高考数学一轮复习第1章第4节不等式的性质与基本不等式学案

这是一份高考数学一轮复习第1章第4节不等式的性质与基本不等式学案，共14页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动经验等内容，欢迎下载使用。

第四节　不等式的性质与基本不等式
考试要求：1．理解不等式的概念，掌握不等式的性质．
2．掌握基本不等式≤(a>0，b>0)，能用基本不等式解决简单的最值问题．

一、教材概念·结论·性质重现
1．两个实数比较大小的依据
(1)a－b>0⇔a>b．
(2)a－b＝0⇔a＝b．
(3)a－b<0⇔a 2．不等式的性质
(1)对称性：a>b⇔b (2)传递性：a>b，b>c⇒a>c．
(3)可加性：a>b⇔a＋c>b＋c，
a>b，c>d⇒a＋c>b＋d．(同向可加性)
(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc，
a>b>0，c>d>0⇒ac>bd．(正数同向可乘性)
(5)可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)．
(6)可开方性：a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)．

倒数性质的两个必备结论
(1)a＞b，ab＞0⇒＜．
(2)a＜0＜b⇒＜．
3．基本不等式≤
(1)基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0．
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数．
4．利用基本不等式求最值
已知x＞0，y＞0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)．
(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)．

1．使用基本不等式求最值时，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．
2．“当且仅当a＝b时等号成立”的含义是“a＝b”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽略它往往会导致解题错误．
3．连续使用基本不等式求最值，要求每次等号成立的条件一致．
5．常用结论
(1)≥(a，b∈R)．
(2)＋≥2(ab＞0)(当且仅当a＝b时取等号)．
(3)≤≤≤ (a＞0，b＞0)．
(4)若a＞b＞0，m＞0，则＜；＞(b－m＞0)．
二、基本技能·思想·活动经验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)一个不等式的两边同时加上或乘同一个数，不等号方向不变． (　×　)
(2)一个非零实数越大，则其倒数就越小． (　×　)
(3)不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的． (　×　)
(4)函数f(x)＝sin x＋的最小值为4． (　×　)
2．设b A．a－c C．a＋c>b＋d D．a＋d>b＋c
C　解析：由同向不等式具有可加性可知C正确．
3．当x>0时，函数f(x)＝有(　　)
A．最小值1 B．最大值1
C．最小值2 D．最大值2
B　解析：f(x)＝≤＝1，当且仅当x＝(x>0)，即x＝1时取等号，所以f(x)有最大值1．
4．(2021·南阳统考)已知a，b为正实数，且a＋b＝1，则P＝(ax＋by)2与Q＝ax2＋by2的关系是(　　)
A．P≤Q B．P C．P≥Q D．P>Q
A　解析：不妨取a＝b＝，则P－Q＝(x＋y)2－x2－y2＝－(x－y)2≤0，所以P≤Q．
5．若0＜a＜b，且a＋b＝1，将a，b，，2ab，a2＋b2从小到大排列为______________．
a＜2ab＜＜a2＋b2＜b　解析：令a＝，b＝，代入2ab＝，a2＋b2＝，所以a＜2ab＜＜a2＋b2＜b．


考点1　不等式的性质——基础性

1．下列命题正确的是(　　)
A．若a>b，则<
B．若a>b，则a2>b2
C．若a>b，cb－d
D．若a>b，c>d，则ac>bd
C　解析：对于A，若a>b，取a＝1，b＝－1，则<不成立；对于B，若a>b，取a＝0，b＝－1，则a2>b2不成立；对于C，若a>b，cb－d，正确；对于D，若a>b，c>d，取a＝1，b＝－1，c＝1，d＝－2，则ac>bd不成立．
2．(多选题)对于实数a，b，c，下列命题是真命题的为(　　)
A．若a>b，则ac B．若ac2>bc2，则a>b
C．若aab>b2
D．若a>0>b，则|a|<|b|
BC　解析：当c＝0时，ac＝bc，A为假命题；若ac2>bc2，则c≠0，c2>0，故a>b，B为真命题；若aab且ab>b2，即a2>ab>b2，C为真命题；当a＝1，b＝－1时，|a|＝|b|，故D为假命题．
3．(2022·济南质量检测)已知实数a，b，c满足a A．>　 B．a(c－b)<0
C．ac2>bc2 D．ab(b－a)>0
B　解析：因为a0，a<0，可得a(c－b)<0，选项B正确；取a＝－1，b＝1，c＝2，则<，ac2 4．已知实数b>a>0，m<0，则mb________ma，______．(填“>”或“<”)
＜　＜　解析：因为b>a>0，m<0，所以b－a>0．
因为mb－ma＝m(b－a)<0，所以mb 因为－＝＝<0，所以<．

