高考数学一轮复习第8章第1节直线方程学案

第一节　直线方程

考试要求：1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．

2．掌握直线方程的几种形式，能根据两条直线的斜率及直线方程判定这两条直线平行或垂直．

一、教材概念·结论·性质重现

1．直线的倾斜角

(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°．

(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α＜180°．

2．斜率公式

(1)我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即 k＝tan α．

(2)倾斜角是90°的直线没有斜率，倾斜角不是90°的直线都有斜率．

(3)如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，则直线P1P2的斜率k＝．

3．直线方程的五种形式

二、基本技能·思想·活动经验

1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．

(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率． (　×　)

(2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大． (　×　)

(3)不经过原点的直线都可以用＋＝1表示． (　×　)

(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)·(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．                            (　√　)

2．直线x－y－1＝0的倾斜角α的大小为(　　)

A．30°   B．60° 

C．120°   D．150°

A　解析：直线x－y－1＝0的斜率为k＝，故tan α＝．因为0°≤α<180°，所以α＝30°．故选A．

3．如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　)

A．k1<k2<k3 

B．k3<k1<k2

C．k3<k2<k1 

D．k1<k3<k2

D　解析：直线l1的倾斜角α1为钝角，故k1<0，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2>α3，所以0<k3<k2，因此k1<k3<k2．故选D．

4．若A(－2,3)，B(3，－2)，C三点在同一条直线上，则m的值为(　　)

A．－2 　 　B．2 　 　C．－ 　 　D．

D　解析：因为A，B，C三点在同一条直线上，所以kAB＝kAC，所以＝，

解得m＝．故选D．

5．倾斜角为120°，在x轴上的截距为－1的直线方程是________________．

x＋y＋＝0　解析：因为直线的倾斜角为120°，所以斜率k＝－．又由题意知直线过点(－1,0)，所以直线方程为y＝－(x＋1)，即x＋y＋＝0．

考点1　直线的倾斜角和斜率——基础性

1．直线2xcos  α－y－3＝0的倾斜角的取值范围是(　　)

A．   B．

C．   D．

B　解析：直线2xcos  α－y－3＝0的斜率k＝2cos  α．由于α∈，所以≤cos  α≤，因此k＝2cos  α∈[1，]．设直线的倾斜角为θ，则有tan  θ∈[1，]．由于θ∈[0，π)，所以θ∈，即倾斜角的变化范围是．

2．若ab<0，则过点P与Q的直线PQ的倾斜角的取值范围是________．

　解析：kPQ＝＝<0，又倾斜角的取值范围为[0，π)，故直线PQ的倾斜角的取值范围为．

3．已知点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB有交点，则直线l的斜率k的取值范围为________．

(－∞，－4]∪　解析：如图所示，kPA＝＝－4，kPB＝＝．要使直线l与线段AB有交点，则有k≥或k≤－4．

考点2　求直线的方程——综合性

已知△ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在的直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在的直线方程为x－2y－5＝0．

求：(1)AC所在直线的方程；

(2)点B的坐标．

解：(1)因为AC⊥BH，所以设AC所在直线的方程为2x＋y＋t＝0．

把A(5,1)代入直线方程2x＋y＋t＝0中，解得t＝－11．

所以AC所在直线的方程为2x＋y－11＝0．

(2)设B(x0，y0)，则AB的中点为．

联立得方程组

化简得解得

故B(－1，－3)．

1．过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为的直线方程为________________．

x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0　解析：由题意知，直线的斜率存在，

设倾斜角为α，

则sin α＝(α∈[0，π))，

从而cos  α＝±，

则k＝tan α＝±．

故所求直线的方程为y＝(x＋4)或y＝－(x＋4)，

即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0．

2．已知在△ABC中，A(1,3)，AB，AC边上的中线所在直线方程分别为x－2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各边所在的直线方程．

解：设AB，AC边上的中线分别为CD，BE，其中D，E分别为AB，AC的中点(图略)．

因为点B在中线y－1＝0上，

所以设点B的坐标为(xB,1)．

因为点D为AB的中点，点A的坐标为(1,3)，

所以点D的坐标为．

因为点D在中线CD：x－2y＋1＝0上，

所以－2×2＋1＝0，所以xB＝5，

所以点B的坐标为(5,1)．

因为点C在直线x－2y＋1＝0上，

所以设点C的坐标为(2t－1，t)．

所以AC的中点E的坐标为．

因为点E在中线BE：y＝1上，

所以＝1，所以t＝－1．

所以点C的坐标为(－3，－1)，

所以△ABC各边所在直线的方程为AB：x＋2y－7＝0，BC：x－4y－1＝0，AC：x－y＋2＝0．

考点3　直线方程的应用——应用性

考向1　求与最值有关的直线方程

已知直线l过点M(2,1)，且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点．求当在两坐标轴上截距之和取得最小值时直线l的方程．

