高考数学一轮复习第2章第8节函数与方程学案

第八节　函数与方程

考试要求：1．理解函数的零点与方程的解的联系．

2．理解函数零点存在定理，并能简单应用．

3．了解用二分法求方程的近似解的方法．

一、教材概念·结论·性质重现

1．函数的零点的概念

对于一般函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．

2．函数的零点与方程的解的关系

方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点⇔函数y＝f(x)有零点．

3．函数零点存在定理

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．

4．二分法

5．常用结论

(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．

(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．

(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．

二、基本技能·思想·活动经验

1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．

(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点． (　×　)

(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在当b2－4ac＜0时没有零点．                             (　√　)

(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)＜0．               (　×　)

(4)若f(x)在区间[a，b]上连续不断，且f(a)·f(b)＞0，则f(x)在(a，b)内没有零点．                            (　×　)

2．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是(　　)

A　解析：根据二分法的概念可知选项A中函数不能用二分法求零点．

3．函数f(x)＝ex＋x－3在区间(0,1)上的零点个数是(　　)

A．0       B．1    C．   2       D．3

B　解析：由题知函数f(x)是增函数．根据函数零点存在定理及f(0)＝－2＜0，f(1)＝e－2>0，可知函数f(x)在区间(0,1)上有且只有一个零点．故选B．

4．已知2是函数f(x)＝的一个零点，则f(f(4))的值是________．

3　解析：由题意知log2(2＋m)＝0，所以m＝－1，所以f(f(4))＝f(log23)＝2log＝3．

5．设f(x)＝lg x＋x－3，用二分法求方程lg x＋x－3＝0在(2,3)内近似解的过程中得f(2.25)<0，f(2.75)>0，f(2.5)<0，f(3)>0，则方程的根所在区间为________．

(2.5,2.75)　解析：因为f(2.25)<0，f(2.75)>0，由零点存在定理知，在区间(2.25,2.75)内必有根，利用二分法得f(2.5)<0，由零点存在定理知，方程的根所在区间为(2.5,2.75)．

考点1　判断函数零点所在的区间——基础性

1．函数f(x)＝ln x的零点所在的大致区间是(　　)

A．(1,2) B．(2,3)

C．和(3,4) D．(4，＋∞)

B　解析：因为f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3>0，且函数f(x)的图象在(0，＋∞)内连续不断，f(x)为增函数，所以f(x)的零点在区间(2,3)内．

2．若函数f(x)的唯一零点同时在区间(0,4)，(0,2)，(1,2)，内，则与f(0)符号相同的是(　　)

A．f(4)    B．f(2)    C．f(1)      D．f

C　解析：由题意知f(x)的零点在内，可知f(0)与f(1)的符号相同．

3．(2021·揭阳模拟)曲线y＝与y＝x的交点横坐标所在区间为(　　)

A． B．

C． D．

B　解析：设f(x)＝－x ，易知f(x)单调递减，

因为f ＝－>0，

f ＝－<0，

所以f  f ＜0，

所以函数零点所在区间为，即所求交点横坐标所在区间为．

4．(多选题)已知函数f(x)＝＋x2－2，利用零点存在定理确定各零点所在的范围．下列区间中存在零点的是(　　)

A．(－3，－2) B．

C．(2,3) D．

ABD　解析：经计算f(－3)＝－＋－2＝>0，f(－2)＝－＋2－2＝－<0，

f(－1)＝－1＋－2＝－<0，f ＝2＋－2＝>0，f(1)＝1＋－2＝－<0，

f(2)＝＋2－2＝>0，f(3)＝＋－2＝>0．

根据零点存在定理可得区间(－3，－2)，，上存在零点．

考点2　确定函数零点的个数——综合性

(1)函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点的个数为(　　)

A．0        B．1    C．2       D．3

C　解析：由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)．在同一平面直角坐标系中作出函数y＝|x－2|(x>0)，y＝ln x(x>0)的图象如图所示．

由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2．

(2)函数f(x)＝的零点个数为(　　)

