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高考数学一轮复习第2章第6节对数与对数函数学案

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这是一份高考数学一轮复习第2章第6节对数与对数函数学案，共10页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动经验等内容，欢迎下载使用。

第六节　对数与对数函数

考试要求：1．理解对数的概念和运算性质，能用换底公式将一般对数转化为自然对数或常用对数．

2．了解对数函数的概念及其单调性．

3．知道同底的对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)与指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)互为反函数．

一、教材概念·结论·性质重现

1．对数的概念

一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

2．对数的性质与运算法则

(1)对数的运算法则

如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么

①loga(MN)＝logaM＋logaN．

②loga＝logaM－logaN．

③logaMn＝nlogaM (n∈R)．

(2)对数的性质

①loga1＝0．②logaa＝1．③alogaN＝N．

④logaaN＝N(a>0，且a≠1)．

(3)对数的换底公式

logab＝(a>0且a≠1，b>0，c>0且c≠1)．

3．对数函数

(1)一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)．

(2)对数函数的图象与性质

	0<a<1	a>1
图象
定义域	(0，＋∞)
值域	R
性质	过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
	当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0	当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0
	减函数	增函数

对数函数图象的特征

(1)由图可知，0<d<c<1<b<a．

(2)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，，函数图象只在第一、第四象限，并过x轴正半轴上的(1,0)．

4．反函数

一般地，同底的指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换，图象关于直线y＝x对称．

5．常用结论

换底公式的三个重要结论

(1)logab＝．

(2)logambn＝logab．

(3)logab·logbc·logcd＝logad．

其中a>0且a≠1，b>0且b≠1，c>0且c≠1，m，n∈R．

二、基本技能·思想·活动经验

1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．

(1)loga(MN)＝logaM＋logaN． (　×　)

(2)logax·logay＝loga(x＋y)． (　×　)

(3)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数． (　×　)

(4)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同． (　√　)

2．已知x·log32＝1，则4x＝(　　)

A．4 B．6

C．4 D．9

D　解析：因为x·log32＝1，所以x＝log23，所以4x＝4＝4＝9．故选D．

3．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝(　　)

A．log2x B．

C．log0.5x D．2x－2

A　解析：由题意知f(x)＝logax(a>0，且a≠1)．因为f(2)＝1，所以loga2＝1．所以a＝2．所以f(x)＝log2x．

4．函数y＝lg|x|(　　)

A．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增

B．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减

C．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减

D．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增

B　解析：y＝lg|x|是偶函数，由图象知(图略)，函数在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．

5．已知函数f(x)＝log2(x2＋a)．若f(3)＝1，则a＝________．

－7　解析：因为f(x)＝log2(x2＋a)，且f(3)＝1，所以f(3)＝log2(9＋a)＝1，所以a＋9＝2，所以a＝－7．

考点1　对数的运算——基础性

1．计算：log29×log34＋2log510＋log50.25＝(　　)

A．0 B．2 C．4 D．6

D　解析：原式＝2log23×(2log32)＋log5(102×0.25)＝4＋log525＝4＋2＝6．

2．(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V满足L＝5＋lg V．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为(≈1.259)(　　)

A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6

C　解析：由L＝5＋lg V，当L＝4.9时，lg V＝－0.1，

则V＝10－0.1＝10＝≈≈0.8．

3．(2021·天津卷)若2a＝5b＝10，则＋＝(　　)

A．－1 B．lg 7 C．1 D．log710

C　解析：因为2a＝5b＝10，所以a＝log210，b＝log510，

所以＋＝＋＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1．

1．解决这类问题首先了解代数式的结构，判断是利用对数运算法则，还是换底公式进行求解，然后利用法则或公式进行运算或化简．

2．有些题目，如第2题、第3题要注意指数式与对数式的互化问题．

考点2　对数函数的图象及应用——综合性

(1)在同一直角坐标系中，f(x)＝kx＋b与g(x)＝logbx的图象如图，则下列关系正确的是(　　)

A．k＜0,0＜b＜1 B．k＞0，b＞1

C．f g(1)＞0(x＞0) D．x＞1时，f(x)－g(x)＞0

D　解析：由直线方程可知，k＞0,0＜b＜1，故选项A，B不正确；又g(1)＝0，故选项C不正确；当x＞1时，g(x)＜0，f(x)＞0，所以f(x)－g(x)＞0，故选项D正确．

(2)当0＜x≤时，4x＜logax，则实数a的取值范围是(　　)

A． B． C．(1，) D．(，2)

