高考数学一轮复习第7章第1节数列的概念与简单表示法学案

这是一份高考数学一轮复习第7章第1节数列的概念与简单表示法学案，共12页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动经验等内容，欢迎下载使用。


第一节　数列的概念与简单表示法
考试要求：1．了解数列的概念和表示方法(列表法、图象法、公式法)．
2．了解数列是一种特殊函数．

一、教材概念·结论·性质重现
1．数列的概念
概念
含义
数列
按照确定的顺序排列的一列数
数列的项
数列中的每一个数
数列的通项
数列{an}的第n项an
通项公式
数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式
前n项和
把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an


(1)数列研究的是有顺序的一列数，归纳与猜想是研究数列的重要方法．
(2)有序性是数列的主要特征，数列的项an是序号n的函数，其中n是正整数．
(3)数列的前n项和是从a1一直加到an，而不是从中间取出某n项的和．
2．数列的表示方法
列表法
列表格表示n与an的对应关系
图象法
把点(n，an)画在平面直角坐标系中
公式法
通项公式
用公式an＝f(n)，n∈N*给出数列
递推公式
使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法


1．数列的图象是由离散的点(n，an)组成．
2．用递推公式表示数列时，必须含有初始值，初始值可能是一项，也可能是两项或若干项．
3．an与Sn的关系
若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝

1．当n≥2时，an＝Sn－Sn－1不能表示a1．
2．需要验证当n＝1时是否满足统一的an与n之间的规律，如果不满足，则通项公式是分段的．
4．数列的分类


如果数列的项先递增，后递减，则数列有最大项；如果数列的项先递减，后递增，则数列有最小项．
二、基本技能·思想·活动经验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)所有数列的第n项都可以用公式表示出来． (　×　)
(2)依据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．
(　√　)
(3)若an＋1－an>0(n≥2)，则数列{an}是递增数列． (　×　)
(4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对于任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn． (　√　)
2．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－8n＋15，则(　　)
A．3不是数列{an}中的项
B．3只是数列{an}中的第2项
C．3只是数列{an}中的第6项
D．3是数列{an}中的第2项或第6项
D　解析：令an＝3，即n2－8n＋15＝3，解得n＝2或n＝6，
故3是数列{an}中的第2项或第6项．故选D．
3．数列1，－4,9，－16,25，…的一个通项公式是(　　)
A．an＝n2　　　　　　　　　
B．an＝(－1)n·n2
C．an＝(－1)n＋1·n2
D．an＝(－1)n·(n＋1)2
C　解析：因为每一项的绝对值都是该项序号的平方，奇数项符号为正，偶数项符号为负，所以an＝(－1)n＋1·n2．故选C．
4．已知an＝n2＋λn，且对于任意的n∈N*，数列{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是________．
(－3，＋∞)　解析：因为{an}是递增数列，所以对任意的n∈N*，都有an＋1>an，即(n＋1)2＋λ(n＋1)>n2＋λn，
整理得2n＋1＋λ>0，即λ>－(2n＋1)．(*)
因为n≥1，所以－(2n＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ>－3．


考点1　由数列的前几项求通项公式——基础性

根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：
(1)－，，－，，…；
(2)，，，，，…；
(3)，2，，8，，…；
(4)5,55,555,5 555，…．
解：(1)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的乘积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，故它的一个通项公式an＝(－1)n·．
(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，即分母的每一项都是两个相邻奇数的乘积，故所求数列的一个通项公式an＝．
(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察，即，，，，，…，从而可得数列的一个通项公式an＝．
(4)将原数列改写为×9，×99，×999，…，易知数列9,99,999，…的一个通项公式为10n－1，故所求的数列的一个通项公式an＝(10n－1)．

1．错误地表示符号规律致误：项正负相间的数列可以用(－1)n，(－1)n＋1表示符号，要分清是先负后正还是先正后负．
2．未对项变形致误：若已知的项的形式不统一，则不便求通项公式，因此可以先将项通过变形统一形式后再观察求通项公式，如题(3)．
3．求通项公式时要注意联想：对于如题(4)这样的数列，可以通过联想10,100,1 000，10 000→9,99,999,9 999→1,11,111,1 111进而得到通项公式．

考点2　由Sn与an的关系求通项——综合性

(1)若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n，则此数列的通项公式为an＝________．
(2)若数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1，则此数列的通项公式为an＝________．
(1)2n－11　(2)　解析：(1)当n＝1时，a1＝S1＝1－10＝－9；
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝n2－10n－[(n－1)2－10(n－1)]＝2n－11．
当n＝1时，2×1－11＝－9＝a1，所以an＝2n－11．
(2)当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1)－(2n－1＋1)＝2n－2n－1＝2n－1．
当n＝1时，a1＝S1＝21＋1＝3，不满足上式，
综上有an＝

