高考数学一轮复习第4章第1节任意角、弧度制与任意角的三角函数学案

第一节　任意角、弧度制与任意角的三角函数

考试要求：1．了解任意角的概念和弧度制．

2．能进行弧度与角度的互化．

3．理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．

一、教材概念·结论·性质重现

1．任意角

2．弧度制

(1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．

(2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝ rad,1 rad＝ ．

3．扇形的弧长公式：l＝|α|·r，扇形的面积公式：S＝lr＝|α|·r2．

4．任意角的三角函数

(1)概念：任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)．

(2)概念推广：三角函数坐标法定义中，若取点P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，设点P到原点O的距离为r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．

(3)符号法则：三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．

二、基本技能·思想·活动经验

1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．

(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角． (　×　)

(2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关． (　√　)

(3)不相等的角终边一定不相同．  (　×　)

(4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1． (　√　)

2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是(　　)

A．2　　　　　　　　 B．sin 2

C．　　　   D．2sin 1

C　解析：设圆的半径为r，则sin 1＝，所以r＝，所以2弧度的圆心角所对弧长为2r＝．

3．集合，k∈Z中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　)

A　　　　　B

C　　　　　D

C　解析：当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋，此时α终边位于第一象限；当k＝2n＋1 (n∈Z)时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋，此时α表示的终边位于第三象限．

4．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cos α＝________．

－　解析：因为点A纵坐标yA＝，且点A在第二象限，又因为圆O为单位圆，所以点A横坐标xA＝－．由三角函数的定义可得cos α＝－．

5．点P(tan 2 022°，cos 2 022°)位于第______象限．

四　解析：因为2 022°＝5×360°＋222°，所以2 022°的终边与220°的终边相同．又222°是第三象限角，所以tan 2 022°>0，cos 2 022°<0，即点P位于第四象限．

考点1　象限角及终边相同的角——基础性

1．在平面直角坐标系中，下列结论正确的是(　　)

A．小于90°的角一定是锐角

B．第二象限的角一定是钝角

C．始边相同且相等的角的终边一定重合

D．始边相同且终边重合的角一定相等

C　解析：对于A，小于90°的角一定是锐角，首先必须强调为正角且小于90°，故错误．对于B，例如α＝的终边在第二象限，但不是钝角，故错误．对于C，始边相同且相等的角的终边一定相同，故正确．对于D,30°与390°角的始边终边均相同，但不相等，故错误．

2．(2021·松山区模拟)在平面直角坐标系中，若角α的终边与240°角的终边相同，则的终边所在象限是(　　)

A．第二或第四象限   B．第二或第三象限

C．第一或第四象限   D．第三或第四象限

A　解析：因为角α为第三象限角，满足的集合为{α|α＝k·360°＋240°，k∈Z}，

所以，所以的终边落在第二象限或第四象限．

3．(2021·辽宁模拟)写出两个与－的终边相同的角：________．

－，(答案不唯一)　解析：与－终边相同的角α＝2kπ－．k∈Z，

当k＝1时，α＝－，当k＝2时，a＝．

考点2　扇形的弧长、面积公式——综合性

(1)(2022·烟台一模)某校数学兴趣小组设计了一种螺线，作法如下：在水平直线l上取长度为2的线段AB，并作等边三角形ABC．第一次画线：以点B为圆心、BA为半径逆时针画圆弧，交线段CB的延长线于点D；第二次画线：以点C为圆心、CD为半径逆时针画圆弧，交线段AC的延长线于点E；以此类推，得到的螺线如图所示，则(　　)

A．第二次画线的圆弧长度为

B．前三次画线的圆弧总长度为4π

C．在螺线与直线l恰有4个交点(不含点A)时停止画线，此时螺线的总长度为30π

D．在螺线与直线l恰有6个交点(不含点A)时停止画线，此时螺线的总长度为60π

D　解析：第一次画线：以点B为圆心，r＝2，旋转，划过的圆弧长为2×＝；

第二次画线：以点C为圆心，r＝4，旋转，划过的圆弧长为4×＝，故选项A错误，交l累计1次；

第三次画线：以点A为圆心，r＝6，旋转，划过的圆弧长为6×＝＝4π，，故选项B错误，交l累计2次；

第四次画线：以点B为圆心，r＝8，旋转，划过的圆弧长为8×＝；

第五次画线：以点C为圆心，r＝10，旋转，划过的圆弧长为10×＝，交l累计3次；

前五次累计画线＋＋＋＋＝20π，

第六次画线：以点A为圆心，r＝12，旋转，划过的圆弧长为12×＝＝8π，交l累计4次，累计画线20π＋8π＝28π，故选项C错误．

第七次画线：以点B为圆心，r＝14，旋转，划过的圆弧长为14×＝；

第八次画线：以点C为圆心，r＝16，旋转，划过的圆弧长为16×＝，交l累计5次；

第九次画线：以点A为圆心，r＝18，旋转，划过的圆弧长为18×＝＝12π，

交l累计6次，累计画线28π＋＋＋12π＝60π，故选项D正确．

(2)《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是弧田面积计算公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢×矢)．弧田是由圆弧(弧田弧)和以圆弧的端点为端点的线段(弧田弦)围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差．如图，弧田是由圆弧和其所对弦AB围成的图形．若弧田的弧长为，弧所在的圆的半径为4，则利用《九章算术》中的弧田面积公式计算出来的面积与实际面积之差为________．