B　解析：易知0＜a＜1，函数y＝4x与y＝logax的大致图象如图．

由题意可知只需满足loga＞4，解得a＞，所以＜a＜1．故选B．

1．将本例(2)中“4x＜logax”变为“4x＝logax有解”，则实数a的取值范围为____________．

　解析：若方程4x＝logax在上有解，则函数y＝4x与函数y＝logax的图象在上有交点．

由图象可知解得0＜a≤，即a的取值范围为．

2．若本例(2)变为：已知不等式x2－logax<0对x∈恒成立，则实数a的取值范围为________．

　解析：由x2－logax<0得x2<logax．设f1(x)＝x2，f2(x)＝logax，要使x∈时，不等式x2<logax恒成立，只需f1(x)＝x2在上的图象在f2(x)＝logax图象的下方即可．当a>1时，显然不成立；当0<a<1时，如图所示．

要使x2<logax在x∈上恒成立，需f1≤f2，

所以有≤loga，解得a≥，

所以≤a<1．

即实数a的取值范围是．

利用对数函数图象解决的两类问题及技巧

(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．

(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．

1．在同一平面直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x>0)，g(x)＝logax的图象可能是(　　)

A　　　　　B

C　　　　　D

D　解析：由于本题中函数为y＝xa(x>0)与y＝logax，对于选项A，没有幂函数图象，故错误；

对于选项B，由y＝xa(x>0)的图象知a>1，而由y＝logax的图象知0<a<1，故B错误；

对于选项C，由y＝xa(x>0)的图象知0<a<1，而由y＝logax的图象知a>1，故C错误；

对于选项D，由y＝xa(x>0)的图象知0<a<1，而由y＝logax的图象知0<a<1．故选D．

2．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．

(1，＋∞)　解析：问题等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，结合图象可知a>1．

考点3　对数函数的性质及应用——应用性

考向1　比较大小

(1)(2021·新高考全国Ⅱ卷)已知a＝log52，b＝log83，c＝，则下列判断正确的是(　　)

A．c<b<a B．b<a<c

C．a<c<b D．a<b<c

C　解析：a＝log52<log5＝＝log82<log83＝b，即a<c<b．

(2)已知函数f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，则(　　)

A．f(3)<f(－2)<f(1)

B．f(1)<f(－2)<f(3)

C．f(－2)<f(1)<f(3)

D．f(3)<f(1)<f(－2)

B　解析：因为f(－x)＝loga|－x|＝loga|x|＝f(x)，所以f(x)为偶函数，

所以f(－2)＝f(2)．又函数f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，

所以f(1)<f(2)<f(3)，即f(1)<f(－2)<f(3)．

比较对数值大小的常见类型及解题方法

常见类型	解题方法
底数为同一常数	可由对数函数的单调性直接进行判断
底数为同一字母	需对底数进行分类讨论
底数不同，真数相同	可以先用换底公式化为同底后，再进行比较
底数与真数都不同	常借助1,0等中间量进行比较

考向2　解对数不等式

(1)函数y＝的定义域是(　　)

A．[1,2] B．[1,2)

C． D．

D　解析：由log (2x－1)≥0，得0<2x－1≤1．所以<x≤1．

(2)已知不等式logx(2x2＋1)＜logx(3x)＜0成立，则实数x的取值范围是________．

　解析：原不等式⇔①

或②，

解不等式组①得＜x＜，不等式组②无解，

所以实数x的取值范围是．

简单对数不等式问题的求解策略

(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．

(2)对数函数的单调性和底数a的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按0<a<1和a>1进行分类讨论．

(3)某些对数不等式可转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．

1．(2020·全国Ⅰ卷)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则(　　)

A．a＞2b B．a＜2b

C．a＞b2 D．a＜b2

B　解析：2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b．

令f(x)＝2x＋log2x，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增．

又因为22b＋log2b＜22b＋log2b＋1＝22b＋log22b，

所以2a＋log2a＜22b＋log22b，即f(a)＜f(2b)，所以a＜2b．

2．若log2x＝log3y＝log5z＜－1，则(　　)

A．2x＜3y＜5z B．5z＜3y＜2x

C．3y＜2x＜5z D．5z＜2x＜3y

B　解析：设log2x＝log3y＝log5z＝t，则t＜－1，x＝2t，y＝3t，z＝5t，因此2x＝2t＋1,3y＝3t＋1,5z＝5t＋1．又t＜－1，所以t＋1＜0，由幂函数y＝xt＋1的单调性可知5z＜3y＜2x．

3．设函数f(x)＝若f(x)≤2，则实数x的取值范围是(　　)

A．[－1，＋∞) B．(0,4]

C．[－1,4] D．(－∞，4]

C　解析：∵函数f(x)＝

∴当x>1时，f(x)≤2即log2x≤2，解得1<x≤4，

当x≤1时，f(x)≤2即≤2，解得－1≤x≤1．

综上所述，不等式的解集为[－1,4]．故选C．