高考数学一轮复习第2章第2节函数的单调性与最值学案

这是一份高考数学一轮复习第2章第2节函数的单调性与最值学案，共11页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动经验等内容，欢迎下载使用。

第二节　函数的单调性与最值
考试要求：1．借助函数图象，会用数学语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义．
2．理解单调性、最值及其几何意义．

一、教材概念·结论·性质重现
1．单调递增、单调递减
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：
(1)如果∀x1，x2∈D，当x1 (2)如果∀x1，x2∈D，当x1f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减．
2．增函数、减函数
(1)当函数f(x)在定义域上单调递增时，我们就称它是增函数．
(2)当函数f(x)在定义域上单调递减时，我们就称它是减函数．

1．单调递增(减)函数定义中的x1，x2的三个特征
一是任意性；二是有大小，即x1x2)；三是同属于一个单调区间．三者缺一不可．
2．增、减函数定义的等价形式
对于∀x1，x2∈I，都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0(<0)或>0(<0)，则函数f(x)在I上单调递增(减)．
3．单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．

1．易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．
2．若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能随意取并集．例如，函数f(x)在区间(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递减，但在(－1,0)∪(0,1)上却不一定是单调递减．
4．函数的最值
前提
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
(1)∀x∈I，都有f(x)≤M．
(2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M
(1)∀x∈I，都有f(x)≥M．
(2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
M为函数y＝f(x)的最大值
M为函数y＝f(x)的最小值
二、基本技能·思想·活动经验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)函数y＝的单调递减区间是(－∞， 0)∪(0, ＋∞)． (　×　)
(2)若函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，则函数f(x)的单调递增区间是[1，＋∞)． (　×　)
(3)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是单调递增的，则这个函数在定义域上是增函数． (　×　)
(4)所有的单调函数都有最值． (　×　)
2．(多选题)已知f(x)是定义在[0，＋∞)上的函数，根据下列条件，可以判定f(x)是增函数的是(　　)
A．对任意x≥0，都有f(x＋1)>f(x)
B．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≥x2，都有f(x1)≥f(x2)
C．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1－x2<0，都有f(x1)－f(x2)<0
D．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≠x2，都有>0
CD　解析：根据题意，依次分析选项：对于选项A，对任意x≥0，都有f(x＋1)>f(x)，不满足函数单调性的定义，不符合题意；对于选项B，当f(x)为常数函数时，对任意x1，x2∈[0，＋∞)，都有f(x1)＝f(x2)，不是增函数，不符合题意；对于选项C，对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1－x2<0，都有f(x1)－f(x2)<0，符合题意；对于选项D，对任意x1，x2∈[0，＋∞)，设x1>x2，若>0，必有f(x1)－f(x2)>0，则函数在[0，＋∞)上为增函数，符合题意．
3．函数y＝x2－6x＋6在区间[2,4]上(　　)
A．单调递减
B．单调递增
C．先单调递减再单调递增
D．先单调递增再单调递减
C　解析：画出函数y＝x2－6x＋6在区间[2,4]上图象，观察图象可知，该函数在[2,3]上单调递减，在[3,4]上单调递增．

4．已知函数f(x)＝，x∈[2,6]，则f(x)的最大值为________，最小值为________．
2　　解析：画出函数f(x)＝，x∈[2,6]的图象，观察图象可知，该函数在[2,6]上单调递减，所以f(x)的最大值为f(2)＝＝2，最小值为f(6)＝＝．

5．若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a的值为________．
－6　解析：由图象易知函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是．令－＝3，得a＝－6．


考点1　确定函数的单调性(区间)——基础性

1．函数f(x)＝|x2－3x＋2|的单调递增区间是(　　)
A．
B．和[2，＋∞)
C．(－∞，1]和
D．和[2，＋∞)
B　解析：y＝|x2－3x＋2|＝
如图所示，

所以函数f(x)的单调递增区间是和[2，＋∞)．
2．若函数f(x)＝ax＋1在R上单调递减，则函数g(x)＝a(x2－4x＋3)的单调递增区间是(　　)
A．(2，＋∞) B．(－∞，2)
C．(4，＋∞) D．(－∞，4)
B　解析：因为f(x)＝ax＋1在R上单调递减，所以a<0． 而g(x)＝a(x2－4x＋3)＝a(x－2)2－a． 因为a<0，所以g(x)的单调递增区间是(－∞，2)．
3．函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(　　)
A．(－∞，－2) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)
D　解析：函数y＝x2－2x－8＝(x－1)2－9图象的对称轴为直线x＝1．由x2－2x－8>0，解得x>4或x<－2，所以(4，＋∞)为函数y＝x2－2x－8的单调递增区间．根据复合函数的单调性可知，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间为(4，＋∞)．
4．试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性．
解：(方法一：定义法)
设∀x1，x2∈(－1,1)且x1 则f(x1)－f(x2)＝a－a＝．
因为－1 所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0．
故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；
当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1) (方法二：导数法)
f′(x)＝＝＝－．
当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；
当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1,1)上单调递增．

1．解决这类问题要优先考虑用函数图象法解决，二是可以利用定义法判断，也可以利用导函数与函数单调性的关系求解．
2．有些题目，如第3题还可以利用复合函数的单调性求解．