解：设直线l的方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，则＋＝1，

所以a＋b＝(a＋b)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2．故a＋b的最小值为3＋2，此时＝，求得b＝＋1，a＝2＋．此时，直线l的方程为＋＝1，即x＋y－2－＝0．

本例中的条件不变，求当△AOB的面积最小时直线l的方程．

解：设直线l的方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，

则＋＝1．

因为＋≥2⇒ab≥2，当且仅当＝＝，即a＝4，b＝2时，△AOB的面积S＝ab有最小值为4．此时，直线l的方程是＋＝1，即x＋2y－4＝0．

考向2　由直线方程求参数值或范围

已知直线l：kx－y＋1＋3k＝0(k∈R)．

(1)证明：直线l过定点；

(2)若直线l不过第一象限，求k的取值范围．

(1)证明：直线l的方程可化为y－1＝k(x＋3)，故无论k取何值，直线l必过定点(－3,1)．

(2)解：令x＝0，得y＝3k＋1，即直线l在y轴上的截距为3k＋1．

由题意知解得k≤－．

故k的取值范围是．

1．已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4．当0<a<2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数 a＝________．

　解析：由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1的纵截距为2－a，直线l2的横截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝＋．又0<a<2，所以当a＝时，四边形的面积最小．

2．直线l过点P(1,4)，分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A，B两点，O为坐标原点．若|PA|·|PB|最小，求l的方程．

解：设直线l的方程为y＝kx＋b(k＜0)．

因为点P(1,4)在直线l上，有4＝k＋b，解得b＝4－k，

所以直线l的方程为y＝kx＋4－k．

所以A，B(0,4－k)，

所以＝，＝(－1，－k)，

所以|PA|·|PB|＝＝－4＝4≥8，

所以当k＝，即k＝－1时，|PA|·|PB|有最小值，最小值是8，

这时l的方程为x＋y－5＝0．

已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．

[四字程序]

思路参考：设出直线的截距式方程，利用基本不等式求出ab的最小值，即可求出直线方程，得到面积的最小值．

解：设直线方程为＋＝1(a＞0，b＞0)．

将点P(3,2)代入得＋＝1≥2，得ab≥24．

从而S△ABO＝ab≥12，当且仅当＝时等号成立，这时k＝－＝－．

从而所求直线方程为2x＋3y－12＝0．

所以△ABO的面积的最小值为12，此时直线l的方程为2x＋3y－12＝0．

思路参考：设出截距式方程，利用三角函数的有界性求出面积的最值，进而求出直线方程．

解：设直线方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，

将点P(3,2)的坐标代入得＋＝1．

令＝sin2α，＝cos2α，则a＝，b＝，

所以S△ABO＝ab＝＝．

因为0<sin22α≤1，所以S△ABO≥12，当且仅当sin22α＝1时等号成立．

所以当且仅当＝时等号成立，即k＝－＝－，

从而所求直线方程为2x＋3y－12＝0．

所以△ABO的面积的最小值为12，此时直线l的方程为2x＋3y－12＝0．

思路参考：设出直线的点斜式方程，表示出△ABO的面积，结合基本不等式求得最值．

解：依题意知，直线l的斜率k存在且k＜0，

则直线l的方程为y－2＝k(x－3)(k＜0)，且有A，B(0,2－3k)，

所以S△ABO＝(2－3k)

＝

≥

＝×(12＋12)＝12．

当且仅当－9k＝，即k＝－时，等号成立，即△ABO的面积的最小值为12．

故所求直线的方程为2x＋3y－12＝0．

1．本题考查根据具体的条件求直线的方程，基本策略是设出直线的方程，用变量表示三角形的面积，求出面积的最小值及取得最小值时的条件，得到直线的方程．

2．本题体现了数学运算、数学抽象的核心素养．

3．基于高考数学评价体系，本题创设了数学情境，通过知识之间的内在联系和转化构造函数，利用基本不等式或函数的性质求最值，体现了基础性和综合性．

过点P(2,1)的直线分别与x轴和y轴的正半轴交于A，B两点．求：

(1)|OA||OB|取最小值时直线的方程；

(2)|PA||PB|取最小值时直线的方程．

解：(1)设直线的方程为＋＝1(a>b，b>0)，则＋＝1，所以ab＝ab＝2b＋a≥2，于是ab≥8，所以|OA||OB|＝ab≥8，即|OA|·|OB|的最小值为8，当且仅当a＝2b，即a＝4，b＝2时取得等号．故所求直线的方程为x＋2y－4＝0．

(2)显然直线的斜率存在，设其方程为y－1＝k(x－2)(k<0)，则A，B(0，1－2k)．

所以|PA||PB|＝＝≥4，当且仅当k2＝，即k＝－1时取等号，

所以|PA||PB|的最小值为4时，直线的方程为x＋y－3＝0．