A．3      B．2    C．7     D．0

B　解析：由f(x)＝0得或解得x＝－2或x＝e．因此函数f(x)共有2个零点．

将本例(1)中“f(x)＝|x－2|－ln  x”变为“f(x)＝|x－2|－|ln x|”，结果如何？

D　解析：由题意可知f(x)的定义域为(0，＋∞)．在同一平面直角坐标系中作出函数y＝|x－2|，y＝|ln x|的图象，如图所示：

由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为3．

1．设m，n∈Z，已知函数f(x)＝log2(－|x|＋8)的定义域是[m，n]，值域是[0,3]．当m取最小值时，函数g(x)＝2|x－1|＋m＋1的零点个数为(　　)

A．0 B．1

C．2　　  D．3

C　解析：因为函数f(x)＝log2(－|x|＋8)的值域是[0,3]，所以1≤－|x|＋8≤8，即－7≤x≤7．因为函数f(x)＝log2(－|x|＋8)的定义域是[m，n]，所以m的最小值为－7，此时g(x)＝2|x－1|－6．令g(x)＝2|x－1|－6＝0，解得x＝2＋log23或x＝－log23，即有2个零点．

2．已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝则函数y＝f(f(x))－1的零点个数为__________．

8　解析：函数y＝f(f(x))－1零点的个数等价于方程f(f(x))＝1实数根的个数，令μ＝f(x)，则f(μ)＝1．方程f(μ)＝1有3个实数根，且μ1＝－，μ2＝0，μ3＝．方程μ1＝f(x)有2个实数根，方程μ2＝f(x)有2个实数根，方程μ3＝f(x)有4个实数根，故函数y＝f(f(x))－1有8个零点．

考点3　函数零点的应用——应用性

考向1　根据零点所在区间求参数

(1)若函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是(　　)

A．(1,3) B．(1,2)

C．(0,3) D．(0,2)

C　解析：由条件可知f(1)f(2)＜0，即(2－2－a)·(4－1－a)＜0，即a(a－3)＜0，解得0＜a＜3．

(2)若二次函数f(x)＝x2－2x＋m在区间(0,4)上存在零点，则实数m的取值范围是________．

(－8,1]　解析：由题意知m＝－x2＋2x在(0,4)上有解．又－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，所以y＝－x2＋2x在(0,4)上的值域为(－8,1]，所以－8<m≤1．

考向2　根据函数零点的个数求参数

(1)已知a是函数f(x)＝2x－log0.5x的零点，若0＜x0＜a，则f(x0)的值满足(　　)

A．f(x0)＝0 

B．f(x0)＞0

C．f(x0)＜0 

D．f(x0)的符号不确定

C　解析：f(x)在(0，＋∞)上是增函数，若0＜x0＜a，则f(x0)＜f(a)＝0．

(2)已知一元二次方程x2＋ax＋1＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内，则实数a的取值范围为________．

　解析：设f(x)＝x2＋ax＋1，作出y＝f(x)的图象，如图：

由图知解得－<a<－2．

1．已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则实数a的取值范围是(　　)

A．(0,1] B．[1，＋∞)

C．(0,1) D．(－∞，1]

A　解析：画出函数f(x)的大致图象如图所示．

因为函数f(x)在R上有两个零点，所以f(x)在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一个零点．当x≤0时，f(x)有一个零点，需1－a≥0，即a≤1；当x>0时，f(x)有一个零点，需－a<0，即a>0．综上，0<a≤1．

2．若函数f(x)＝3x－7＋ln  x的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________．

2　解析：因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝－1＋ln  2<0，f(3)＝2＋ln  3>0，所以函数f(x)的零点位于区间(2,3)内，故n＝2．

3．已知函数f(x)＝若方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是________．

(0,1)　解析：画出f(x)的图象如图所示，要使方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根，则需f(x)的图象与直线y＝a有三个交点，由图可知，实数a的取值范围是(0,1)．

4．已知函数f(x)＝若函数f(x)＝a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则a的最小值是_______，x4(x1＋x2)＋的最大值是___________．

1　4　解析：作出函数f(x)的图象如图所示．

由图可知，要使方程f(x)＝a有四个不同的解，则需1≤a＜2，故a的最小值是1．

由二次函数图象的对称性可知，x1＋x2＝－2，由对数函数的图象及性质可知，|log0.5x3|＝|log0.5x4|，即log0.5x3＝－log0.5x4，所以x3x4＝1，所以x4(x1＋x2)＋＝－2x4＋．又函数y＝－2x＋在[2,4)上单调递减，所以x4(x1＋x2)＋的最大值为－2×2＋＝4．