高考数学一轮复习第4章第3节三角函数的图象与性质学案

第三节　三角函数的图象与性质

考试要求：1．能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性．

2．借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质及正切函数在上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴交点等)．

一、教材概念·结论·性质重现

1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．

(2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．

2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)

二、基本技能·思想·活动经验

1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．

(1)y＝sin x在第一、第四象限单调递增． (　×　)

(2)由sin＝sin ，知是正弦函数y＝sin x(x∈R)的一个周期．                             (　×　)

(3)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1． (　×　)

(4)若sin x>，则x>．  (　×　)

2．对于函数f(x)＝sin 2x，下列选项中正确的是(　　)

A．f(x)在上单调递增

B．f(x)的图象关于原点对称

C．f(x)的最小正周期为2π

D．f(x)的最大值为2

B　解析：因为函数y＝sin x在上单调递减，

所以f(x)＝sin 2x在上单调递减，故A错误．

因为f(－x)＝sin [2(－x)]＝sin(－2x)

＝－sin 2x＝－f(x)，

所以f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故B正确．

f(x)的最小正周期为π，故C错误．

f(x)的最大值为1，故D错误．

3．下列函数中最小正周期为π且图象关于直线x＝对称的是(　　)

A．y＝2sin　　

B．y＝2sin

C．y＝2sin 

D．y＝2sin

B　解析：函数y＝2sin的最小正周期T＝＝π，又sin＝1，

所以函数y＝2sin的图象关于直线x＝对称．

4．函数y＝3－2cos的最大值为______，此时x＝_________．

5　＋2kπ(k∈Z)　解析：函数y＝3－2cos的最大值为3＋2＝5，

此时x＋＝π＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋2kπ(k∈Z)．

5．cos 23°，sin 68°，cos 97°的大小关系是___________．

sin 68°>cos 23°>cos 97°　解析：sin 68°＝cos 22°，又y＝cos x在0°～180°上是减函数，所以sin 68°>cos 23°>cos 97°．

考点1　三角函数的定义域——基础性

1．函数y＝tan的定义域是(　　)

D　解析：函数y＝tan＝－tan，

令x－≠＋kπ，k∈Z，解得x≠＋kπ，k∈Z，

所以函数的定义域是．

2．函数y＝的定义域为(　　)

A．

B．(k∈Z)

C．(k∈Z)

D．(k∈Z)

B　解析：由2sin x－1≥0，得sin x≥，

所以2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)．

3．已知x∈[0,2π]，则y＝＋的定义域为(　　)

A．   B．

C．   D．

C　解析：由题意得x≠kπ＋(k∈Z)，

所以函数的定义域为．

4．函数y＝lg(sin x)＋ 的定义域为_________．

　解析：要使函数有意义必须有即

解得

所以2kπ＜x≤＋2kπ(k∈Z)．

考点2　三角函数的值域或最值——综合性

(1)函数f(x)＝cos 2x－2sin·cos，x∈的最小值为(　　)

A．－1   B．－ 

C．－3   D．0

A　解析：f(x)＝cos 2x－2cos x(－sin x)

＝cos 2x＋sin 2x＝sin，

因为x∈，可得2x＋∈，sin∈，

所以f(x)＝sin∈[－1，]，即其最小值为－1．

(2)函数y＝cos2x－sin x的值域是(　　)

A．   B．

C．[0,2]   D．[－1,1]

A　解析：y＝cos2x－sin x＝1－sin2x－sin x＝－＋，

由于sin x∈[－1,1]，所以当sin x＝1时，y的最小值为－1；

当sin x＝－时，y的最大值为．所以函数的值域是．

1．函数y＝2sin x的值域是(　　)

A．[1,2)   B．(1,2)

C．(1,2]   D．[1,2]

D　解析：对于函数y＝2sin x，当x＝时，函数y取得最小值为1；

当x＝时，函数y取得最大值为2，故函数y的值域为[1,2]．

2．函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x，x∈[0，π]的最小值是___________．

－1　解析：设sin x－cos x＝t，则t＝sin，sin xcos x＝．

因为x∈[0，π]，所以x－∈，所以t∈[－1,2]，

所以y＝t＋＝－(t－1)2＋1，当t＝－1时，ymin＝－1．

考点3　三角函数的单调性——应用性

考向1　求三角函数的单调区间

(1)(2021·新高考全国Ⅰ卷)下列区间中，函数f(x)＝7sin单调递增的区间是(　　)

A．   B．

C．   D．

A　解析：因为函数y＝sin x的单调递增区间为(k∈Z)，

对于函数f(x)＝7sin，由2kπ－<x－<2kπ＋(k∈Z)，

解得2kπ－<x<2kπ＋(k∈Z)，

取k＝0，可得函数f(x)的一个单调递增区间为，

则⊆，，A选项满足条件，B不满足条件．

取k＝1，可得函数f(x)的一个单调递增区间为，

且，，CD选项均不满足条件．

(2)函数y＝的单调递减区间为__________．

，k∈Z　解析：画出函数y＝的图象，如图．

观察图象可得，函数y＝的单调递减区间为，k∈Z．

本例(1)函数解析式不变，求函数在[0,3π]上的单调递减区间．

解：令2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，解得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)．