解决这类问题一是要充分利用不等式的性质，但一定要注意不等式成立的条件；二是可以用作差法比较两个代数式的大小．

考点2　利用基本不等式求最值——综合性

考向1　配凑法求最值
(1)已知0＜x＜1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为________；
　解析：因为0＜x＜1，所以4－3x>0，所以 x(4－3x)＝·(3x)(4－3x)≤＝，
当且仅当 3x＝4－3x，即x＝时，等号成立．
(2)当＋取得最小值时，x＝______．
4　解析：＋＝＋1＋－1≥2－1＝5，当且仅当＋1＝，即x＝4时，等号成立．

配凑法求最值的依据、技巧
(1)依据：基本不等式．
(2)技巧：通过添项、拆项、变系数、凑因子等方法凑成和为定值或积为定值的形式，即符合“一正、二定、三相等”的条件，然后利用基本不等式求解最值．
考向2　常值代换法求最值
(1)已知a>0，b>0，a＋b＝1，则＋的最小值为________．
4　解析：因为a＋b＝1，
所以＋＝(a＋b)＝2＋≥2＋2＝2＋2＝4，当且仅当a＝b＝时，等号成立．
(2)已知x＋2y＝xy(x>0，y>0)，则2x＋y的最小值为________．
9　解析：由x＋2y＝xy得＋＝1，所以2x＋y＝(2x＋y)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即x＝y时，等号成立，所以2x＋y的最小值为9．

1．将本例(1)条件“a＋b＝1”改为“a＋2b＝3”，则＋的最小值为________．
1＋　解析：因为a＋2b＝3，所以a＋b＝1．
所以＋＝＝＋＋＋≥1＋2＝1＋．
当且仅当a＝b时，等号成立．
2．若本例(1)条件不变，则的最小值为________．
9　解析：＝
＝＝5＋＋≥5＋2＝9．当且仅当a＝b＝时，等号成立．

常数代换法求最值的步骤
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)．
(2)把确定的定值(常数)变形为1．
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式．
(4)利用基本不等式求解最值．
考向3　消元法求最值
(1)已知正数a，b，c满足2a－b＋c＝0，则的最大值为(　　)
A．8　　　　 B．2
C． D．
C　解析：因为a，b，c都是正数，且满足2a－b＋c＝0，所以b＝2a＋c，所以＝＝＝≤＝，当且仅当c＝2a＞0时，等号成立．
(2)已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是________．
　解析：方法一：由5x2y2＋y4＝1，可得x2＝，由x2≥0，可得y2∈(0,1]，
则x2＋y2＝＋y2＝＝≥·2＝，当且仅当y2＝，x2＝时，等号成立，
故x2＋y2的最小值为．
方法二：4＝(5x2＋y2)·4y2≤＝(x2＋y2)2，
当且仅当5x2＋y2＝4y2＝2，即y2＝，x2＝，等号成立，故x2＋y2≥，
即x2＋y2的最小值为．

消元法求最值的技巧
(1)消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．
(2)如果出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解，但一定要注意各个元的范围．

(多选题)设正实数m，n满足m＋n＝2，则(　　)
A．＋的最小值为2
B．＋的最小值为2
C．的最大值为1
D．m2＋n2的最小值为2
BCD　解析：因为正实数m，n满足m＋n＝2，
所以＋＝(m＋n)×
＝
≥＝， 当且仅当＝且m＋n＝2，即m＝2－2，
n＝4－2时取等号，A错误；
(＋)2＝m＋n＋2＝2＋2≤2＋2×＝4，
当且仅当m＝n＝1时取等号，
所以 ＋≤2, 即最小值为2，B正确；
由mn≤＝1, 当且仅当m＝n＝1时取等号，此时取最大值，C正确；
m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝4－2mn≥2，
当且仅当m＝n＝1时取等号，即 m2＋n2的最小值为2，D正确．

考点3　利用基本不等式解决实际问题——应用性

(2021·泰安调研)某公司生产的商品A，当每件售价为5元时，年销售10万件．
(1)据市场调查，价格每提高1元，销量相应减少1万件，要使销售收入不低于原销售收入，该商品的销售价格最多可提高多少元？
(2)为了扩大该商品的影响力，公司决定对该商品的生产进行技术革新，将技术革新后生产的商品售价提高到每件x元，公司拟投入(x2＋x)万元作为技改费用，投入万元作为宣传费用．试问：技术革新后生产的该商品销售量m至少应达到多少万件时，才能使技术革新后的该商品销售收入等于原销售收入与总投入之和？
解：(1)设商品的销售价格提高a元，则(10－a)·(5＋a)≥50，解得0≤a≤5．
所以商品的价格最多可以提高5元．
(2)由题意知，技术革新后的销售收入为mx万元，
若技术革新后的销售收入等于原销售收入与总投入之和，只需满足mx＝(x2＋x)＋＋50(x＞5)即可，此时m＝x＋＋≥2＋＝，当且仅当x＝，即x＝10时等号成立．
故销售量至少应达到万件时，才能使技术革新后的销售收入等于原销售收入与总投入之和．

