高考数学一轮复习第6章第1节空间几何体学案

第一节　空间几何体

考试要求：1．认识柱、锥、台及简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．

2．能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆锥、棱柱及其简易组合)的直观图．

3．知道棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题．

一、教材概念·结论·性质重现

1．多面体的结构特征

2．旋转体的结构特征

3．空间几何体的直观图

空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：

(1)“斜”：在直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°或135°．

(2)“二测”：图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线，在直观图中长度为原来的一半．

4．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

5．空间几何体的表面积与体积公式

6．常用结论

几个与球有关的切、接常用结论：

(1)正方体的棱长为a，球的半径为R．

①若球为正方体的外接球，则2R＝a；

②若球为正方体的内切球，则2R＝a；

③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a．

(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝．

(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1．

二、基本技能·思想·活动经验

1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．

(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．                             (　×　)

(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．                             (　×　)

(3)棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分．                             (　√　)

(4)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS．                            (　×　)

2．如图，长方体ABCDA′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′，则剩下的几何体是(　　)

A．棱台   B．四棱柱

C．五棱柱   D．简单组合体

C　解析：由几何体的结构特征知，剩下的几何体为五棱柱．

3．已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为(　　)

A．1 cm   B．2 cm 

C．3 cm   D． cm

B　解析：S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，所以r2＝4，所以r＝2  cm．

4．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　)

A．12π   B． 

C．8π   D．4π

A　解析：由题意可知正方体的棱长为2，其体对角线为2即为球的直径，所以球的表面积为4πR2＝(2R)2π＝12π．故选A．

5．在直观图(如图所示)中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO为__________，面积为________cm2．

矩形　8　解析：由斜二测画法的规则可知，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO是一个长为4 cm，宽为2 cm的矩形，所以四边形ABCO的面积为8 cm2．

考点1　空间几何体的结构特征与直观图——基础性

1．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是(　　)

A．圆柱

B．圆锥

C．球

D．圆柱、圆锥、球体的组合体

C　解析：截面是任意的，且都是圆面，则该几何体为球体．

2．下列命题正确的是(　　)

A．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥

B．以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台

C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面

D．一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台

C　解析：由圆锥、圆台、圆柱的定义可知A，B错误，C正确．对于D，只有用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，D不正确．

3．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，C′D′＝2 cm，则原图形是(　　)

A．正方形　　　　　 B．矩形

C．菱形   D．一般的平行四边形

C　解析：如图，在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×2＝4(cm)，CD＝C′D′＝2 cm．

所以OC＝＝＝6(cm)，

所以OA＝OC，所以四边形OABC是菱形．

4．(多选题)下列命题中正确的是(　　)

A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形

B．在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱

C．存在每个面都是直角三角形的四面体

D．棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等

BC　解析：A不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；B正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；C正确，如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中的三棱锥C1ABC，四个面都是直角三角形；D不正确，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱的延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．

考点2　空间几何体的表面积与体积——综合性

考向1　空间几何体的表面积问题

(1)(2021·新高考全国Ⅰ卷)已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为(　　)

A．2　　　B．2　　　C．4　　　D．4

B　解析：由题意知圆锥的底面周长为2π．设圆锥的母线长为l，则πl＝2π，即l＝2．故选B．

(2)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为30°，则该三棱柱的侧面积为(　　)

A．4＋4   B．4＋4

C．12   D．8＋4

A　解析：连接A1B．因为AA1⊥底面ABC，则AA1⊥BC，又AB⊥BC，AA1∩AB＝A，所以BC⊥平面AA1B1B，所以直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为∠CA1B＝30°．又AA1＝AC＝2，所以A1C＝2，所以BC＝．又AB⊥BC，则AB＝，则该三棱柱的侧面积为2×2＋2×2＝4＋4．

(3)在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40 cm，母线长最短50 cm，最长80 cm，则斜截圆柱的侧面面积S＝　　　cm2．

2 600π　解析：将题图所示的相同的两个几何体对接为圆柱，则圆柱的侧面展开图为矩形．由题意得所求侧面展开图的面积S＝×(50＋80)×(π×40)＝2 600π(cm2)．

