高考数学一轮复习第3章第2节第3课时利用导数证明不等式——构造法证明不等式学案

第3课时　利用导数证明不等式——构造法证明不等式

已知函数f(x)＝ex－ax(e为自然对数的底数，a为常数)的图象在点(0,1)处的切线斜率为－1．

(1)求a的值及函数f(x)的极值；

(2)求证：当x>0时，x2<ex．

(1)解：f′(x)＝ex－a，因为f′(0)＝－1＝1－a，所以a＝2，

所以f(x)＝ex－2x，f′(x)＝ex－2．

令f′(x)＝0，解得x＝ln 2．

当x<ln 2时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；

当x>ln 2时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．

所以当x＝ln 2时，函数f(x)取得极小值，为f(ln 2)＝2－2ln 2，无极大值．

(2)证明：令g(x)＝ex－x2，则g′(x)＝ex－2x．

由(1)可得g′(x)＝f(x)≥f(ln 2)>0，

所以g(x)在R上单调递增，

因此，当x>0时，g(x)>g(0)＝1>0，所以x2<ex．

已知函数f(x)＝x2ln x, 证明：f(x)≥x2－x．

证明：函数f(x)＝x2ln x的定义域为(0，＋∞)，

要证明f(x)≥x2－x，只需证明x2ln x≥x2－x，即证明ln x≥1－．

令h(x)＝ln x－，则h′(x)＝－＝．当0＜x＜1时，h′(x)＜0，则h(x)单调递减，

当x＞1时，h′(x)＞0，则h(x)单调递增，

所以当x＝1时，函数h(x)取得极小值，即最小值为h(1)，

则h(x)≥h(1)＝0，即ln x≥1－，

故原不等式成立．

考点2　放缩构造法——综合性

(2020·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝sin2xsin  2x．

(1)讨论f(x)在区间(0，π)上的单调性；

(2)证明：|f(x)|≤；

(3)设n∈N*，证明：sin2xsin22xsin24x·…·sin22nx≤．

(1)解：由函数的解析式可得

f(x)＝2sin3xcos x，则

f′(x)＝2(3sin2xcos2x－sin4x)

＝2sin2x(3cos2x－sin2x)

＝2sin2x(4cos2x－1)

＝2sin2x(2cos x＋1)(2cos x－1)，

f′(x)＝0在x∈(0，π)上的根为x1＝，x2＝．

当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减，

当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增．

(2)证明：注意到f(x＋π)＝sin2(x＋π)·sin[2(x＋π)]＝sin2xsin  2x＝f(x)，

故函数f(x)是周期为π的函数，结合(1)的结论，计算可得：f(0)＝f(π)＝0，

F ＝×＝，

F ＝×＝－，

据此可得：f(x)max＝，f(x)min＝－，

即|f(x)|≤．

(3)证明：结合(2)的结论有：sin2xsin22xsin24x·…·sin22nx

＝[sin 3xsin 32xsin 34x…sin 32nx]

＝[sin x(sin2xsin  2x)(sin22xsin  4x)·…·

(sin22n－1xsin  2nx)sin22nx]

≤

≤＝．

已知函数f(x)＝aln(x－1)＋，其中a是正实数．证明：当x>2时，f(x)<ex＋(a－1)x－2a．

证明：令g(x)＝ln x－x＋1，其定义域为(0，＋∞)，g′(x)＝－1＝．

当x∈(0,1)时，g′(x)>0，g(x)是增函数，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)是减函数，

所以g(x)max＝g(1)＝0，g(x)≤0，即ln x≤x－1，当且仅当x＝1时等号成立．

当x>2时，ln(x－1)<x－2．又a>0，所以aln(x－1)<a(x－2)．

要证f(x)<ex＋(a－1)x－2a，只需证aln(x－1)＋<ex＋(a－1)x－2a，

只需证a(x－2)＋<ex＋(a－1)x－2a，即ex－x－>0对任意的x>2恒成立．

令h(x)＝ex－x－，x>2，则h′(x)＝ex－1＋．

因为x>2，所以h′(x)>0恒成立，所以h(x)在(2，＋∞)上单调递增，

所以h(x)>h(2)＝e2－4>0，所以当x>2时，f(x)<ex＋(a－1)x－2a．

考点3　构造双函数法——综合性

已知函数f(x)＝x2＋2x－2xex．

(1)求函数f(x)的极值；

(2)当x＞0时，证明：f(x)－2x＋x2＋x3＜－2eln x．

(1)解：因为函数f(x)＝x2＋2x－2xex(x∈R)，

所以f′(x)＝2x＋2－2ex－2xex＝(2x＋2)(1－ex)．

由f′(x)＝0，得x＝－1或x＝0，列表如下：

所以当x＝－1时，f(x)极小值＝f(－1)＝1－2＋2×＝－1；

当x＝0时，f(x)极大值＝f(0)＝0．

(2)证明：要证明f(x)－2x＋x2＋x3＜－2eln x，即证2ex－x2－2x＞(x＞0)．

令g(x)＝2ex－x2－2x(x＞0)，

h(x)＝(x＞0)，

则g′(x)＝2(ex－x－1)．令m(x)＝2(ex－x－1)，则m′(x)＝2(ex－1)＞0，所以g′(x)在(0，＋∞)上单调递增，g′(x)＞g′(0)＝0．

所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，g(x)＞g(0)＝2．

h′(x)＝，可得h(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，所以h(x)≤h(e)＝2．

又g(x)与h(x)取最值点不同，

所以g(x)＞h(x)在(0，＋∞)上恒成立，

故2ex－x2－2x＞(x＞0)．

所以当x＞0时，f(x)－2x＋x2＋x3＜－2eln x．

设函数f(x)＝(x2－2x)ex＋aex－e2ln x，其中e为自然对数的底数，曲线y＝f(x)在(2，f(2))处切线的倾斜角的正切值为e2＋2e．

(1)求a的值；

(2)证明：f(x)＞0．

(1)解：f(x)＝(x2－2x)ex＋aex－e2ln x，

f′(x)＝(x2－2)ex＋ae－，

则f′(2)＝＋ae＝e2＋2e，得a＝2．

(2)证明：要证f(x)＞0，即证(x2－2x)ex＋2ex－e2ln x＞0(x>0)，

即证(x－2)ex－2＋＞(x>0)．

令g(x)＝(x－2)ex－2＋，g′(x)＝(x－1)ex－2，

于是g(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，所以g(x)≥g(1)＝(x＝1时取等号)．

再令h(x)＝，则h′(x)＝，

于是h(x)在(0，e)上是增函数，在(e，＋∞)上是减函数，所以h(x)≤h(e)＝(x＝e时取等号)．

又g(x)与h(x)等于时x的取值不同，

所以g(x)＞h(x)，即f(x)＞0．