当k＝0时，可得函数f(x)的一个单调递减区间为，

当k＝1时，可得函数f(x)的一个单调递减区间为，

所以函数在[0,3π]上的单调递减区间为，．

考向2　已知三角函数的单调性求参数

(1)若函数f(x)＝asin x＋cos x在上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，0]   B．(－∞，0)

C．(－∞，1]   D．(－∞，1)

D　解析：因为f(x)＝asin x＋cos x在上单调递减，所以f′(x)＝acos x－sin x≤0在上恒成立，即acos x≤sin x在上恒成立，所以a≤tan x 在上恒成立．在上，因为tan x＜1，所以a＜1，所以a的取值范围为(－∞，1)．

(2)已知ω>0，函数f(x)＝cos在上单调递减，则ω的取值范围是______．

　解析：由<x<π，ω>0，得＋<ωx＋<ωπ＋．

又y＝sin x的单调递减区间为，k∈Z，

所以k∈Z，解得4k＋≤ω≤2k＋，k∈Z．

又由4k＋－≤0，k∈Z且2k＋>0，所以－<k≤．又k∈Z，得k＝0，所以ω∈．

1．若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在上单调递增，则ω的取值范围是(　　)

A．   B．

C．   D．

D　解析：因为函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在上单调递增，所以ω×≤，所以ω≤．

2．函数f(x)＝sin的单调递减区间为__________．

(k∈Z)　解析：由已知函数为y＝－sin，欲求函数的单调递减区间，只需求y＝sin的单调递增区间．由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z．

故所给函数的单调递减区间为(k∈Z)．

考点4　三角函数的周期性、奇偶性、对称性——应用性

考向1　三角函数的周期性和奇偶性

(1)(2021·全国乙卷)函数f(x)＝sin＋cos的最小正周期和最大值分别是(　　)

A．3π和   B．3π和2

C．6π和   D．6π和2

C　解析：f(x)＝sin，所以f(x)的最小正周期为T＝＝6π，最大值为．

(2)若函数f(x)＝sin为奇函数，则φ的一个取值可能为(　　)

A．0   B．－ 

C．   D．π

B　解析：由题意知，＋φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝kπ－，k∈Z，当k＝0时，φ＝－．

(多选题)本例(2)条件改为：若函数f(x)＝sin为偶函数，则φ的取值可能为(　　)

A．0　　B．－　　C．　　D．π

BC　解析：由题意知，＋φ＝kπ＋，k∈Z，所以φ＝kπ＋，k∈Z．当k＝－1时，φ＝－；当k＝0时，φ＝．

三角函数的周期性与奇偶性(其中A，ω≠0，k∈Z)

考向2　三角函数的对称性

(1)若函数y＝cos(2x＋φ)图象的一个对称中心是，则φ＝(　　)

A．－   B．－

C．   D．

B　解析：由题意可知2×＋φ＝＋kπ，k∈Z，所以φ＝－＋kπ，k∈Z．又|φ|<，所以φ＝－．

(2)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期是π，若将f(x)的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于原点对称，则函数f(x)的图象(　　)

A．关于直线x＝对称

B．关于直线x＝对称

C．关于点对称

D．关于点对称

B　解析：由题意知＝π，所以ω＝2；又由f(x)的图象向右平移个单位长度后得到y＝sin＝sin的图象，此时所得到的图象关于原点对称，所以－＋φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝＋kπ，k∈Z．又|φ|＜，所以＜，所以k＝－1，φ＝－，所以f(x)＝sin．

当x＝时，2x－＝－，所以A、C错误．当x＝时，2x－＝，所以B正确，D错误．

1．(2021·房山区模拟)函数f(x)＝sin的图象的一条对称轴可以为(　　)

A．x＝－　 B．x＝0　 C．x＝　 D．x＝

C　解析：f(x)＝sin，

令x＋＝kπ＋，k∈Z，解得x＝＋kπ，k∈Z，即对称轴为x＝＋kπ，k∈Z．当k＝0时，x＝．故选C．

2．(多选题)若函数f(x)＝tan(ω＞0)的图象相邻两支截直线y＝1所得线段长为，则下列结论正确的是(　　)

A．函数f(x)在区间上单调递增

B．函数f(x)的最小正周期为

C．函数f(x)的图象关于点对称

D．函数f(x)的图象与直线x＝不相交

ABD　解析：因为函数f(x)＝tan(ω＞0)的图象相邻两支截直线y＝1所得线段长为＝，所以ω＝2，f(x)＝tan．

当x∈，2x＋∈，故f(x)单调递增，A正确．

函数f(x)的最小正周期为，B正确．

当x＝时，f(x)＝－，C错误．

令x＝，可得f(x)的值不存在，故函数f(x)的图象与直线x＝不相交，D正确．