考点2　求函数的最值(值域)——综合性

(1)若函数f(x)＝x2－2x＋m在[3，＋∞)上的最小值为1，则实数m的值为(　　)
A．－3 B．－2
C．－1 D．1
B　解析：因为f(x)＝(x－1)2＋m－1在[3，＋∞)上单调递增，且f(x)在[3，＋∞)上的最小值为1，所以f(3)＝1，即22＋m－1＝1，m＝－2．故选B．
(2)函数y＝的值域为________．
[－1,1)　解析：由y＝，可得x2＝．由x2≥0，知≥0，解得－1≤y<1．故所求函数的值域为[－1,1)．
(3)函数y＝x＋的最大值为__________．
　解析：由1－x2≥0，可得－1≤x≤1．令x＝cos θ，θ∈[0，π]，则y＝cos θ＋sin θ＝sin，θ∈[0，π]，所以－1≤y≤，故原函数的最大值为．

求函数的最值(值域)的5种常用方法
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，得出最值．
(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．
(4)分离常数法：求形如y＝(ac≠0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解．
(5)均值不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正、二定、三相等”的条件后用均值不等式求出最值．

1．函数y＝－x(x≥0)的最大值为______，单调递增区间为________．
　　解析：令t＝，则t≥0，所以y＝t－t2＝－＋，
所以当t＝时，ymax＝．t＝为增函数，y＝t－t2在上单调递增，所以单调递增区间为．
2．(2021·天水模拟)已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；
(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．
解：(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1．
因为x∈[－5,5]，所以x＝1时，f(x)取最小值1，
x＝－5时，f(x)取最大值37．
(2)由题意可知f(x)的对称轴为x＝－a．
因为f(x)在[－5,5]上是单调函数，
所以－a≤－5，或－a≥5，
所以实数a的取值范围为(－∞，－5]∪[5，＋∞)．

考点3　函数单调性的应用——应用性

考向1　比较函数值的大小
(1)设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　)
A．f(π)>f(－3)>f(－2)
B．f(π)>f(－2)>f(－3)
C．f(π) D．f(π) A　解析：因为f(x)是偶函数，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．又因为函数f(x)在[0，＋∞)单调递增．所以f(π)>f(3)>f(2)，即f(π)>f(－3)>f(－2)．
(2)已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)＜0恒成立．设a＝f ，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．c＞a＞b
B．c＞b＞a
C．a＞c＞b
D．b＞a＞c
D　解析：因为f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f ＝f ．当x2＞x1＞1时，
[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0恒成立，知f(x)在(1，＋∞)上单调递减．因为1＜2＜＜e，
所以f(2)＞f ＞f(e)，所以b＞a＞c．

在本例(2)中，若将“[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0”改为“[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＞0”，结果如何？
解：因为f(x)的图象关于直线x＝1对称，
所以f ＝f ．
当x2＞x1＞1时，
[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＞0恒成立，知f(x)在(1，＋∞)上单调递增．因为1＜2＜＜e，
所以f(2)＜f ＜f(e)，所以b＜a＜c．

利用函数的单调性比较函数值或自变量的大小
比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较．对于选择题、填空题通常选用数形结合的思想方法进行求解．
考向2　解函数不等式
(1)已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x－1)＜f 的x的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
D　解析：因为函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，且f(2x－1)＜f ，所以0≤2x－1＜，解得≤x＜．
(2)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x1≠x2时，有[f(x1)－f(x2)]·(x1－x2)<0恒成立．若f(3x＋1)＋f(2)>0，则x的取值范围是________．
(－∞，－1)　解析：根据已知条件，当x1≠x2时，有[f(x1)－f(x2)](x1－x2)<0恒成立，所以函数f(x)是定义在R上的减函数．又因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以－f(2)＝f(－2)，故f(3x＋1)＋f(2)>0等价于f(3x＋1)>－f(2)＝f(－2)，所以3x＋1<－2，即x<－1．

解函数不等式的方法
1．若f(x)在定义域上(或某一区间上)是增(减)函数，则f(x1)x2)．
2．在解决“与抽象函数有关的不等式”问题时，可通过“脱去”函数符号“f”化为一般不等式求解，但无论如何都必须在同一单调区间内进行．
3．若不等式一边没有“f”，而是常数，应将常数转化为函数值．
考向3　利用函数的单调性求参数(范围)
(1)若f(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是___________．
(－∞，3)　解析：f(x)＝＝＝1＋，要使函数f(x)在区间(－2，＋∞)上单调递增，需使a－3<0，解得a<3．
(2)(2021·聊城模拟)若函数f(x)＝在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数m的取值范围是_________．
(0,3]　解析：由题意知解得0＜m≤3．

利用函数的单调性求参数的范围(或值)的方法
(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．
(2)需注意，若分段函数在R上是单调的，则该函数在每一段上具有相同的单调性，还要注意分界点处的函数值大小．

1．已知函数f(x)＝|x＋a|在(－∞，－1)上是单调函数，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1] B．(－∞，－1]
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
A　解析：f(x)＝由题意知－a≥－1，即a≤1．故选A．
2．已知函数f(x)＝对于任意两个不相等实数x1，x2，都有<0成立，则实数a的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
B　解析：因为对于任意的两个不相等实数x1，x2都有<0成立，
所以函数f(x)是R上的减函数，
所以
解得≤a≤．故选B．
3．已知f(x)＝，x∈[1，＋∞)．
(1)当a＝时，用定义证明函数的单调性并求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝时，f(x)＝x＋＋2，任取1≤x1 则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋＝．
因为1≤x11，所以2x1x2－1>0．
又x1－x2<0，所以f(x1) (2)因为在区间[1，＋∞)上，f(x)＝>0恒成立，
所以⇔
等价于a大于函数φ(x)＝－(x2＋2x)在[1，＋∞)上的最大值．
因为φ(x)＝－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减，所以当x＝1时，φ(x)取最大值为φ(1)＝－3，所以a>－3．故实数a的取值范围是(－3，＋∞)．