8＋2－　解析：如图所示，由题意可得∠AOB＝＝，OA＝4．

在Rt△AOD中，可得∠AOD＝，∠DAO＝，OD＝AO＝×4＝2，

可得矢＝4－2＝2．

由AD＝AO·sin＝4×＝2，

可得弦＝2AD＝4，

所以，弧田面积为(弦×矢＋矢×矢)＝×(4×2＋22)＝4＋2．

实际面积为××4－×4×2＝－4．

所以4＋2－＋4＝8＋2－．

本例若改为：弧田弦AB等于6 m，其弧田弧所在圆为圆O，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为 m2，则sin∠AOB＝________．

　解析：如图，由题意可得AB＝6，弧田的面积S＝1,2)(弦×矢＋矢×矢)＝，

解得矢＝1或矢＝－7(舍)．

设半径为r，圆心到弧田弦的距离为d，则有解得d＝4，r＝5．

所以cos∠AOD＝＝．

所以cos∠AOB＝2cos2∠AOD－1＝－1＝．

所以sin∠AOB＝＝．

1．半径为2，圆心角为的扇形的面积等于(　　)

A．    B．π    C．    D．

C　解析：因为扇形的半径是2，圆心角的弧度数是，故扇形的弧长为，所以扇形的面积为S＝××2＝．

2．(2022·太原模拟)斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋线”，它的画法是：以斐波那契数列(即a1＝a2＝1，an＋2＝an＋1＋an(n∈N*))的各项为边长的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧，将这些圆弧依次连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．自然界中存在很多斐波那契螺旋线的图案，如向日葵、鹦鹉螺等．如图为该螺旋线的一部分，则第七项所对应的扇形的弧长为(　　)

A．  B．  C．  D．4π

C　解析：由斐波那契数的规律可知，从第三项起，每一个数都是前面两个数之和．根据题意，接下来的一段圆弧所在圆的半径r＝5＋8＝13，对应的弧长l＝2π×13×＝．

考点3　三角函数的定义——基础性

考向1　三角函数的定义

(1)已知角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限的点P，且点P的纵坐标为，则sin＝(　　)

A．  B．－  C．  D．－

D　解析：因为角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限的点P，且点P的纵坐标为，所以P．根据三角函数的定义，得cos α＝－．所以sin＝cos α＝－．

(2)已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos  α＝－，则m的值为(　　)

A．－   B．－

C．   D．

C　解析：由题意得点P(－8m，－3)，r＝，

所以cos α＝＝－，解得m＝±．

又cos α＝－<0，所以－8m<0，即m>0，所以m＝．

本例(1)若改为：角α终边上一点P，把角α按逆时针方向旋转90°得到角θ，则sin θ＝________．

　解析：由题意得，sin α＝，cos α＝，θ＝α＋90°，

所以sin θ＝sin(α＋90°)＝cos α＝．

利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P的坐标．

考向2　三角函数值的符号

(1)下列三角函数值为负数的是(　　)

A．sin 2   B．cos 3

C．tan 4   D．cos(－5)

B　解析：因为＜2＜3＜π＜4＜＜5＜2π，所以sin 2＞0，cos 3＜0，tan 4＞0，且cos(－5)＝cos 5＞0．

(2)已知sin θcos θ<0，且|cos θ|＝cos θ，则角θ是(　　)

A．第一象限角   B．第二象限角

C．第三象限角   D．第四象限角

D　解析：因为sin θcos θ<0，所以sin θ，cos θ一正一负．

又|cos θ|＝cos θ，所以cos θ≥0，综上有sin θ<0，cos θ>0，即θ为第四象限角．

1．(2021·日照模拟)若α为第二象限角，则(　　)

A．sin α－cos α＜0 

B．tan α＜0

C．sin>0 

D．cos(π－2α)>0

B　解析：因为α为第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，tan α＜0，故sin α－cos α＞0，故选项A错误；tan α＜0，故选项B正确；sin＝cos 2α＝sin2α－cos2α，故其符号不能确定，故选项C错误；cos(π－2α)＝－cos 2α，同选项C，符号不能确定，故选项D错误．

2．若角α的终边落在直线y＝x上，角β的终边与单位圆交于点，且sin α·cos β<0，则cos α·sin β＝________．

±　解析：由角β的终边与单位圆交于点 ，得cos β＝．又由sin α·cos β<0知，sin α<0．因为角α的终边落在直线y＝x上，所以角α只能是第三象限角．记P为角α的终边与单位圆的交点，设P(x，y)(x<0，y<0)，则|OP|＝1(O为坐标原点)，即x2＋y2＝1．又由y＝x，得x＝－，y＝－，所以cos α＝x＝－．因为点在单位圆上，所以＋m2＝1，解得m＝±，所以sin β＝±，所以cos α·sin β＝±．