高考数学一轮复习第5章第4节正弦定理、余弦定理及应用学案

这是一份高考数学一轮复习第5章第4节正弦定理、余弦定理及应用学案，共14页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动经验等内容，欢迎下载使用。

第四节　正弦定理、余弦定理及应用
考试要求：1．掌握正弦定理、余弦定理．
2．能用正弦定理、余弦定理解三角形．

一、教材概念·结论·性质重现
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝＝＝2R
a2＝b2＋c2－2bccos A；
b2＝c2＋a2－2cacos B；
c2＝a2＋b2－2abcos C
变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2R·sin B，c＝2Rsin C．
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝．
(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C．
(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝


若已知两边和其中一边的对角，解三角形时，可用正弦定理．在根据另一边所对角的正弦值确定角的值时，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是结合“大边对大角，大角对大边”及三角形内角和定理去考虑问题．
2．三角形解的个数

A为锐角
A为钝角或直角
图形




关系式
a＝
bsin A
bsin A<
a a≥b
a>b
解的个数
一解
两解
一解
一解


表中A为锐角时，a 3．三角形的面积公式
(1)S＝ah(h表示边a上的高)．
(2)S＝bcsin A＝acsin B＝absin C．
(3)S＝2R2·sin A·sin B·sin C(R为△ABC的外接圆半径)．
(4)S＝(R为△ABC的外接圆半径)．
(5)S＝r(a＋b＋c)(r为△ABC的内切圆半径)．
(6)S＝，p＝(a＋b＋c)．
4．常用结论
在△ABC中，常用以下结论：
(1)∠A＋∠B＋∠C＝π．
(2)在三角形中大边对大角，大角对大边．
(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
(4)sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；tan(A＋B)＝－tan C；sin＝cos；cos＝sin．
(5)tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C．
(6)A>B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A (7)射影定理：a＝b·cos C＋c·cos B；
b＝a·cos C＋c·cos A；
c＝a·cos B＋b·cos A．
(8)在任意△ABC中，任意两个内角的余弦值的和大于零．
(9)在锐角△ABC中，任意一个内角的正弦值都大于其他两个内角的余弦值．
二、基本技能·思想·活动经验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)在三角形中，已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形． (　√　)
(2)在△ABC中，＝． (　√　)
(3)在△ABC中，“a2＋b2>c2”是“△ABC为锐角三角形”的必要不充分条件． (　√　)
(4)在△ABC中，若sin Asin B 2．(多选题)在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c．若c－acos B＝(2a－b)·cos A，则下列结论可能正确的有(　　)
A．A＝　　　　 B．B＝A
C．B＝ D．B＝C
AB　解析：在△ABC中，由c－acos B＝(2a－b)cos A，
则sin C－sin Acos B＝(2sin A－sin B) cos A．
即sin (A＋B)－sin Acos B＝(2sin A－sin B)cos A⇒xcos Asin B＝2sin Acos A－sin Bcos A⇒sin Bcos A＝sin Acos A⇒cos A(sin B－sin A)＝0，
则cos A＝0或sin B＝sin A，所以A＝或B＝A．
3．在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝，则sin B＝(　　)
A． B．
C． D．1
B　解析：根据正弦定理＝，有＝，得sin B＝．故选B．
4．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积为________．
2　解析：因为＝，所以sin B＝1，所以B＝90°，所以AB＝2，所以S△ABC＝×2×2＝2．
5．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，A＝45°．若三角形有两解，则边b的取值范围是________．
(2,2)　解析：如图，△ABC有两解的充要条件是bsin 45°<2

考点1　正弦定理、余弦定理的基本应用——基础性

1．在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则cos B＝(　　)
A．　 B．
C．　 D．
A　解析：由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C＝42＋32－2×4×3×＝9，所以AB＝3，所以cos B＝＝＝．
2．(2021·全国甲卷)在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，则BC＝(　　)
A．1　 B．
C．　　 D．3
D　解析：由余弦定理，得cos 120°＝．化简得BC2＋2BC－15＝0，解得BC＝3或BC＝－5(舍去)．故选D．
3．若△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为，则△ABC外接圆的半径为___________．
　解析：不妨设b＝2，c＝3，cos A＝，
则a2＝b2＋c2－2b2·cos A＝9，∴a＝3．又∵sin A＝＝，
∴外接圆半径为R＝＝＝．
4．(2021·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝________．
2　解析：由题意，得S△ABC＝acsin B＝，即ac·＝，解得ac＝4．由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝3ac－2ac·＝8，解得b＝2(负值舍去)．

1．正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素．
2．正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系．