利用基本不等式求解实际问题的两个注意点
(1)利用基本不等式解决实际问题时，应明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解．
(2)在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解．

1．司机甲、乙加油习惯不同，甲每次加定量的油，乙每次加固定钱数的油，恰有两次甲、乙同时加同单价的油，但这两次的油价不同，则从这两次加油的均价角度分析(　　)
A．甲合适
B．乙合适
C．油价先高后低甲合适
D．油价先低后高甲合适
B　解析：设甲每次加m升油，乙每次加n元钱的油，第一次加油x元/升，第二次加油y元/升．甲的平均单价为＝，乙的平均单价为＝．
因为x≠y，所以＝>＝1，即乙的两次平均单价低，乙的方式更合适．
2．(多选题)(2022·枣庄期末)如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点P的距离是2 km，从P点沿海岸线正东方向12 km处有一个城镇．假设一个人驾驶小船的平均行进速度为3 km/h，步行的平均速度为5 km/h，时间t(单位：h)表示他从小岛到城镇的时间，x(单位：km)表示此人将船停在海岸距点P处的距离．设u＝＋x，v＝－x，则(　　)

A．函数v＝f(u)为减函数
B．15t－u－4v＝32
C．当x＝1.5时，此人从小岛到城镇花费的时间最少
D．当x＝4时，此人从小岛到城镇花费的时间不超过3 h
AC　解析：因为u＝＋x，v＝－x，
所以＝，x＝，uv＝4，则v＝，其在(0，＋∞)上是减函数，A正确；t＝＋＝＋－，
整理得15t＝u＋4v＋36，B错误；15t＝u＋＋36≥2＋36＝44，当且仅当u＝，即u＝4时等号成立，则4＝＋x，解得x＝1.5，C正确；当x＝4时，t＝＋，t－3＝－＝＝＞0，则t＞3，D错误．
3．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是________万元．
8　解析：每台机器运转x年的年平均利润为＝18－，而x>0，故≤18－2＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大，最大值为8万元．

拓展考点　绝对值三角不等式

定理1
如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立
定理2
如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立

已知x，y∈R，且|x＋y|≤，|x－y|≤，求证：|x＋5y|≤1．
证明：|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|≤|3(x＋y)|＋|2(x－y)|≤3×＋2×＝1，
即|x＋5y|≤1．

证明绝对值不等式的3种主要方法
(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明．
(2)利用三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|进行证明．
(3)转化为函数问题，数形结合进行证明．


已知a>b>0，则a2＋的最小值是_________．
[四字程序]
读
想
算
思
a2＋最小值
求最小值的方法
构造定积
转化与化归
a>b>0
1．构造定积．
2．三角换元．
1．定和求积→定积求和．
2．变形：b＋(a－b)＝a，构造定积．
3．三角代换构造定积．
4．求导
1．定和求积积最大，定积求和和最小．
2．三角代换条件


思路参考：消b，转化为含a的式子求最值．
4　解析：由于a2＋中有两个变量，并注意到b＋(a－b)＝a，则b(a－b)≤＝． 这样就消去变量b，因此a2＋≥a2＋≥4． 当且仅当b＝a－b，a2＝时等号成立，即a＝，b＝时等号成立．故a2＋的最小值是4．

思路参考：用b和a－b表达a后求最值．
4　解析：注意到b＋(a－b)＝a，则[b＋(a－b)]2＝a2，则a2＋＝[b＋(a－b)]2＋≥4b(a－b)＋≥4．当且仅当4b(a－b)＝，即a＝，b＝时等号成立． 故a2＋的最小值是4．

思路参考：利用三角换元求最值．
4　解析：由b＋(a－b)＝a，联想到三角换元，令a－b＝acos2α， b＝asin2α，
于是a2＋＝a2＋＝a2＋≥a2＋≥4，当且仅当a2＝，sin22α＝1，即a＝，b＝时等号成立． 故a2＋的最小值是4．

思路参考：设f(x)＝a2＋，求导得最值．
4　解析：f′(x)＝，当x＝时，f(x)取最大值，即b＝时，a2＋取最小值．a2＋＝a2＋≥4，此时a＝，b＝．

1．利用均值不等式，通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定值，是求解最值问题的常用方法． 其中常见的变形手段有拆项、并项、配式及配系数等．
2．基于新课程标准，求最值问题一般要有对代数式的变形能力、推理能力和表达能力，本题的解答体现了逻辑推理、数学运算的核心素养．

已知x＞0，y＞1，且x＋2y＝xy＋1，则x＋y的最小值为__________．
5　解析：令x＋y＝t，则x＝t－y．将x＝t－y代入x＋2y＝xy＋1，得t＋y＝ty－y2＋1，即y2＋(1－t)y＋t－1＝0，Δ＝(1－t)2－4(t－1)＝t2－6t＋5≥0，得t≤1(舍去)或t≥5．故x＋y的最小值为5．