求解几何体表面积的类型及求法

1．一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为_________．

12　解析：设正六棱锥的高为h，侧面的斜高为h′．由题意，得×6××2××h＝2，所以h＝1，所以斜高h′＝＝2，所以S侧＝6××2×2＝12．

2．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵．已知一个堑堵的底面积为6，体积为的球与其各面均相切，则该堑堵的表面积为________．

36　解析：设球的半径为r，底面三角形的周长为l，由已知得r＝1，所以堑堵的高为2．则lr＝6，l＝12，所以表面积S＝12×2＋6×2＝36．

考向2　空间几何体的体积问题

(1)如图所示，已知三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1­ABC1的体积为(　　)

A．   B． 

C．   D．

A　解析：易知三棱锥B1­ABC1的体积等于三棱锥A­B1BC1的体积，又三棱锥A­B1BC1的高为，底面积为，故其体积为××＝．

(2)(2021·八省联考)圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为________．

61π　解析：圆台的下底面半径为5，故下底面在外接球的大圆上，

如图，设球的球心为O，圆台上底面的圆心为O′，

则圆台的高OO′＝＝＝3．

据此可得圆台的体积V＝π×3×(52＋5×4＋42)＝61π．

求空间几何体的体积的常用方法

1．(2021·全国甲卷)已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为________．

39π　解析：设圆锥的高为h，母线长为l，则圆锥的体积V＝×π×62×h＝30π，解得h＝．所以l＝＝＝，故圆锥的侧面积S＝πrl＝π×6×＝39π．

2．如图，已知体积为V的三棱柱ABC­A1B1C1，P是棱B1B上除B1，B以外的任意一点，则四棱锥P­AA1C1C的体积_________．

　解析：如图，把三棱柱ABC­A1B1C1补成平行六面体A1D1B1C1­ADBC．设点P到平面AA1C1C的距离为h，则

V＝S·h＝V＝·2V＝．

考点3　与球有关的切、接问题——综合性

考向1　“相切”问题

已知正四面体P­ABC的表面积为S1，此四面体的内切球的表面积为S2，则＝________．

　解析：设正四面体的棱长为a，则正四面体的表面积为S1＝4××a2＝a2，其内切球半径r为正四面体高的，即r＝×a＝a，因此内切球表面积为S2＝4πr2＝，则＝＝．

考向2　“相接”问题

已知直三棱柱ABC­A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为(　　)

A．   B． 2 

C．   D．3

C　解析：如图所示，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M．

又AM＝BC＝，OM＝AA1＝6，所以球O的半径R＝OA＝＝．

1．已知三棱锥P­ABC中，△ABC为等边三角形，PA＝PB＝PC＝3，PA⊥PB，则三棱锥P­ABC的外接球的体积为(　　)

A．π　　　　　　　　 B．π　　　

C．27π　　　   D．27π

B　解析：因为三棱锥P­ABC中，△ABC为等边三角形，PA＝PB＝PC＝3，所以△PAB≌△PBC≌△PAC．因为PA⊥PB，所以PA⊥PC，PC⊥PB．以PA，PB，PC为过同一顶点的三条棱作正方体(如图所示)，

则正方体的外接球同时也是三棱锥P­ABC的外接球．因为正方体的体对角线长为＝3，所以其外接球半径R＝．因此三棱锥P­ABC的外接球的体积V＝×＝π．

2．(2020·全国Ⅲ卷)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．

π　解析：方法一：如图，在圆锥的轴截面ABC中，CD⊥AB，BD＝1，BC＝3，圆O内切于△ABC，E为切点，连接OE，则OE⊥BC．在Rt△BCD中，CD＝＝2．易知BE＝BD＝1，则CE＝2．设圆锥的内切球半径为R，则OC＝2－R，在Rt△COE中，OC2－OE2＝CE2，即(2－R)2－R2＝4，所以R＝，圆锥内半径最大的球的体积为πR3＝π．

方法二：如图，记圆锥的轴截面为△ABC，其中AC＝BC＝3，AB＝2，CD⊥AB，在Rt△BCD中，CD＝＝2，则S△ABC＝2．设△ABC的内切圆O的半径为R，则R＝＝，所以圆锥内半径最大的球的体积为πR3＝π．