高考数学一轮复习第2章第1节函数及其表示学案

第一节　函数及其表示

考试要求：1．了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域．

2．在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．

3．了解简单的分段函数，并能简单应用．

一、教材概念·结论·性质重现

1．函数的概念

2．函数的定义域、值域

在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．

3．函数的三要素：定义域、值域和对应关系．

4．表示函数的常用方法：列表法、图象法和解析法．

5．分段函数

在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，称这种函数为分段函数．

分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．

二、基本技能·思想·活动经验

1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．

(1)函数y＝1与y＝x0是同一个函数． (　×　)

(2)对于函数f：A→B，其值域是集合B． (　×　)

(3)f(x)＝＋是一个函数． (　×　)

(4)若两个函数的定义域与对应关系相同，则这两个函数是同一个函数．                             (　√　)

(5)函数y＝f(x)的图象可以是一条封闭的曲线． (　×　)

2．(2021·安阳模拟)设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}．下面的4个图形中，能表示从集合M到集合N的函数关系的有(　　)

A．①②③④ B．①②③

C．②③ D．②

C　解析：①图象不满足函数的定义域，不正确；②③满足函数的定义域以及函数的值域，正确；④不满足函数的定义．

3．已知一次函数f(x)的图象过点(1,0)和(0,1)，则此一次函数的解析式为(　　)

A．f(x)＝－x B．f(x)＝x－1

C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x＋1

D　解析：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则有

所以a＝－1，b＝1，所以f(x)＝－x＋1．

4．函数f(x)＝＋ln x的定义域是________．

(0，＋∞)　解析：要使函数有意义，需满足即x>0，所以函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．

5．设f(x)＝若f(2)＝4，则a的取值范围为________．

(－∞，2]　解析：因为f(2)＝4，所以2∈[a，＋∞)，所以a≤2，所以a的取值范围为(－∞，2]．

考点1　函数的定义域——基础性

1．(多选题)下列各组函数是同一个函数的是(　　)

A．f(x)＝x2－2x－1，g(s)＝s2－2s－1

B．f(x)＝x－1，g(x)＝

C．f(x)＝，g(x)＝

D．f(x)＝，g(x)＝x

AC　解析：对于A，f(x)＝x2－2x－1的定义域为R，g(s)＝s2－2s－1的定义域为R，定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于B，f(x)＝＝－x的定义域为{x|x≤0}，g(x)＝x的定义域为{x|x≤0}，对应关系不同，不是同一函数；对于C，f(x)＝＝1的定义域为{x|x≠0}，g(x)＝＝1的定义域为{x|x≠0}，定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于D，f(x)＝x的定义域为R，g(x)＝＝|x|的定义域为R，对应关系不同，不是同一函数．故选AC．

2．(2022·烟台模拟)函数f(x)＝ln＋x的定义域为(　　)

A．(0，＋∞) 

B．(1，＋∞)

C．(0,1) 

D．(0,1)∪(1，＋∞)

B　解析：要使函数f(x)有意义，应满足解得x>1，故函数f(x)＝ln＋x的定义域为(1，＋∞)．

3．已知等腰△ABC的周长为10，底边长y关于腰长x的函数解析式为y＝10－2x，则函数的定义域为(　　)

A．{x|x∈R} 

B．{x|x＞0}

C．{x|0＜x＜5} 

D．

D　解析：由题意知即＜x＜5．

4．若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝的定义域为________．

[0,1)　解析：因为y＝f(x)的定义域为[0,2]，

所以，要使g(x)有意义应满足解得0≤x<1．所以g(x)的定义域是[0,1)．

考点2　求函数的解析式——综合性

求下列函数的解析式：

(1)已知f(1－sin  x)＝cos2x，求f(x)的解析式；

(2)已知f ＝x4＋，求f(x)的解析式；

(3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；

(4)定义在(－1,1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，求f(x)的解析式．

解：(1)(换元法)设1－sin  x＝t，t∈[0,2]，则sin  x＝1－t．因为f(1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x，所以f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0,2]．即f(x)＝2x－x2，x∈[0,2]．

(2)(配凑法)因为f ＝－2，所以f(x)＝x2－2，x∈[2，＋∞)．

(3)(待定系数法)因为f(x)是一次函数，可设f(x)＝ax＋b(a≠0)，所以3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17．即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，因此应有解得

故f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7．

(4)(解方程组法)当x∈(－1,1)时，有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)①．又－x∈(－1,1)，以－x代替x得2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)②．由①②消去f(－x)得f(x)＝lg(x＋1)＋lg(1－x)，x∈(－1,1)．

求函数解析式的3种方法

1．已知f ＝lg x，求f(x)的解析式．

解：令＋1＝t，得x＝．

代入得f(t)＝lg．又x>0，所以t>1．

故f(x)＝lg，x∈(1，＋∞)．

2．已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式．

解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

由f(0)＝0，知c＝0，所以f(x)＝ax2＋bx．

又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，

得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，

即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，

所以解得a＝b＝．

所以f(x)＝x2＋x，x∈R．

3．已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)的解析式．

解：由f(－x)＋2f(x)＝2x，①

得f(x)＋2f(－x)＝2－x．②

①×2－②，得3f(x)＝2x＋1－2－x，

即f(x)＝．

故f(x)＝，x∈R．

考点3　分段函数——应用性

考向1　分段函数求值

(1)(2021·浙江卷)已知a∈R，函数f(x)＝若f(f())＝3，则a＝__________．

(2)设函数f(x)＝

若f(f(a))＝2，则a＝________．

(1)2　解析：f(f())＝f(6－4)＝f(2)＝|2－3|＋a＝3，故a＝2.

(2)　解析：当a>0时，f(a)＝－a2<0，f(f(a))＝a4－2a2＋2＝2，

得a＝(a＝0与a＝－舍去)；

当a≤0时，f(a)＝a2＋2a＋2＝(a＋1)2＋1>0，f(f(a))＝－(a2＋2a＋2)2＝2，此方程无解．

综上可知，a＝．

考向2　分段函数与方程、不等式

(1)(2022·安庆模拟)已知函数f(x)＝若实数a满足f(a)＝f(a－1)，则f ＝(　　)

A．2 B．4

C．6 D．8

D　解析：由题意得a≥0且－1＜a－1＜0，

即0＜a＜1．由f(a)＝f(a－1)，即2a＝，解得a＝，则f ＝f(4)＝8．

(2)设函数f(x)＝则不等式f(x)≤2的解集为(　　)

A．[0,3] 

B．(－∞，3]

C．[0，＋∞) 

D．[0,1]∪[3，＋∞)

A　解析：依题意，当x≤1时，由f(x)＝≤2，得21－x≤2，解得x≥0，则0≤x≤1．

当x>1时，由f(x)＝1－log (x－1)≤2，得 log2(x－1)≤1，即0<x－1≤2，解得1<x≤3，则1<x≤3，所以不等式f(x)≤2的解集为[0,3]．

1．设f(x)＝则f(5)的值为(　　)

A．16 B．18 

C．21 D．24

B　解析：因为f(x)＝所以f(5)＝f(10)＝f(15)＝15＋3＝18．

2．已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a＝________．

－3　解析：当a>0时，由f(a)＋f(1)＝0得2a＋2＝0，无实数解；当a≤0时，由f(a)＋f(1)＝0得a＋1＋2＝0，解得a＝－3，满足条件．