面D．存在大于等于3的实数x，使x2－2x－3≥0ABC　解析： A，B，C中命题都省略了全称量词“所有”，所以A，B，C都是全称量词命题；D中命题含有存在量词“存在”，所以D是存在量词命题．故选ABC．4．(多选题)下列命题是“∃x∈R，x2>3”的另一种表述方法的是(　　)A．有一个x∈R，使得x2>3成立B．对有些x∈R，有x2>3成立C．任选一个x∈R，都有x2>3成立D．至少有一个x∈R，使得x2>3成立ABD　解析：原命题为存在量词命题，A，B，D选项均为对应的存在量词命题，是原命题的表述方法，C为全称量词命题．5．以下四个命题中既是存在量词命题又是真命题的是(　　)A．锐角三角形有一个内角是钝角B．至少有一个实数x，使x2≤0C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x，使>2B　解析：锐角三角形的内角都是锐角，所以A项是假命题；当x＝0时，x2＝0，满足x2≤0，所以B项既是存在量词命题又是真命题；因为＋(－)＝0不是无理数，所以C项是假命题；对于任意一个负数x，都有<0，不满足>2，所以D项是假命题．考点1　全称量词命题、存在量词命题的否定——基础性1．(2021·南昌测试)命题“∀x≥0，sin x≤x”的否定为(　　)A．∃x<0，sin x>xB．∃x≥0，sin  x>xC．∀x≥0，sin x>xD．∀x<0，sin  x≤xB　解析：原命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题．因为否定的是结论而不是条件，所以A选项错误，B选项正确．故选B．2．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是(　　)A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n<x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n<x2C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n<x2D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n<x2D　解析：改变量词，否定结论．所以p应为“∃x∈R，∀n∈N*，使得n<x2．”3．(2021·安徽滁州联合质检)命题“∃x∈R,2x2<cos x”的否定为________________．∀x∈R,2x2≥cos x　解析：存在量词命题的否定为全称量词命题，所以命题“∃x∈R,2x2<cos x”的否定为“∀x∈R,2x2≥cos x”．1．解决此类问题一般是先改写量词，再否定结论．2．对于省去量词的命题要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．考点2　全称量词命题、存在量词命题的真假判断——综合性(1)下列四个命题中的真命题是(　　)A．∀n∈R，n2≥nB．∃n∈R，∀m∈R，m·n＝mC．∀n∈R，∃m∈R，m2<n D．∀n∈R，n2<nB　解析：对于选项A，令n＝，即可验证其为假命题；对于选项C，D，可令n＝－1加以验证，均为假命题．(2)(多选题)已知集合A＝{y|y＝x2＋2}，集合B＝{x|y＝lg}，则下列命题中的真命题是(　　)A．∃m∈A，mB　　　　　B．∃m∈B，mAC．∀m∈A，m∈B  D．∀m∈B，m∈AAD　解析：因为A＝{y|y＝x2＋2}＝[2，＋∞)，B＝{x|y＝lg}＝(3，＋∞)，所以BA，则A，D是真命题．全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法命题名称真假判断方法一判断方法二全称量词命题真所有对象使命题为真否定为假假存在一个对象使命题为假否定为真存在量词命题真存在一个对象使命题为真否定为假假所有对象使命题为假否定为真1．(2022·重庆一中模拟)命题p：∀x∈[0，＋∞)，(log32)x≤1，则(　　)A．p是假命题，p：∃x∈[0，＋∞)，(log32)x>1B．p是假命题，p：∀x∈[0，＋∞)，(log32)x≥1C．p是真命题，p：∃x∈[0，＋∞)，(log32)x>1D．p是真命题，p：∀x∈[0，＋∞)，(log32)x≥1C　解析：因为0<log32<1，所以∀x∈[0，＋∞)，(log32)x≤1，所以p是真命题，p：∃x∈[0，＋∞)，(log32)x>1．2．(多选题)命题p：存在实数x∈R，使得数据1,2,3，x,6的中位数为3．若命题p为真命题，则实数x的取值集合可以为(　　)A．{3,4,5}　 B．{x|x>3}C．{x|x≥3} D．{x|3≤x≤6}ABCD　解析：根据中位数的定义可知，只需x≥3，则1,2,3，x,6的中位数必为3，选项A，B，C，D中的取值集合均满足x≥3．考点3　全称量词命题、存在量词命题的应用——应用性(1)“∀x∈[－2,1]，x2－2a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　)A．a≥0B．a≥1C．a≥2　　D．a≥3D　解析：“∀x∈[－2,1]，x2－2a≤0”为真命题，即2a≥x2在x∈[－2,1]时恒成立，所以2a≥4，所以a≥2，即“∀x∈[－2,1]，x2－2a≤0”为真命题的充要条件是a≥2，所以可转化为求“a≥2”的充分不必要条件，即找集合A＝{a|a≥2}的非空真子集，结合选项知故选D．(2)(多选题)(2021·辽宁盘锦模拟改编)使命题“∃x∈[－1，2)，f(x)＝－x2＋ax＋4≤0”为假命题的充分不必要条件可以为(　　)A．0≤a＜3 B．0＜a＜3C．a＜3 D．1＜a＜2BD　解析：若命题p“∃x∈[－1,2)，f(x)＝－x2＋ax＋4≤0”为假命题，则命题p“∀x∈[－1,2)，f(x)＝－x2＋ax＋4＞0”为真命题，则即解得0≤a＜3，结合选项知BD正确．例2(1)改为“∃x∈[－2,1)，x2－2a≤0”为真命题，则a的取值范围为________．AB　解析：“∀x∈[－2,1]，x2－2a≤0”为真命题，即2a≥x2在x∈[－2,1]时恒成立，所以2a≥4，所以a≥2，即“∀x∈[－2,1]，x2－2a≤0”为真命题的充要条件是a≥2，所以可转化为求“a≥2”的必要不充分条件．结合选项知选AB． 解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．1．命题“存在x∈R，使x2＋ax－4a＜0为假命题”是命题“－16≤a≤0”的(　　)A．充要条件  　　  B．必要不充分条件C．充分不必要条件  　　 D．既不充分也不必要条件A　解析：因为存在x∈R，使x2＋ax－4a<0为假命题，所以任意x∈R，使x2＋ax－4a≥0为真命题，则Δ＝a2＋16a≤0，解得－16≤a≤0．故选A．2．若“∃x∈(0，＋∞)，λx>x2＋1”是假命题，则实数λ的取值范围是________．(－∞，2]　解析：因为∃x∈(0，＋∞)，λx>x2＋1是假命题，所以∀x∈(0，＋∞)，x2＋1≥λx为真命题，即λ≤x＋在(0，＋∞)上恒成立．当x∈(0，＋∞)时，x＋≥2，当且仅当x＝1时，等号成立，所以λ≤2．