考点2　判断三角形的形状——应用性

设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
B　解析：因为bcos C＋ccos B＝asin A，由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，所以sin(B＋C)＝sin2A，即sin A＝sin2A．又sin A>0，所以sin A＝1，所以A＝，故△ABC为直角三角形．

判断三角形形状的方法
(1)化边：根据正余弦定理将角转化为边，然后通过因式分解、配方等得出边的相应关系．
(2)化角：根据正、余弦定理将边转化为角，通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．

(多选题)(2021·江苏南京学情调研)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，以下结论中正确的有(　　)
A．若sin A>sin B，则A>B
B．若sin 2A＝sin 2B，则△ABC一定为等腰三角形
C．若cos2A＋cos2B－cos2C＝1，则△ABC为直角三角形
D．若△ABC为锐角三角形，则sin A AC　解析：对于A，根据正弦定理＝，由sin A>sin B，可推出a>b，则A>B，即A正确；对于B，取A＝15°，B＝75°，则sin 2A＝sin 2B，而△ABC不是等腰三角形，即B错误；对于C，cos2A＋cos2B－cos2C＝(1－sin2A)＋(1－sin2B)－(1－sin2C)＝1，则sin2A＋sin2B＝sin2C，由正弦定理可得a2＋b2＝c2，故△ABC为直角三角形，即C正确；对于D，若△ABC为锐角三角形，取A＝80°，B＝40°，此时sin 80°>cos 40°＝sin 50°，即sin A>cos B，故D错误．故选AC．

考点3　解三角形的综合问题——综合性

考向1　三角形的边、角计算问题
在①bcos A＝2csin C－acos B，②cos2＋cos C＝这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
问题：在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知________．
(1)求角C；
(2)若AB＝，AC＝，内角C的平分线CE交边AB于点E，求CE的长．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解：(1)若选条件①：因为bcos A＝2csin C－acos B，
由正弦定理可得(sin Bcos A＋sin Acos B)＝2sin2C，所以sin(A＋B)＝2sin2C．
因为A＋B＋C＝π，可得A＋B＝π－C，
所以sin C＝2sin2C．
因为sin C≠0，所以sin C＝．
又因为△ABC为锐角三角形，所以C＝．
若选条件②：因为cos2＋cos C＝，
所以(－sin C)2＋cos C－＝0，
即1－cos2C＋cos C－＝0，
所以cos2C－cos C＋＝0，解得cos C＝．
因为△ABC为锐角三角形，所以C＝．
(2)因为AB＝，AC＝，由正弦定理得sin B＝＝．
因为△ABC为锐角三角形，
所以B＝，则A＝．
因为CE是角C的平分线，所以∠ACE＝，
故∠CEA＝π－－＝，所以∠A＝∠CEA，
则△AEC为等腰三角形，所以AC＝CE＝，故CE的长为．

正、余弦定理的一般用法原则
(1)“已知两角和一边”采用正弦定理(只有一解)．
(2)“已知两边和其中一边的对角”既可以采用正弦定理，又可以采用余弦定理．
(3)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”采用余弦定理．
考向2　与面积有关的问题
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin＝bsin A．
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．
解：(1)由题设及正弦定理得sin Asin＝sin Bsin A．
因为sin A≠0，所以sin＝sin B．
由A＋B＋C＝180°，可得sin＝cos，故cos＝2sincos．
因为cos≠0，所以sin＝，所以B＝60°．
(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝a．
由正弦定理得a＝＝＝＋．
由于△ABC为锐角三角形，故0°＜A＜90°，0°＜C＜90°．
由(1)知A＋C＝120°，得30°＜C＜90°，所以＜a＜2，从而＜S△ABC＜．
因此，△ABC面积的取值范围是．

三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用含该角的公式．
(2)与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化．

(2021 ·福建南平二模) 在①2ccos B＝2a－b，②△ABC的面积为(a2＋b2－c2)，③cos2A－cos2C＝sin2B－sin Asin B这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且__________．
(1)求角C的大小；
(2)若c＝2且4sin Asin B＝3，求△ABC的面积．
解：(1)若选条件①2ccos B＝2a－b，
则2c·＝2a－b，即a2＋b2－c2＝ab，
所以cos C＝．
又因为C∈(0，π)，所以C＝．
若选条件②△ABC的面积为(a2＋b2－c2)，则(a2＋b2－c2)＝absin C，
即sin C＝cos C，所以tan C＝．
又因为C∈(0，π)，所以C＝．
若选条件③cos2A－cos2C＝sin2B－sin Asin B，则(1－sin2A)－(1－sin2C)＝sin2B－sin Asin B，
即sin2A＋sin2B－sin2C＝sin Asin B，即a2＋b2－c2＝ab，所以cos C＝．
又因为C∈(0，π)，所以C＝．
(2)因为c＝2，所以＝＝＝＝，所以sin A＝a，sin B＝b．
又因为4sin Asin B＝3，所以ab＝4，△ABC的面积为absin C＝．