将本例(1)的条件变为：数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，求an．
解：当n＝1时，由已知，可得a1＝21＝2．
因为当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，①
故a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝2n－1．②
由①－②，得nan＝2n－2n－1＝2n－1，
所以an＝．
显然当n＝1时不满足上式，
所以an＝

已知Sn求an的步骤
(1)利用a1＝S1求出a1．
(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求出当n≥2时an的表达式．
(3)检验n＝1时的值是否符合n≥2时的表达式，再写出通项公式an．

1．已知Sn为数列{an}的前n项和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公式为(　　)
A．an＝2n B．an＝
C．an＝2n－1 D．an＝2n＋1
B　解析：由log2(Sn＋1)＝n＋1，得Sn＋1＝2n＋1，即Sn＝2n＋1－1．
当n＝1时，a1＝S1＝3．
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，
显然当n＝1时不满足上式．
所以数列{an}的通项公式为an＝故选B．
2．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1(n∈N＋)，则an＝________．
　解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1．
当n＝1时，a1＝S1＝4≠2×1＋1，显然不满足上式．
因此an＝

考点3　由数列的递推关系求通项——应用性

考向1　累加法
已知在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln ，求数列{an}的通项公式．
解：因为an＋1＝an＋ln ，
所以an＋1－an＝ln ，
所以an－an－1＝ln (n≥2)，
所以an－1－an－2＝ln ，…，a2－a1＝ln (n≥2)，
所以an－a1＝ln ＋ln ＋…＋ln ＝ln n(n≥2)，
所以an＝ln n＋a1(n≥2)．
又a1＝2，所以an＝ln n＋2．

对形如an＋1＝an＋f(n)的模型求an，可以将式子变形为an－an－1＝f(n－1)(n≥2)，通过累加方法求通项公式．
考向2　累乘法
在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，求数列{an}的通项公式．
解：因为an＝an－1(n≥2)，
所以an－1＝an－2，an－2＝an－3，…，a2＝a1．所以＝，＝，…，＝，
以上(n－1)个式子等号的两端相乘得
an＝a1···…·＝＝．
当n＝1时，a1＝1，上式也成立．
所以an＝(n∈N＋)．

对形如an＋1＝an·f(n)(f(n)可求积)的模型求an，先变形为＝f(n－1)(n≥2)，再用累乘法求出与n的关系式，进而得到数列{an}的通项公式．
考向3　待定系数法
已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋3，求数列{an}的通项公式．
解：将递推公式an＋1＝2an＋3设为an＋1－t＝2(an－t)，即an＋1＝2an－t，解得t＝－3，故递推公式为an＋1＋3＝2(an＋3)．
令bn＝an＋3，则b1＝a1＋3＝4，
且＝＝2．
所以数列{bn}是以b1＝4为首项，2为公比的等比数列，
所以bn＝4·2n－1＝2n＋1，
故an＝2n＋1－3．

对形如an＋1＝pan＋q(p≠1)模型求an，设为an＋1＋m＝p(an＋m)，构造{an＋m}为公比为p的等比数列，先求出{an＋m}的通项公式，进而求出an．
考向4　取倒数法
已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N＋)，则an＝________．
　解析：因为an＋1＝，所以－＝．因为a1＝2，即＝，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以＝＋(n－1)＝，故an＝．

形如an＋1＝(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新的数列求解．

1．若a1＝1，an＋1＝an＋2n－1，则an＝________．
n2－2n＋2　解析：因为an＋1＝an＋2n－1，所以当n≥2时，an－an－1＝2n－3，所以a2－a1＝1，a3－a2＝3，…，an－an－1＝2n－3，
所以an－a1＝＝(n－1)2，所以an＝(n－1)2＋1＝n2－2n＋2．
又当n＝1时，12－2×1＋2＝1，所以n＝1时符合上式．
所以an＝n2－2n＋2．
2．若a1＝1，nan－1＝(n＋1)an(n≥2)，则an＝________．
　解析：因为nan－1＝(n＋1)an，所以＝．又a1＝1，
所以an＝··…··a1＝···…·＝．
3．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，求数列{an}的通项公式．
解：因为an＋1＝3an＋2，所以an＋1＋1＝3(an＋1)，所以＝3，所以数列{an＋1}为等比数列且公比q＝3．
又a1＋1＝2，所以an＋1＝2·3n－1，
所以an＝2·3n－1－1(n∈N＋)．
,
考点4　数列与函数——应用性