已知△ABC的三边长分别为a，b，c，满足a2＋b2＋2c2＝8，则△ABC面积的最大值为(　　)
A． B．
C． D．
[四字程序]
读
想
算
思
△ABC面积的最大值
1．面积的表达式．
2．以谁为变量
用适当的变量表示S
转化与化归
a2＋b2＋2c2＝8
1．S＝ah．
2．S＝
absin C．
3．边作变量．
4．角作变量．
5．海伦公式
S2＝a2b2·
(1－cos2C)
S≤

1．基本不等式．
2．函数最值．
3．三角函数的性质


思路参考：余弦定理＋角化边＋二次函数的最值．
B　解析：因为a2＋b2＋2c2＝8，即a2＋b2＝8－2c2，
所以S2＝a2b2sin2C
＝a2b2(1－cos2C)
＝a2b2
＝a2b2－
≤－
＝－＋c2
＝－＋，
故当a2＝b2＝，c2＝时，S2有最大值，
所以△ABC面积的最大值为．

思路参考：设高转化，利用基本不等式．
B　解析：如图，过点C作CD⊥AB于点D．
设AD＝m，BD＝n，CD＝h．
因为a2＋b2＋2c2＝8，所以m2＋n2＋2h2＋2c2＝8．
因为m2＋n2≥＝，当且仅当m＝n时取等号．

故m2＋n2＋2h2＋2c2≥＋2h2＋2c2＝＋2h2≥2ch＝4S，
所以S≤，当且仅当m＝n，c＝h时取等号．
所以△ABC面积的最大值为．

思路参考：利用海伦公式S＝＋基本不等式．
B　解析：p＝(a＋b＋c)，则p－a＝(b＋c－a)，p－b＝(a＋c－b)，p－c＝(a＋b－c)，
所以S＝
＝
＝．
因为a2＋b2＋2c2＝8，
所以S＝，
4a2b2≤(a2＋b2)2＝(8－2c2)2，
所以S≤＝．
当c2＝时，S2有最大值．
所以△ABC面积的最大值为．

思路参考：建系设点．
B　解析：如图，以AB所在直线为x轴，以线段AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系．

不妨令x1>0，y2>0，设A(－x1,0)，
B(x1,0)，C(x2，y2)．
因为a2＋b2＋2c2＝8，
所以(x1－x2)2＋y＋(x1＋x2)2＋y＋8x＝8，
所以5x＋x＋y＝4．
因为S＝x1y2，所以2S≤5x＋y＝4－x≤4，
所以S≤，当且仅当x2＝0,5x＝y＝2时取等号．
所以△ABC面积的最大值为．

1．本题考查三角形的面积的最值问题，解法灵活多变，基本解题策略是借助三角形的相关知识将目标函数转化为边之间的代数关系，借助三角函数的性质求最值．对于此类多元最值问题要注意合理转化或消元．
2．基于课程标准，解答本题一般需要具备良好的数学阅读技能、运算求解能力、推理能力和表达能力．本题的解答体现了逻辑推理、数学运算的核心素养，试题的解答过程展现了数学文化的魅力．
3．基于高考数学评价体系，本题创设了数学探索创新情景，通过知识之间的联系和转化，将最值转化为熟悉的数学模型．本题的切入点十分开放，可以从不同的角度解答题目，体现了灵活性；同时，解题的过程需要知识之间的转化，体现了综合性．

已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a2＝b2＋c2－bc，a＝3，则△ABC的周长的最大值为________．
9　解析：因为a2＝b2＋c2－bc，所以bc＝b2＋c2－a2，所以cos A＝＝．因为A∈(0，π)，所以A＝．
方法一：因为a＝3，所以由正弦定理得＝＝＝＝2，所以b＝2sin B，c＝2sin C，
则a＋b＋c＝3＋2sin B＋2sin C＝3＋2sin B＋2sin＝3＋3sin B＋3cos B＝3＋6sin．
因为B∈，所以当B＝时，周长取得最大值9．
方法二：因为a＝3，所以由余弦定理得9＝b2＋c2－bc，所以(b＋c)2－3bc＝9，所以(b＋c)2－9＝3bc≤3·，所以(b＋c)2≤36．
因为b＋c>0，所以0