考向1　数列的增减性与最大值、最小值
(1)已知an＝，那么数列{an}是(　　)
A．递减数列
B．递增数列
C．常数列
D．摆动数列
B　解析：an＝＝＝1－，
由于f(x)＝1－在(0，＋∞)上为增函数，
所以an＝为递增数列．故选B．
(2)已知an＝(n∈N*)，设am为数列{an}的最大项，则m＝________．
8　解析：an＝＝1＋(n∈N*)，根据函数的单调性知，当n≤7或n≥8时，数列{an}为递减数列．因为当n≤7时，an<1，当n≥8时，an>1，所以a8为最大项，可知m＝8．

本例(2)中的条件改为在数列{an}中，an＝，则该数列前100项中的最大项与最小项分别是哪些项？
解：an＝＝1＋，≈44.9，
当1≤n≤44，n∈N*时，为负数且an递减；当45≤n≤100，n∈N*时，为正数，且an递减．
所以前100项中，最大项为a45，最小项为a44．

解决数列的单调性问题的常用方法
(1)用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列．
(2)用作商比较法，根据(an＞0或an＜0)与1的大小关系进行判断．
(3)结合相应函数的单调性直观判断．
考向2　数列的周期性
已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an·an＋2＝an＋1(n∈N*)，则a2 020的值为(　　)
A．2 B．1
C． D．
解析：由已知得a3＝2，
由a2＝2，a3＝2，得a4＝1，
由a3＝2，a4＝1，得a5＝，
由a4＝1，a5＝，得a6＝，
由a5＝，a6＝，得a7＝1，
由a6＝，a7＝1，得a8＝2，
由此推理可得数列{an}是周期为6的数列，所以a2 020＝a4＝1．故选B．

解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期求值．
考向3　新定义问题
若存在常数k(k∈N＋，k≥2)，q，d，使得无穷数列{an}满足an＋1＝则称数列{an}为“段比差数列”，其中常数k，q，d分别叫做段长、段比、段差．设数列{bn}为“段比差数列”．若{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1,3,0,3，则b2 019＝(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
D　解析：方法一：因为{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1,3,0,3，所以b2 017＝0×b2 016＝0，所以b2 018＝b2 017＋3＝3，所以b2 019＝b2 018＋3＝6．故选D．
方法二：因为{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1,3,0,3，所以b1＝1，b2＝4，b3＝7，b4＝0×b3＝0，b5＝b4＋3＝3，b6＝b5＋3＝6，b7＝0×b6＝0，…，所以当n≥4时，{bn}是周期为3的周期数列．所以b2 019＝b6＝6．故选D．

解决数列的新定义问题的要点
(1)准确转化：解决数列新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，将所给定义转化成题目要求的形式，切忌同已有概念或定义相混淆．
(2)方法选取：对于数列新定义问题，搞清定义是关键，仔细认真地从前几项(特殊处、简单处)体会题意，从而找到恰当的解决方法．

1．已知f(x)＝的定义域为R，数列{an}(n∈N*)满足an＝f(n)，且{an}是递增数列，则a的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞) B．
C．(1,3) D．(3，＋∞)
D　解析：由于{an}是递增数列，所以a＞1，且f(2)＞f(1)，即a2＞2a＋3，解得a＜－1或a＞3，所以a＞3．故选D．
2．已知数列{an}满足＝2，a1＝20，则的最小值为(　　)
A．4 B．4－1
C．8 D．9
C　解析：由an＋1－an＝2n知，a2－a1＝2×1，a3－a2＝2×2，…，an－an－1＝2(n－1)，n≥2，
以上各式相加得an－a1＝n2－n，n≥2，所以an＝n2－n＋20，n≥2，当n＝1时，a1＝20符合上式，所以an＝n2－n＋20，n∈N*，所以＝n＋－1，n∈N*，
所以当n≤4时，单调递减，当n≥5时，单调递增．因为＝，所以的最小值为＝＝8．
3．在数列{an}中，a1＝－，an＝1－(n≥2，n∈N*)，则a2 021的值为(　　)
A．－ B．5
C． D．
B　解析：在数列{an}中，a1＝－，an＝1－(n≥2，n∈N*)，所以a2＝1－＝5，a3＝1－＝，a4＝1－＝－，所以{an}是以3为周期的周期数列，所以a2 021＝a673×3＋2＝a2＝5．故选B．